(863) - La Identidad de Euler con cuaterniones

Creo que todo el mundo es familiar con la idendidad de Euler en algunas de sus formas: $$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$ Hace poco encontré cómo expresarla para cuaterniones. Los cuateriones se deben a Sir William Rowan Hamilton ($1805-1865$), también el padre de la mecánica hamiltoniana. Los orígenes de los cuaterniones y su evolución al álgebra y cálculo vectorial se contará en otro momento. Veamos cómo los podemos expresar. $$ q\in\mathbb{H} \qquad q = a + b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k} \qquad (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$$ Además satisfacen la curiosa relación multiplicatica (al ser no conmutativos) $$ \mathrm{íj} = -\mathrm{jí} = \mathrm{k} \qquad \mathrm{ík} = -\mathrm{kí} = -\mathrm{j} \qquad \mathrm{jk} = -\mathrm{kj} = \mathrm{í} $$ Donde $$ \mathrm{í}^2 = \mathrm{j}^2 = \mathrm{k}^2 = -1 $$ Ahora si definimos lo siguiente se tiene que: $$ \beta = \sqrt{b^2+c^2+d^2\;} \qquad \textbf{i} = \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\beta} = \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}} \implies q = a + \beta\,\textbf{i} $$ Donde $\textbf{i}$ funciona como si fuese la $\mathrm{í}\in\mathbb{C}$ , es decir, $\textbf{i}^2=-1$ . Entonces se tiene: $$ e^q = e^{a+\beta\,\textbf{i}} = e^a (\cos\beta + \textbf{i}\sin\beta) = e^a \left(\cos\sqrt{b^2+c^2+d^2\;} + \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}}\sin\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}\right)$$ Sin embargo, dado $q = a + b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}$ Hamilton llamaba $a$ la parte escalar y el resto como la parte vectorial (de ahí el nombre y orgien que ya veremos). Por lo que puede ser útil reescribir como: $$ q = a + \vec{B}\cdot\vec{\imath} \qquad \vec{B} = \Im(q) = (b,c,d)\in\mathbb{R}^3 \qquad \vec{\imath} = (\mathrm{í},\mathrm{j},\mathrm{k}) \qquad (\vec{B}\cdot\vec{\imath})^2 = B^2 \imath^2 = - B^2 $$ Simplemente ahora se tiene que: $$ e^q = e^{a+\vec{B}\cdot\vec{\imath}} = e^a \left(\cos B + \frac{\vec{B}\cdot\vec{\imath}}{B}\sin B\right)$$ Estas identidades nos permiten escribir algunas curiosas: $$ \mathrm{í}^\mathrm{í} = \mathrm{j}^\mathrm{j} = \mathrm{k}^\mathrm{k} = e^{-\frac{\pi}{2}} \qquad \mathrm{í}^\mathrm{j} = \mathrm{k} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.