(1163) - ¿Dados ideales pero no honestos?

¿Existen dos dados ideales (que cada cara sea equiprobable), con otros números en las caras con respecto al dado estándar, tales que al tirarlos conjuntamente den la misma probabilidad que al tirar dos dados ideales?

La respuesta simple y llanamente es sí. Incluso de casos no triviales como $\{0,1,2,3,4,5\}$ y $\{2,3,4,5,6,7\}$ o similares. La solución se conoce como dados de Sicherman, y la solución es única si se impone que no pueda tener ninguna cara un $0$. Dichos dados tienen por caras: $\{1,2,2,3,3,4\}$ y $\{1,3,4,5,6,8\}$.

Cómo llegar a la solución es realmente curioso al asignar a cada dado un polinomio $p(x)$ donde cada monomio tiene como grado la el número de la cara y su coeficiente es cuántas caras tienen ese número. Por ejemplo, el dado estándar es $x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6$, mientras que los de Sicherman son $x+2x^2+2x^3+x^4$ y $x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$. En general para hallar los coeficientes de la solución no-trivial uno debe imponer que ningún dado tenga una cara con $0$, es decir $p(0)=0$, y que el dado tenga $6$ caras, es decir, $p(1)=6$.

Así pues buscamos dos polinomios $P(x),Q(x)$ tal que $P(x)Q(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^2=x^2(1+x)^2(1-x+x^2)^2(1+x+x^2)^2$. La condición de que $p(0)=0$ implica que $x|P(x)$ y $x|Q(x)$, mientras que las de $p(1)=6$ implica que $(1+x)(1+x+x^2)|P(x)$ y $(1+x)(1+x+x^2)|Q(x)$. Nos queda el factor $(1-x+x^2)^2$ por determinar. Si se "reparte por igual" entre ambos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$, se vuelve a tener el mismo polinomio, mientras que si ponemos $P(x)=x(1+x)(1+x+x^2)=x+2x^2+2x^3+x^4$ y $Q(x)=x(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)^2=x+x^3+x^4+x^5+x^6+x^8$.

Para más información y sobre el vídeo que inspiró en parte esta entrada, vea el lector el vídeo en este enlace


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1153) - Tirar dos dados: Distribución no uniforme a partir de uniformes

Consideremos un dado honesto o ideal, como con los que jugamos al monopoly, oca, parchís o trivial. Este dado tiene seis caras, convientemente numeradas del $1$ al $6$. Al ser ideal, y por la regla de Laplace, todos tienen la misma probabilidad de aparecer $\frac{1}{6}$.

Sin embargo, consideremos dos dados, ambos honestos, sumemos los resultados al lanzarlos. La tabla de posibles resultados es (siendo la primera fila y columna lo que sale en cada dado):
Nótese que se repiten varios resultado; algunos de varias veces y otros otros no tanto. ¿Qué es más probable sacar un 11 o un 12? Leibniz se equivocó y argumentó que ambos eran igual de probables ya que $6+6=12$ y $5+6=11$, ya que solo hay una posible suma que diese $11$. El problema de Leibniz fue considerar los dados como idénticos e indistinguibles. Sin embargo, con un dado rojo y otro azul, se ve fácilmente que hay dos opciones para obtener el $11$ o bien cinco rojo y seis azul, o bien cinco azul y seis rojo.Veamos la tabla de probabilidades

$$ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline + & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline \end{array} $$

De hecho el número $7$ es el más probable de obtener con una probabilidad de $\frac{6}{36} = 16\text{'}\bar{6}\%$, lo que significa que es tan probable como cualquier otro resultado de un dado ideal individual. Mientras tanto sacar los extremos de $1$ o bien $12$ tienen cada uno una probabilidad de $\frac{1}{36} = 2\text{'}\bar{7}\%$.

Comparemos sendas funciones de masa de probabilidad y sendas funciones de probabilidad acumuladas:

Función de masa de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Función de probabilidad acumulada de los dados: Dado individual en rojo, al lanzar dos en azul

Siempre me ha sorprendido cómo, el ejemplo del dado que se introduce desde 3º ESO como la antonomasia de caso uniforme, si se suman dos se tiene una distribución no uniforme.

Consideremos una última cosa. En vez de solo sumar, sumemos y quedémonos con el resto de dividir entre $6$, que en este caso es equivalente a restar $6$ si la suma es estrictamente mayor que $6$. Aquí volvemos a una distribución uniforme. $$ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline + (\mathrm{mod }6) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array} $$ Este truco se puede utilizar para intentar "regularizar" la distribución de dos dados donde uno es no ideal.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

( 1151 ) - La belleza en las curvas de Bezier

 No, ese tipo de curvas no (Bézier era un tío), hoy vamos a hablar de cómo podemos construir curvas que pasen por 2 puntos de una forma que, si habéis usado alguna vez Photoshop, os va a resultar familiar.

Inicialmente, si tenemos 2 puntos y queremos unirlos por una curva, lo más sensato sería inventarnos con buen criterio un tercer punto en el medio y hallar la parábola usando el polinomio de Newton o algún otro método de cálculo numérico.

Pero vamos a plantearlo de otra forma.

Imagina 2 puntos, la curva más simple que pasa por ellos es una recta, que podemos parametrizar como $L_{0} = \lambda\cdot P_{0} + (1-\lambda)\cdot P_{1}$, o sea, que según $\lambda$ varía entre 0 y 1, el punto se "desliza" entre $P_{0}$ y $P_{1}$.

Consideremos ahora 3 puntos, pero en vez de hacer lo que ya sabemos, vamos a intentar usar esa idea del deslizador.

Cogemos $P_{0}$ y $P_{1}$, consideramos su deslizador $L_{0}$, y por otra parte cogemos $P_{1}$ y $P_{2}$ con su deslizador $L_{1}$.

Si hacemos variar el mismo $\lambda$ para ambos, los deslizadores van en algún sentido "sincronizados", como empiezan y acaban su recorrido con el mismo $\lambda$, parecen sincronizados, pues si usamos ahora el deslizador entre $L_{0}$ y $L_{1}$, o sea, 2 puntos que se mueven en los segmentos  $P_{0}P_{1}$ y $P_{1}P_{2}$, conseguimos un comportamiento más suave, una curva entre los 3 puntos que no necesariamente los interpola.

Esto podemos hacerlo con cualquier cantidad de puntos que queramos, y se llaman curvas de Bézier, que pueden ser lineales (deslizadores), cuadradas (la curva que acabamos de describir), cúbicas... etc.

Este video introduce más gráficamente la idea tras las curvas.

 Cuando usamos herramientas de dibujo como el pincel de Photoshop, estamos usando inconscientemente este tipo de curvas.

                    

Recomiendo enormemente también este video sobre las curvas de Bézier que ha sido mi inspiración para escribir sobre ellas, vale muchísimo la pena y Freya tiene varios videos más de formato largo y animaciones chulísimas que están genial.

Autor: Raúl Barrero