( 1151 ) - La belleza en las curvas de Bezier

 No, ese tipo de curvas no (Bézier era un tío), hoy vamos a hablar de cómo podemos construir curvas que pasen por 2 puntos de una forma que, si habéis usado alguna vez Photoshop, os va a resultar familiar.

Inicialmente, si tenemos 2 puntos y queremos unirlos por una curva, lo más sensato sería inventarnos con buen criterio un tercer punto en el medio y hallar la parábola usando el polinomio de Newton o algún otro método de cálculo numérico.

Pero vamos a plantearlo de otra forma.

Imagina 2 puntos, la curva más simple que pasa por ellos es una recta, que podemos parametrizar como $L_{0} = \lambda\cdot P_{0} + (1-\lambda)\cdot P_{1}$, o sea, que según $\lambda$ varía entre 0 y 1, el punto se "desliza" entre $P_{0}$ y $P_{1}$.

Consideremos ahora 3 puntos, pero en vez de hacer lo que ya sabemos, vamos a intentar usar esa idea del deslizador.

Cogemos $P_{0}$ y $P_{1}$, consideramos su deslizador $L_{0}$, y por otra parte cogemos $P_{1}$ y $P_{2}$ con su deslizador $L_{1}$.

Si hacemos variar el mismo $\lambda$ para ambos, los deslizadores van en algún sentido "sincronizados", como empiezan y acaban su recorrido con el mismo $\lambda$, parecen sincronizados, pues si usamos ahora el deslizador entre $L_{0}$ y $L_{1}$, o sea, 2 puntos que se mueven en los segmentos  $P_{0}P_{1}$ y $P_{1}P_{2}$, conseguimos un comportamiento más suave, una curva entre los 3 puntos que no necesariamente los interpola.

Esto podemos hacerlo con cualquier cantidad de puntos que queramos, y se llaman curvas de Bézier, que pueden ser lineales (deslizadores), cuadradas (la curva que acabamos de describir), cúbicas... etc.

Este video introduce más gráficamente la idea tras las curvas.

 Cuando usamos herramientas de dibujo como el pincel de Photoshop, estamos usando inconscientemente este tipo de curvas.

                    

Recomiendo enormemente también este video sobre las curvas de Bézier que ha sido mi inspiración para escribir sobre ellas, vale muchísimo la pena y Freya tiene varios videos más de formato largo y animaciones chulísimas que están genial.

Autor: Raúl Barrero 

(1129) - Integrando como Euler & Maclaurin - Regla del trapecio compuesta

Pongamos una bonita fórmula, la fórmula de Euler-Maclaurin: $$ \sum_{k=m}^n f(k) = \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p $$ Que relaciona una suma con la integral correspondiente usando derivadas de órdenes superior y dando un resto de la aproximación $R_p$. Tomando el límite para $p\to\infty$ se llega a la fórmula asintótica: $$ \sum_{k=m}^n f(k) \sim_\infty \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) $$ Que es muy útil para aproximar ciertas sumas por integrales en física estadística por ejemplo: $$ \sum_{n=0}^\infty e^{-\alpha^2n^2} \sim_\infty \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha} + \cdots $$ Donde solo nos da un resultado asintótico y no el exacto ya que las derivadas anulan más rápido que cualquier polinomio. Sin embargo, si se aplica la fórmula de Euler-Maclaurin para una función $\varphi(x)$ y se define para un $N$ y para $\displaystyle h=\frac{b-a}{N}$ la función $f(x)$ tal que $f(a+h\,x)=\varphi(x)$, se llega a una expresión que en vez de sumar la función evaluada en los enteros, se suma en puntos equiespacidos entre $a$ y $b$ a donde se llega a una expresión asintótica de la regla del trapecio compuesta: $$ \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \underbrace{h\left(\frac{f(a)}{2} + \sum_{k=1}^{N-1} f(a+hk) + \frac{f(b)}{2}\right)}_\text{Regla del trapecio compuesta} - \underbrace{\frac{h^2}{12}\big(f^{(1)}(b)-f^{(1)}(a)\big)}_\text{Corrección a I orden} + \underbrace{\frac{h^4}{720}\big(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\big) - \frac{h^6}{30240}\big(f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)\big) + \cdots }_\text{Resto de la corrección} $$ Nótese que la suma de Riemann, lo que es estrictamente la regla del trapecio, converge a la integral según $N\to\infty$ para funciones ya que $h\to0$, aunque es posible que alguno de los términos, por cómo sea la $(2n-1)-$ésima derivada no aporte mucho al cómputo de la integral e introduzca un mayor error.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.