(919) - Integral logarítmica

Introduzcamos hoy una de las funciones muy curiosas a mi parecer. $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{li} : & \mathbb{R}^+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\[2.5ex]
& x & \longmapsto & \displaystyle ―\hspace{-12pt}\int_0^x\! \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t \end{array}$$ La integral logarítmica queda relacionada con la integral exponencial, otra función íntimamente relacionada, cuya definición es $ \displaystyle \operatorname{Ei}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} ―\hspace{-12pt}\int_{-\infty}^x\! \frac{e^u}{u} \;\mathrm{d}u $, y la relación se da: $$ \operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}\!\big(\ln(x)\big) \iff \operatorname{li}\!\big(e^x\big) = \operatorname{Ei}(x) $$ La integral logarítmica desplaza o la integral logarítmica euleriana se define como $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Li} : & \mathbb{R}^+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\[2.5ex]
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_2^x\! \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t \triangleq \operatorname{li}(x) -\operatorname{li}(2) \end{array}$$ Donde la diferencia entre una y otra viene dado por: $$ \operatorname{li}(x) - \operatorname{Li}(x) \triangleq\, ―\hspace{-12pt}\int_0^2 \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t = 1\mathrm{'}04516378\cdots $$ La constante de Ramanujan–Soldner, que se define tal que: $$ \mu\in\mathbb{R} / \int_0^\mu\! \frac{1}{\ln t}\;\mathrm{d}t=0 $$ Es decir, es el único cero de la integral exponencial, donde $\mu=1\mathrm{'}451369\cdots$. La integral logarítmica aparece en varios contextos, entre ellos como una aproximación asintótica de la la función contadora de primos, $\pi(x)$, que indica cuántos primos hay en el intervalo $[1,x]$: $$ \pi(x) \sim_\infty \operatorname{li}(x) \sim_\infty \frac{x}{\ln(x)} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(911) - Derivación logarítmica y función poligamma (digamma)

Antes de empezar propiamente digamos qué es la letra digamma: en el alfabeto griego en el periodo arcaico existía la letra digamma Ϝ, ϝ (en $\LaTeX$ se puede poner como $\Gamma \hspace{ -3mm }\raise-.8ex\hbox{$\Gamma$}$). Esta letra, que representaba el sonido /w/, estaba presente varias veces en los primeros versos de la Iliada antes de que se perdiera el sonido y la letra:
Μῆνιν ἄϝειδε Θεὰ Πηληϊάδεω Ἀχιλῆος // οὐλομένην, ἣ μυρί᾽ Ἀχαιοῖς ἄλγε᾽ ἔθηκε, // πολλὰς δ᾽ ἰφθίμους ψυχὰς Ἄϝιδι προΐαψεν // ἡρώων, αὐτοὺς δὲ ἑλώρια τεῦχε κύνεσσιν // οἰωνοῖσί τε πᾶσι, Διὸς δ᾽ ἐτελείετο βουλή, // ἐξ οὗ δὴ τὰ πρῶτα διαστήτην ἐρίσαντε // Ἀτρεΐδης τε ϝάναξ ἀνδρῶν καὶ δῖος Ἀχιλλεύς.

La función digamma, inexplicablemente representada con la letra psi, $\psi(x)$, se define: $$ \psi(x) = \psi^{(0)}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln\Gamma(x) = \frac{\Gamma^{(1)}(x)}{\Gamma(x)} $$ Mientras que la función poligamma se define como las sucesivas derivadas de la función digamma: $$ \psi^{(n)}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} \ln\Gamma(x) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \psi(x) $$ Derivando recursivamente se obtiene que: $$\begin{array}{ cccc }
\psi^{(n)} : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\[1ex]
& x & \longmapsto & \displaystyle (-1)^{n+1}\!\!\int_0^\infty\!\! \frac{t^n e^{-x t}} {1-e^{-t}} \text{d}t
\end{array}$$ Muchas veces estas expresiones, de la derivación logarítmica, se usan para estudiar la variación de una variable o función con respecto al valor instantáneo, en especial cuando tienen un comportamiento exponencial o factorial incluso. Veamos algunos ejemplos en termodinámica: $$ \alpha_P \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial T}\ln V(P,T,\cdots) \qquad \beta_V \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial T}\ln P(V,T,\cdots) \qquad \kappa_T \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial V}\ln P(V,T,\cdots) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.