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miércoles, 19 de febrero de 2025

(1129) - Integrando como Euler & Maclaurin - Regla del trapecio compuesta

Pongamos una bonita fórmula, la fórmula de Euler-Maclaurin: \sum_{k=m}^n f(k) = \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p
Que relaciona una suma con la integral correspondiente usando derivadas de órdenes superior y dando un resto de la aproximación R_p. Tomando el límite para p\to\infty se llega a la fórmula asintótica: \sum_{k=m}^n f(k) \sim_\infty \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right)
Que es muy útil para aproximar ciertas sumas por integrales en física estadística por ejemplo: \sum_{n=0}^\infty e^{-\alpha^2n^2} \sim_\infty \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha} + \cdots
Donde solo nos da un resultado asintótico y no el exacto ya que las derivadas anulan más rápido que cualquier polinomio. Sin embargo, si se aplica la fórmula de Euler-Maclaurin para una función \varphi(x) y se define para un N y para \displaystyle h=\frac{b-a}{N} la función f(x) tal que f(a+h\,x)=\varphi(x), se llega a una expresión que en vez de sumar la función evaluada en los enteros, se suma en puntos equiespacidos entre a y b a donde se llega a una expresión asintótica de la regla del trapecio compuesta: \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \underbrace{h\left(\frac{f(a)}{2} + \sum_{k=1}^{N-1} f(a+hk) + \frac{f(b)}{2}\right)}_\text{Regla del trapecio compuesta} - \underbrace{\frac{h^2}{12}\big(f^{(1)}(b)-f^{(1)}(a)\big)}_\text{Corrección a I orden} + \underbrace{\frac{h^4}{720}\big(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\big) - \frac{h^6}{30240}\big(f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)\big) + \cdots }_\text{Resto de la corrección}
Nótese que la suma de Riemann, lo que es estrictamente la regla del trapecio, converge a la integral según N\to\infty para funciones ya que h\to0, aunque es posible que alguno de los términos, por cómo sea la (2n-1)-ésima derivada no aporte mucho al cómputo de la integral e introduzca un mayor error.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

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