(1213) - Arpeggios, un juego sobre azar (Parte 1)

 Hoy vamos a volver un poco a los juegos de azar,  vamos a ver cómo jugar a Arpeggios, un juego muy relaiconado con la probabilidad y del que podemos sacar estrategias óptimas. 

El juego funciona de la siguiente forma:

Primero de todo, necesitarás 2 jugadores, folio, bolígrafo, y 2 dados, el juego se desarrolla por turnos, en primer luegar los jugadores se asignan los papeles de "jugador ascendente" y "jugador descendente", tiran por turnos un par de dados, y en cada tirada apuntan su resultado en el folio de la siguiente manera: empieza el jugador ascendente, tira los dados y sale (por ejemplo) un 2 y un 4, entonces puede escribir en su columna un 24, un 42 o rechazar la tirada, luego sigue el jugador descendente, que saca (por ejemplo) un 3 y un 1, por lo que podrá apuntarse un 13, un 31, o rechazar la tirada ... el juego sigue hasta que uno de ambos llegue a apuntar 10 números, pero tiene truco, pues el jugador ascendente solo puede apuntar números en orden ascendente, al igual que el descendente solo puede apuntarlos en ese orden.

Por ejemplo, si fueras jugador ascendente y sacaras  1, 4 te interesaría apuntar 14 antes de 41, pues vas a poder poner más números encima del tuyo  y llegar antes a los 10 que si te limitas a apuntar solo los superiores a 41.

Si sacaras por casualidad 5 y 6, te interesaría descartar la tirada porque solo hay una combinación que te permite subir la cifra, así que no te interesa.

Cada vez que un jugador tira, pasa los dados al otro y siguien jugando hasta que alguno consiga apuntar 10 números de acuerdo con su papel (ascendente o descendente).

Puesto que apuntar 10 de esta forma seguidos es algo complicado, se añaden un par de normas:

-Si sacas dobles, puedes elegir si quedarte el numero o tirar un dado de nuevo

-Si pasas turno, tu rival puede cambiar su turno por tu tirada (quedarse con los numeros que has sacado y apuntarselos como una tirada suya), al hacer esto, gasta su turno

(Ej: Sacas 6,6 , no lo quieres, tu rival sí, se lo apunta y te devuelve el turno)

-Puedes cortar una vez tu racha ascendente o descendente, es decir, que siendo ascendente puedes escribir un número inferior al anterior una sola vez en la partida, de igual forma, el descendente puede escribir un numero mayor al anterior una sola vez en la partida.

Ejemplo:

Jugador ascendente saca 1,4 -> Apunta 14

Jugador descendente saca 2,6 -> Apunta 62

Jugador ascendente saca 3,1 -> Apunta 31

Jugador descendente saca 5,3-> Apunta 53

Jugador ascendente saca 4,6 -> Apunta 46

Jugador descendente saca 3,4 -> Apunta 43

Jugador ascendente saca 1,5 -> Apunta 51

Jugador descendente saca 5,6 -> Pasa turno

Jugador ascendente acepta los dados -> Apunta 56

Jugador descendente saca 3,5 -> Pasa turno

...

La lista quedaría tal que así

El primero que llegue a 10 numeros apuntados gana.

Es un juego interesante para usar probabilidades condicionadas, esperanzas y otros cáluclos para decidir bajo qué condiciones te interesa apuntar, pasar o volver a tirar dados en función de lo que te salga.

Si no te apetece, este video te explica las cuentas y estrategias óptimas 

Autor: Raúl Barrero Pastor

(1201) - Problemas varios al derivar

• Si tenemos una fórmula explícita, podemos escribir utilizando cálculo simbólico una fórmula para la derivada. Para este caso no hace falta que la función original sea cerrada pues se puede dar como un sumatorio, como una serie, etc. Así se tiene una fórmula conocida para la derivada y se puede ver fácilmente cómo se compara dicha fórmula con la función original.



• Supongamos en cambio que no tenemos una fórmula cerrado, o no para la función original, pero que dado cualquier argumento que le demos (input) nos dice cuánto es la función evaluada en dicho punto (output). Aquí podemos usar el límite de la definición de derivada para poder aproximar numéricamente la derivada en cada punto. A su vez podemos calcular la derivada una vez más donde dado un argumento nos dice cuánto vale en dicho punto. Sin embargo, como tomar el límite muchas veces solo se puede hacer desde un punto de vista simbólico, y no desde un punto de vista numérico, a la hora del cómputo lo que se suele hacer es tomar la función de evaluada de manera inteligente en ciertos nodos tal que con diferencias divididas se puede aproximar la derivada con una de precisión arbitrariamente alta.



• Sin embargo, muchas veces se tiene que la función está tabulada, o sea, solo sabemos los outputs en terminados inputs, es decir, solo sabemos el valor de la ordenada para ciertas abscisas. Este es un caso muy diferente al anterior ya que si bien en el caso anterior aunque no tuviéramos una fórmula explícita y no pudiéramos sacar una fórmula ni para la función original ni para la derivada, sí que mediante la evaluación de la función y los puntos podíamos acercarnos al valor numérico de la derivada con la precisión quisiéramos. Aquí en cambio la función solo está tabulada para ciertos valores y uno se tiene que apañar con esos valores tabulados de tal forma que la derivada no se va a poder calcular con precisión arbitraria, pues la precisión de la derivada dependerá del número de cifras significativas que tenga y la longitud del intervalo.
  
  Algunos manuales de análisis numérico lo que sugieren para calcular la derivada en un punto es estimar la derivada en los puntos tabulados e interpolar entre dichos puntos al valor que se quiere. Otros sugieren que a través de los puntos de la tabla construir un polinomio interpolador, derivarlo y evaluar la derivada en dicho punto. El problema este último razonamiento es que el polinomio interpolador cuando se van añadiendo más puntos tiene el problema del fenómeno de Runge (donde hay muchas oscilaciones en torno a los extremos del intervalo). Aun así, incluso si se coge o incluso si los datos están tabulados en los nodos del Chebyshev (de tal forma que el fenómeno de Runge no ocurra y se minimice la norma infinito de error, que es la función menos el polinomio interpolador), el teorema de aproximación polinómica de Weierstrass nos asegura solo la convergencia de los polinomios a una función continua, no necesariamente derivable. De hecho, hay bastantes ejemplos de sucesiones de polinomios (todos ellos infinitamente derivables), cuyo límite es una función continua, pero no-derivable.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1193) - Oligonomios. Los polinomios de pocos términos

Los oligonomios o polinomios lacunarios son polinomios con muy pocos términos. Los polinomios se definen como suma de monomios, que muchas veces los monomios se definen a posteriori como cada uno de los términos o sumandos de los polinomios (dando una definición circular). Un polinomio de grado $d$ en $n$ variables tendrá a lo sumo $\displaystyle\binom{d+n}{n}=\binom{d+n}{d}$. Es decir, si denotamos al grado $d$, un polinomio en $1$ variable tendrá a lo sumo $d+1$ términos; un polinomio en $2$ tendrá a lo sumo $\displaystyle\frac{(d+2)(d+1)}{2}$ términos, ... Un bonito resultado que se deja al lector como ejercicio. Nótese que: $$\binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{d^n}{n!} + \mathcal{O}(d^{n-1}) \qquad (d\to\infty)$$ O lo que es lo mismo $$\binom{d+n}{n} = \binom{d+n}{d} \sim_\infty \frac{n^d}{d!} + \mathcal{O}(n^{d-1}) \qquad (n\to\infty)$$ Los oligonomios, al tener solo unos pocos términos, son mucho más fáciles de evaluar y operar. Por ejemplo, dado un polinomio cúbico mónico, $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, si uno quiere saber sus raíces, primero hay que llevarlo a la forma de Cardano $z^3+pz+q$ donde ha desaparecido un término. Si casualmente o bien $p$, o bien $q$ son 0, hallar las raíces es mucho más fácil aún. O consideremos un polinomio cuadrático mónico, $x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$. Si es par, es decir, $a_3=a_1=0$, se convierte en un bicuadrático donde de los 5 posibles términos solo aparecen 3 y cuyas raíces se pueden obtener con la fórmula cuadrática en vez del horror que es la cuártica. Otro ejemplo son los polinomios quínticos mónicos, $x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, que se pueden llevar a la forma de Bring–Jerrard, $z^5+z+a$, donde de los 6 posibles términos solo hay 3, y de los 5 coeficientes arbitrarios, solo hay 1, lo que facilita el estudio de este tipo de polinomios. A veces los oligonomios aparecen en la suma o producto de polinomios "completos". Veamos algunos ejemplos: $$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$$ Donde de los 10 posibles términos solo aparecen 2. $$(x - y)(x^{d-1}+x^{d-2}y+\cdots+xy^{d-2}+y^{d-1}) = (x-y) \sum_{k=0}^{d-1} x^k y^{d-1-k} = x^d - y^d$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1187) - Derivada numérica. Cómo calcular la derivada con datos numéricos

Supongamos que tenemos dos variables aleatorias $X,Y$ y queremos medir cómo la variable aleatoria $Y$ varía con respecto a $X$. Tomamos $N$ puntos $\big\{(x_i,y_i)\big\}_{i=1}^N$ donde $\{x_i\}_{i=1}^N$ son muestras de la variable aleatoria $X$, así como $\{y_i\}_{i=1}^N$ de $Y$. En todo esto habría que tener en cuenta que al tomar muestras de cada variable aleatoria no solo hay una incertidumbre en la medida por las limitaciones del aparato con el que medimos, sino que también puede haber un error accidental o incluso sistemático al tomar cada medida. Sin embargo, no nos vamos a preocupar por esto ahora.

Supongamos que existe una funcion $f$ (que no necesariamente conocemos) tal que podamos escribir $Y=f(X)$, es decir, que $X,Y$ estén correlacionadas mediante $f$. La definición de derivada, se da como un límite, que se puede escribir de dos formas equivalentes: $$f^{(1)}(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$ Sin embargo, no podemos tomar ese límite de manera continua, entre otras cosas, porque no tenemos un conjunto continuo, sino simplemente un conjunto discreto de puntos. Supongamos que $f$ es suficientemente derivable en cada punto que queramos calcular su derivada. Tomando un desarrollo de Taylor en torno a $x$ y en serie de potencias de $h$ nos llega a las siguientes. $$\frac{f(x+h_2)-f(x)}{h_2} = f^{(1)}(x) + \frac{h_2}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_2}^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big({h_2}^3\big)$$ $$\frac{f(x)-f(x-h_1)}{h_1} = f^{(1)}(x) - \frac{h_1}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_1}^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big({h_1}^3\big)$$ Que son las definiciones de derivada progresiva y derivada regresiva respectivamente. Sin embargo, vemos rápidamente que en ambas fórmulas lo estamos o bien infraestimando o sobreestimando. Esto sin contar que si bien $h_1$ o $h_2$ no son lo suficientemente pequeños, o si bien las sucesivas derivadas son grandes, la aproximación es bastante mala. Consideremos esta mejora: $$\frac{f(x+h_2)-f(x-h_1)}{h_2+h_1} = f^{(1)}(x) + \frac{h_2-h_1}{2}f^{(2)}(x) + \frac{{h_2}^2-h_2h_1+{h_1}^2}{6}f^{(3)}(x)+\cdots$$ Esto es bastante mejor, ya que como $h_1\approx h_2$, los sucesivos términos desaparacen prácticamente y se les da mucha menos importancia. Aunque no lo parezca mucho, así se ha disminuido mucho el error. De hecho, para el caso particular que $h_1=h_2:=h$, se tiene que es realmente bella. $$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = f^{(1)}(x) + \frac{h^2}{6}f^{(3)}(x) + \mathcal{O}\big(h^4\big)$$ Esto se conoce como la derivada centrada, que como se puede observar tiene un error asociado mucho menos que los dos casos que inicialmente se contemplaron.

Así pues, todo se puede resumir en: $${y_i}^\prime \approx \begin{cases} \displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} & i=1 \\[9pt] \displaystyle \frac{y_{i+1}-y_{i-1}}{x_{i+1}-x_{i-1}} & i=2,\cdots,N-1 \\[9pt] \displaystyle \frac{y_N-y_{N-1}}{x_N-x_{N-1}} & i=N \end{cases}$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1181) - La ratio plástica (número plástico). El hermano del número áureo

Todos bien conocemos el número áureo, $\varphi$ donde la definición que se suele dar es dados $a>b>0$ se define como la proporción: $$\varphi = \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \implies \varphi = \frac{1+\sqrt{5\,}}{2}$$ La ratio plástica $\rho$ se define de una mana similar: dados $a>b>c>0$ se define como la razón $$\rho = \frac{b+c}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$ Esto nos llega a la ecuación de tercer grado $x^3-x-1=0$ es bastante similar a la de la razón áurea, $x^2-x-1=0$. Como es una ecuación cúbica en función de la formula de Cardano $$\rho = \sqrt[3]{\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,}+\sqrt[3]{\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{23}{3}\,}}{2}\,} = \frac{2}{\sqrt{3\,}}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{3\sqrt{3\,}}{2}\right)\right) = 1\text{'}3247179572447460259609088544781\cdots$$ De forma similar, hay relaciones similares con sendos polinimios: $$\frac{x^2-x-1}{x-\varphi} = x+\frac{1}{\varphi}= x+(\varphi-1) \qquad \frac{x^3-x-1}{x-\rho} = x^2 + \rho x + \frac{1}{\rho} = x^2+\rho x + (\rho^2-1)$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1171) - La constante y secuencia de TRIBONACCI

El lector bien conoce la constante de Fibonacci, la raíz mayor que $1$ a la ecuación cuadrática $x^2=x+1$, que surge al estudiar el comportamiento asintótico de la sucesión recursiva definida como $F_0=0,F_1=1, F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$.

Consideremos ahora otro caso, otro tipo de sucesión, la dada por $T_0=0,T_1=0,T_2=1,T_{n+1}=T_n+T_{n-1}+T_{n-2}$. Mientras que en la de Fibonacci cada elemento se definía como la suma de los dos anteriores, aquí se define como la suma de los 3 anteriores. Esta secuencia es la A000073 en la OEIS. Otras secuencias también reciben el nombre de secuencia de Tribonacci según los iterantes iniciales, pero todas satisfaciendo la misma relación de recurrencia, y por ende el mismo comportamiento asintótico.

Aquí la constante de Tribonacci es la raíz mayor que $1$ a la ecuación cúbica $x^2=x^2+x+1$, que se puede reescribir como $x^4-2x^3+1=0$. Este constante es la misma independientemente de la definición de iterantes iniciales, ya que solo depende de la relación de recurrencia. En virtud de la fórmula de Cardano, este número acepta una fórmula cerrada para poder escribirse: $$x = \frac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33\,}\,}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33\,}\,}}{3} = \frac{1}{3}+\frac{4}{3}\cosh\left(\frac{1}{3}\operatorname{argcosh}\left(\frac{19}{8}\right)\right) \approx 1\text{'}8392867552141611325518525646533\cdots$$ Veamos algunos gráficos:

Sucesión en escala logarítimica. Nótese que tiene un comportamiento geométrico asintóticamente

Ratio de dos términos consecutivos de la sucesión de Tribonacci

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1163) - ¿Dados ideales pero no honestos?

¿Existen dos dados ideales (que cada cara sea equiprobable), con otros números en las caras con respecto al dado estándar, tales que al tirarlos conjuntamente den la misma probabilidad que al tirar dos dados ideales?

La respuesta simple y llanamente es sí. Incluso de casos no triviales como $\{0,1,2,3,4,5\}$ y $\{2,3,4,5,6,7\}$ o similares. La solución se conoce como dados de Sicherman, y la solución es única si se impone que no pueda tener ninguna cara un $0$. Dichos dados tienen por caras: $\{1,2,2,3,3,4\}$ y $\{1,3,4,5,6,8\}$.

Cómo llegar a la solución es realmente curioso al asignar a cada dado un polinomio $p(x)$ donde cada monomio tiene como grado la el número de la cara y su coeficiente es cuántas caras tienen ese número. Por ejemplo, el dado estándar es $x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6$, mientras que los de Sicherman son $x+2x^2+2x^3+x^4$ y $x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$. En general para hallar los coeficientes de la solución no-trivial uno debe imponer que ningún dado tenga una cara con $0$, es decir $p(0)=0$, y que el dado tenga $6$ caras, es decir, $p(1)=6$.

Así pues buscamos dos polinomios $P(x),Q(x)$ tal que $P(x)Q(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2=x^2(1+x)^2(1-x+x^2)^2(1+x+x^2)^2$. La condición de que $p(0)=0$ implica que $x|P(x)$ y $x|Q(x)$, mientras que las de $p(1)=6$ implica que $(1+x)(1+x+x^2)|P(x)$ y $(1+x)(1+x+x^2)|Q(x)$. Nos queda el factor $(1-x+x^2)^2$ por determinar. Si se "reparte por igual" entre ambos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, se vuelve a tener el mismo polinomio, mientras que si ponemos $P(x)=x(1+x)(1+x+x^2)=x+2x^2+2x^3+x^4$ y $Q(x)=x(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)^2=x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$.

Para más información y sobre el vídeo que inspiró en parte esta entrada, vea el lector el vídeo en este enlace


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1153) - Tirar dos dados: Distribución no uniforme a partir de uniformes

Consideremos un dado honesto o ideal, como con los que jugamos al monopoly, oca, parchís o trivial. Este dado tiene seis caras, convientemente numeradas del $1$ al $6$. Al ser ideal, y por la regla de Laplace, todos tienen la misma probabilidad de aparecer $\frac{1}{6}$.

Sin embargo, consideremos dos dados, ambos honestos, sumemos los resultados al lanzarlos. La tabla de posibles resultados es (siendo la primera fila y columna lo que sale en cada dado):
Nótese que se repiten varios resultado; algunos de varias veces y otros otros no tanto. ¿Qué es más probable sacar un 11 o un 12? Leibniz se equivocó y argumentó que ambos eran igual de probables ya que $6+6=12$ y $5+6=11$, ya que solo hay una posible suma que diese $11$. El problema de Leibniz fue considerar los dados como idénticos e indistinguibles. Sin embargo, con un dado rojo y otro azul, se ve fácilmente que hay dos opciones para obtener el $11$ o bien cinco rojo y seis azul, o bien cinco azul y seis rojo.Veamos la tabla de probabilidades

$$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \end{array}$$

De hecho el número $7$ es el más probable de obtener con una probabilidad de $\frac{6}{36} = 16\text{'}\bar{6}\%$, lo que significa que es tan probable como cualquier otro resultado de un dado ideal individual. Mientras tanto sacar los extremos de $1$ o bien $12$ tienen cada uno una probabilidad de $\frac{1}{36} = 2\text{'}\bar{7}\%$.

Comparemos sendas funciones de masa de probabilidad y sendas funciones de probabilidad acumuladas:

Función de masa de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Función de probabilidad acumulada de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Siempre me ha sorprendido cómo, el ejemplo del dado que se introduce desde 3º ESO como la antonomasia de caso uniforme, si se suman dos se tiene una distribución no uniforme.

Consideremos una última cosa. En vez de solo sumar, sumemos y quedémonos con el resto de dividir entre $6$, que en este caso es equivalente a restar $6$ si la suma es estrictamente mayor que $6$. Aquí volvemos a una distribución uniforme. $$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline + (\mathrm{mod }6) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$$ Este truco se puede utilizar para intentar "regularizar" la distribución de dos dados donde uno es no ideal.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

( 1151 ) - La belleza en las curvas de Bezier

 No, ese tipo de curvas no (Bézier era un tío), hoy vamos a hablar de cómo podemos construir curvas que pasen por 2 puntos de una forma que, si habéis usado alguna vez Photoshop, os va a resultar familiar.

Inicialmente, si tenemos 2 puntos y queremos unirlos por una curva, lo más sensato sería inventarnos con buen criterio un tercer punto en el medio y hallar la parábola usando el polinomio de Newton o algún otro método de cálculo numérico.

Pero vamos a plantearlo de otra forma.

Imagina 2 puntos, la curva más simple que pasa por ellos es una recta, que podemos parametrizar como $L_{0} = \lambda\cdot P_{0} + (1-\lambda)\cdot P_{1}$, o sea, que según $\lambda$ varía entre 0 y 1, el punto se "desliza" entre $P_{0}$ y $P_{1}$.

Consideremos ahora 3 puntos, pero en vez de hacer lo que ya sabemos, vamos a intentar usar esa idea del deslizador.

Cogemos $P_{0}$ y $P_{1}$, consideramos su deslizador $L_{0}$, y por otra parte cogemos $P_{1}$ y $P_{2}$ con su deslizador $L_{1}$.

Si hacemos variar el mismo $\lambda$ para ambos, los deslizadores van en algún sentido "sincronizados", como empiezan y acaban su recorrido con el mismo $\lambda$, parecen sincronizados, pues si usamos ahora el deslizador entre $L_{0}$ y $L_{1}$, o sea, 2 puntos que se mueven en los segmentos  $P_{0}P_{1}$ y $P_{1}P_{2}$, conseguimos un comportamiento más suave, una curva entre los 3 puntos que no necesariamente los interpola.

Esto podemos hacerlo con cualquier cantidad de puntos que queramos, y se llaman curvas de Bézier, que pueden ser lineales (deslizadores), cuadradas (la curva que acabamos de describir), cúbicas... etc.

Este video introduce más gráficamente la idea tras las curvas.

 Cuando usamos herramientas de dibujo como el pincel de Photoshop, estamos usando inconscientemente este tipo de curvas.

                    

Recomiendo enormemente también este video sobre las curvas de Bézier que ha sido mi inspiración para escribir sobre ellas, vale muchísimo la pena y Freya tiene varios videos más de formato largo y animaciones chulísimas que están genial.

Autor: Raúl Barrero 

(1129) - Integrando como Euler & Maclaurin - Regla del trapecio compuesta

Pongamos una bonita fórmula, la fórmula de Euler-Maclaurin: $$\sum_{k=m}^n f(k) = \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p$$ Que relaciona una suma con la integral correspondiente usando derivadas de órdenes superior y dando un resto de la aproximación $R_p$. Tomando el límite para $p\to\infty$ se llega a la fórmula asintótica: $$\sum_{k=m}^n f(k) \sim_\infty \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right)$$ Que es muy útil para aproximar ciertas sumas por integrales en física estadística por ejemplo: $$\sum_{n=0}^\infty e^{-\alpha^2n^2} \sim_\infty \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha} + \cdots$$ Donde solo nos da un resultado asintótico y no el exacto ya que las derivadas anulan más rápido que cualquier polinomio. Sin embargo, si se aplica la fórmula de Euler-Maclaurin para una función $\varphi(x)$ y se define para un $N$ y para $\displaystyle h=\frac{b-a}{N}$ la función $f(x)$ tal que $f(a+h\,x)=\varphi(x)$, se llega a una expresión que en vez de sumar la función evaluada en los enteros, se suma en puntos equiespacidos entre $a$ y $b$ a donde se llega a una expresión asintótica de la regla del trapecio compuesta: $$\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \underbrace{h\left(\frac{f(a)}{2} + \sum_{k=1}^{N-1} f(a+hk) + \frac{f(b)}{2}\right)}_\text{Regla del trapecio compuesta} - \underbrace{\frac{h^2}{12}\big(f^{(1)}(b)-f^{(1)}(a)\big)}_\text{Corrección a I orden} + \underbrace{\frac{h^4}{720}\big(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\big) - \frac{h^6}{30240}\big(f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)\big) + \cdots }_\text{Resto de la corrección}$$ Nótese que la suma de Riemann, lo que es estrictamente la regla del trapecio, converge a la integral según $N\to\infty$ para funciones ya que $h\to0$, aunque es posible que alguno de los términos, por cómo sea la $(2n-1)-$ésima derivada no aporte mucho al cómputo de la integral e introduzca un mayor error.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.