(883) - Una de las joyas de la corona de la geometría moderna. Simedianas

Consideremos un triángulo cualquiera de vértices A, B, C. Dibujemos el punto medio de cada pareja de vértices A’, B’, C’. Unamos cada vértice con el punto medio del lado opuesto. A este segmento de recta se lo conoce como mediana.

Volvamos ahora a nuestro triángulo original, y dibujemos en cada vértice la bisectriz, es decir, la recta que subdivide el ángulo en dos subángulos iguales.

Ahora tenemos dos segmentos que pasan por cada vértice. En cada uno de los vértices, reflejemos cada mediana por su bisectriz, es decir, trazar la imagen especular de la mediana la situar un espejo en la bisectriz. Este segmento de recta se le conoce como simediana (en inglés symmedian de symmetric median – mediana simétrica por su construcción). La simediana tiene una importante propiedad: forma con su bisectriz el mismo ángulo que la bisectriz forma con la mediana, dicho de otro modo, la bisectriz del par mediana-simediana es la misma que la del vértice en el que parten.

Sabemos que las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro (centro de la circunferencia circunscrita al triángulo - X(1) en la enciclopedia de centros de triángulos), y las medianas en el centroide (el centro de masa al colocar masas idénticas en los vértices - X(4) en la enciclopedia de centros de triángulos). Las tres simedianas de un triángulo también se cortan en un punto: el punto de Lemoine-Grebe o el punto simediano (el X(6) en la enciclopedia de centros de triángulos).

Esta construcción que en principio parece tan arbitraria tiene su por qué: Tanto la mediana, la bisectriz, o la simediana son cevianas, ternas de rectas o de segmentos de rectas que pasan por los vértices de un triángulo y algún punto del lado opuesto. A los pares de rectas reflejados respecto a la bisectriz se los llama conjugados isogonales (nótese que la bisectriz es su conjugada reflejada isogonal). Además, esta propiedad además de ser la mediana una ceviana hace que la simediana herede propiedades muy buenas y deseables. Por ejemplo, un teorema nos dice que si tres cevianas se cortan en un punto, sendas tres conjugadas isogonales también se cortan en un punto.

Las rectas a rayas son las medianas, las punteadas son las bisectrices, y las rayadas-punteadas son las simedianas. En magenta el centroide, en cian el incentro, y en amarillo el punto de Lemoine-Grebe.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(881) - ¿Cuál es la altura máxima de una montaña de arena?

Supongamos que estamos en el campo o en la playa, y empezamos a hacer un montículo de arena. A todos nos ha pasado que, sobre todo cuando la arena está más seca, al verter arena esta se desliza por la pendiente aumentando la base de la montaña de arena, pero no su altura.

Dado un radio $r$ de la montaña de arena, ¿cuál es la altura máxima que puede tener? La respuesta está en la física. Hay que considerar que cada grano de arena de masa $m$ en la pendiente de ángulo $\theta$ sufre una fuerza (gravedad) que lo empuja pendiente abajo. Esta fuerza es $mg\sin\theta$ . Sin embargo, al estar en contacto con la propia pendiente de arena, hay una fuerza de fricción que se resiste al movimiento, de magnitud $\mu mg\cos\theta$ , donde $\mu$ es el coeficiente de fricción. El ángulo crítico donde esto ocurre es cuando cada grano de arena está en equilibrio estático, es decir, cuando ambas son iguales, $mg\sin\theta_\text{crit} = \mu_S mg\cos\theta$ , por lo que $\mu_S = \tan\theta_\text{crit}$ , donde $\mu_S$ es el coeficiente de fricción estática.

Por pura trigonometría, la reñación entre el ángulo, la altura $h$ y el radio $r$ viene dado por: $$ \mu_S = \tan\theta_\text{crit} = \frac{h}{r} \implies h = \mu_S\, r $$ Es decir, la altura máxima es directamente proporcional al radio.

Lo que implica un volumen de: $$ V = \frac{1}{3}\pi\mu_S\, r^3 $$ Y un área de: $$ A = \pi r^2 \left( 1+\sqrt{1+{\mu_S}^2\;}\; \right) $$ Donde se puede aproximar según los valores de $\mu_S$ $$ A = \pi r^2 \left( 2+\frac{{\mu_S}^2}{2}+\cdots \right) \qquad \mu_S\to0 \\ A = \pi r^2 ( 1+\mu_S + \cdots ) \qquad \mu_S\to\infty $$ El límite $\mu_S\to0$ corresponde a donde todo grano de arena se cae y la montaña son dos círculos puestos uno encima de otro (altura y volumen $0$), mientras que el límite $\mu_S\to\infty$ corresponde a que la fricción es tal que ningún grano de arena cae, y la montaña es un cilindro infinito.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.