(1019) - Elegir con cabeza

A veces nos toca tomar decisiones sin saber, quizás lo que tenemos frente a nosotros es el chollo de nuestra vida o lo último por la cola de nuestras posibilidades, pero no lo sabemos por falta de experiencia. 

Por ejemplo con un puesto de trabajo, un piso en alquiler, un coche en venta o incluso al elegir pareja, no sabes a lo que te metes hasta que ya has trabajado en varios sitios o tenido varias parejas para comparar con la elección actual. 

Es por esto que resultado me parece muy curioso e incluso útil para tomar decisiones, el planteamiento es el siguiente:

Coche nuevo

Quieres comprarte un coche de segunda mano, y has estado buscando mucho para cerrar  el catálogo a un total de 100 coches que a la vez te puedes permitir y te gustan, ahora bien, una vez examinas un coche con el propietario, debes tomar la decisión de comprarlo o no al acabar, pues asumimos que, si luego quieres volver a por él, otro se lo habrá llevado para entonces, así que los rechazos son permanentes.

Tenemos pues:

Planteado esto ¿cuántos coches deberías mirar antes de elegir el definitivo?

Si te quedas con el primero, lo más seguro es que no te encuentres el mejor de todos, sería como casarte con la primera persona que te lo propusiera, pero por otra parte, si los miras todos y te quedas el último, lo más probable es que el mejor ya se te haya pasado, por tanto, la solución debe estar en el medio.

¿Cual debería ser k en este caso? ¿Y para N objetos?

Efectivamente, la respuesta está en el medio, y es 1/e ≈ 0.368 ≈ 37%  de los N objetos disponibles para mirar, por lo que en este caso deberías tomar nota de los primeros 37 coches que veas sin comprar ninguno, y comprar el próximo coche que supere a todos los anteriores.

Un detalle importante es que esta estrategia no es infalible. Podría suceder que los primeros coches que veas sean los mejores, y que luego ninguno los supere, en cuyo caso podrías terminar con uno de los peores, pero curiosamente, esta estrategia nos da una probablidad del 37% de no fallar, que en general  es superior a hacerlo a ojo.

La demostración de este resultado es algo compleja, por lo que dejo un par de links para los interesados en este el llamado "Problema de la secretaria" o "Problema de la parada óptima"

    (1 minuto)    - Intuición de por qué funciona 

    (7 minutos)    - Explicación de Numberphile (calidad)

    (48 minutos)    - Charla sobre este problema y variantes similares + aplicaciones

Autor: Raúl Barrero

(1013) - Todo al rojo

 «Todas las evidencias muestran que Dios es en realidad un gran jugador y el universo un gran casino donde los dados se lanzan y la ruleta gira en todo momento. »

        -Stephen Hawking, ludópata y aficionado a la física

Si hay algo que los matemáticos en especial no deberían hacer por sentido común, es apostar dinero en el casino, ya que deberían haber aprendido gran cantidad de conocimientos en Probabilidad de 1º y por ello, sabrían lo que es la esperanza matemática y por qué eso supone malas noticias para su bolsillo, pero en caso de que "estuvieras malo" el 85% de las clases de Eusebio y no pudieras asistir, te lo resumo.

Definición

La esperanza matemática se define por \[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i \] 

¿Pero qué información nos da esta cuenta a priori arbitraria?

Si tiramos una moneda al aire, tenemos que la probabilidad de ganar y la de perder son idénticas, \( \frac{1}{2} \), por lo que si seguimos jugando indefinidamente podemos esperar que "más o menos" nos salga el mismo número de caras que de cruces, ganar el mismo número de veces que perdemos.

Si nos proponen un juego en el que, si sale cara ganamos 2€ y si sale cruz perdemos 1€, la intuición nos dice que deberíamos poder ganar dinero, así que comprobemos con la esperanza matemática si en verdad es así.

Consideremos ahora  \[X = \text{"Dinero que gano en esta jugada en €".}\]  

Hacemos las cuentas

\[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i = 2\cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = 1 - 0.5 =  0.5\]

Y obtenemos que el valor esperado de \( X \) es de 0.5€, un numero positivo , o sea que si seguimos jugando, a la larga, podremos esperar ganar en promedio 0.5€ con cada jugada, un chollo.

Veamos qué pasa ahora con la 37 destinos.

La ruleta

Consideremos también  \[X = \text{"Dinero que gano en esta jugada".}\]  

Utilizando la regla de Laplace vemos que:

                                      

P(Rojo) =  \( \frac{18}{37} \) 

P(Negro) = \( \frac{18}{37} \) 

P(Cero) = \( \frac{1}{37} \) 

Sabemos además que en el casino, por cada euro apostado si ganamos nos lo doblan (+1€) y si perdemos nos lo quitan (-1€). Entonces:

\[E_{\text{color}}(X) = (+1) \cdot \frac{18}{37} + (-1) \cdot \frac{19}{37} = \frac{-1}{37} = -0.\overline{027}\]

La esperanza es negativa, lo cual nos indica que a la larga, la variable "Dinero que gano en la jugada" va  a ser negativa, o en lenguaje corriente, que vamos a perder dinero si seguimos jugando.

Sorprendentemente, da igual a qué apostemos, pares, impares, rojo, negro... ¡ la esperanza es la misma!

Si aciertas el número te 

\[E_{\text{número concreto}}(X) = 35 \cdot \frac{1}{37} + (-1) \cdot \frac{36}{37} = \frac{-1}{37} \]

\[E_{\text{pares}}(X) = +1 \cdot \frac{18}{37} + (-1) \cdot \frac{19}{37} = \frac{-1}{37} \]

Claro, la probabilidad de que caiga en un numero concreto es mucho menor a la de que caiga en rojo/negro o par/impar, pero como pagan más las pérdidas a la larga serán las mismas.

O sea, que da igual a lo que juegues que vas perder lo mismo. Si empiezas la noche con 15€ jugando en una mesa con apuesta mínima de 5€ puedes esperar perder: \[5\cdot(-0.027) =-0.135€\] por jugada, eso sí, probablemente no te dure las \(\frac{15}{0.135} = 111\) rondas teóricas.

Por último, que puedas esperar perder tu dinero no significa que lo tengas que perder, puedes ganar dinero en el casino, meter 10 al rojo y salir instantáneo con 20€ fresquitos, pero lo que nos dice la esperanza es, que si te quedas, y sigues jugando eventualmente esos 10 irán bajando y subiendo hasta hacerse 0.

Si quieres probar tu suerte, te dejo este programa sinulador de ruleta para que veas lo que te duraría el dinero y un par de gráficas por si no te apetece ejecutarlo :)

https://drive.google.com/drive/folders/1EbV48FwoAUpzlVGUsdJGuv1C05SEhwLT?usp=sharing

Autor: Raúl Barrero