(1129) - Integrando como Euler & Maclaurin - Regla del trapecio compuesta

Pongamos una bonita fórmula, la fórmula de Euler-Maclaurin: $$\sum_{k=m}^n f(k) = \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p$$ Que relaciona una suma con la integral correspondiente usando derivadas de órdenes superior y dando un resto de la aproximación $R_p$. Tomando el límite para $p\to\infty$ se llega a la fórmula asintótica: $$\sum_{k=m}^n f(k) \sim_\infty \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right)$$ Que es muy útil para aproximar ciertas sumas por integrales en física estadística por ejemplo: $$\sum_{n=0}^\infty e^{-\alpha^2n^2} \sim_\infty \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha} + \cdots$$ Donde solo nos da un resultado asintótico y no el exacto ya que las derivadas anulan más rápido que cualquier polinomio. Sin embargo, si se aplica la fórmula de Euler-Maclaurin para una función $\varphi(x)$ y se define para un $N$ y para $\displaystyle h=\frac{b-a}{N}$ la función $f(x)$ tal que $f(a+h\,x)=\varphi(x)$, se llega a una expresión que en vez de sumar la función evaluada en los enteros, se suma en puntos equiespacidos entre $a$ y $b$ a donde se llega a una expresión asintótica de la regla del trapecio compuesta: $$\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \underbrace{h\left(\frac{f(a)}{2} + \sum_{k=1}^{N-1} f(a+hk) + \frac{f(b)}{2}\right)}_\text{Regla del trapecio compuesta} - \underbrace{\frac{h^2}{12}\big(f^{(1)}(b)-f^{(1)}(a)\big)}_\text{Corrección a I orden} + \underbrace{\frac{h^4}{720}\big(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\big) - \frac{h^6}{30240}\big(f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)\big) + \cdots }_\text{Resto de la corrección}$$ Nótese que la suma de Riemann, lo que es estrictamente la regla del trapecio, converge a la integral según $N\to\infty$ para funciones ya que $h\to0$, aunque es posible que alguno de los términos, por cómo sea la $(2n-1)-$ésima derivada no aporte mucho al cómputo de la integral e introduzca un mayor error.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.