( 163 ) Las matemáticas y el ajedrez 1

En esta entrada hablaremos de un juego que está íntimamente ligado con las matemáticas: El ajedrez.

      El ajedrez es el arte que ilustra la belleza de la lógica.(Mijaíl Botvínnik)

 

Que está en relación resulta claro desde el punto de vista de la lógica y el razonamiento, pero hay algo más en el tablero, en las piezas e incluso en la historia del ajedrez que está relacionado con las matemáticas.

Para empezar recordemos la antigua leyenda sobre el origen del ajedrez, donde vemos nuestra primera relación:

-Cuando muchos siglos atrás en la India un rajá vió por primera vez el juego del ajedrez, quedó admirado por la belleza y la enorme variedad de combinaciones posibles. Cuando el soberano supo que el sabio que había inventado el juego era súbdito suyo, decidió concederle cualquier deseo que éste quisiera. Pero cuál sería su asombro cuando el sabio le pidió como recompensa solo unos cuantos granos de arroz. Él pidió colocar en la primera casilla del tablero un grano; en la segunda dos granos; en la tercera cuatro granos, y así sucesivamente. Es decir, en cada casilla el doble de los granos de la casilla anterior. El rajá ordenó entregar inmediatamente al inventor el modesto premio pedido. Sin embargo, al día siguiente los matemáticos de la corte informaron al rajá que no tenían la posibilidad de cumplir  el deseo del astuto sabio: ya que no era suficiente con todo el trigo almacenado, no solo en los graneros del reino, sino en todos los graneros del mundo. El debería recibir

                               1+2+2^2+2^3+…+2^63=2^64-1

granos de arroz. Este astronómico número tiene veinte dígitos. Un granero para almacenar tal cantidad de arroz debería extenderse desde la Tierra hasta el Sol.

Desde luego, la relación de este problema con las matemáticas no es tan sutil. Sin embargo, el inesperado desenlace de esta leyenda ilustra convincentemente las ilimitadas posibilidades ocultas en el juego del ajedrez.

Ya que hemos hablado sobre el origen del ajedrez, veamos una interesante hipótesis basada en las propiedades matemáticas del tablero. Según ella, el juego tuvo su origen en los cuadrados mágicos.

Un cuadrado mágico de orden n es una tabla cuadrada de dimensión n x n llena de números naturales del 1 al n cuadrado, que posee la siguiente propiedad: la suma de los números que se encuentran en cada fila, en cada columna y en cada una de las dos diagonales mayores es un mismo número. Por ejemplo, en un cuadrado mágico de orden 8 (recordemos que el tablero tiene 8 escaques de ancho y otros 8 de alto), esta suma es igual a 260 (para el lector curioso, este número no es azaroso, si sumamos todas las casillas del 1 al 64 tendríamos (65x64)/2=65x32, si ahora lo dividimos por 8, pues cada una de las 8 filas tienen que sumar lo mismo, obtenemos nuestro 260).

Arriba a la derecha el cuadrado mágico

La rigurosa ley de distribución de los números en los cuadrados mágicos les da el poder mágico propio de las obras de arte. El pintor alemán A.Durero se sentía tan fascinado por estos misteriosos objetos matemáticos que en su famoso grabado Melancolía incluyo un cuadrado mágico.

Analicemos la tabiya (es decir, posición inicial de las piezas) conocida con el nombre de Mujannah, que se obtiene después de 24 movimientos simétricos,(1. d3 d6 2. e3 e6 3. b3 b6 4. g3 g6 5. c3 c6 6. f3 f6 7. c4 c5 8. f4 f5 9. caballo a c3 caballo a c6 10.caballo a f3 caballo a f6 11. torre a b1 torre a b8 12. torre a g1 torre a g8) podríamos observar que si se suman los números de los ocho escaques que intervienen en los 2 primeros movimientos de cada jugador(d2 , d3 , e2, e3, d7, d6, e7 y e6) obtendríamos el número 260. Pero aún más, pasa exactamente lo mismo para cada uno de los siguientes pares de movimientos.

Este tipo de ejemplos permitieron suponer que entre los cuadrados mágicos y el ajedrez existe cierta relación.

Tabiya Mujannah

Cuadrado mágico del cuadro.

Aquí un enlace de un libro de uno de los mejores jugadores del ajedrez (Karpov) donde puede verse la posición de las piezas de la que aquí hablamos.

Ahora exponemos un problema de ajedrez muy ligado a las matemáticas. Claro está, que si son problemas matemáticos, en su resolución han trabajado matemáticos, ¿os podéis imaginar quiénes?

Exacto, Gauss, Euler… aún así también hay muchos más que han trabajado en esto, como pueden s
er Valdermonde, Dirichlet,…

El problema en cuestión es el más conocido de la matemática del ajedrez: el problema del caballo.

Problema del caballo. Recorrer con el caballo todas las casillas del tablero de ajedrez pasando por cada una de ellas solo una vez.

La inmensa popularidad de este problema se debe a que en los siglos XVIII y XIX muchos matemáticos celebres se dedicaron a él, entre ellos Leonhard Euler, quien en 1749 dedicó un extenso tratado titulado << Solucion d’une question curieuse qui ne paroit soumise a aucune analyse>> (Solución de un problema curioso que parece no someterse a análisis alguno). Aunque el problema era conocido antes de Euler, él fue el primero que noto su carácter matemático, por lo que a menudo este problema se asocia con su nombre. Un problema mucho más complejo consiste en hallar todos los recorridos del caballo por el tablero y su número total. Este problema no ha sido resuelto hasta hoy en día y, al parecer, aun estamos lejos de resolverlo (que al parecer es lo que tuvo en cuenta Euler en el título de su obra). ‘Solo’ se ha demostrado que el número de recorridos posibles no es mayor que el numero combinatorio resultante de escoger 63 elementos de un conjunto de 168, pero este número supera los 30 millones. El matemático Ferdinand Minding abordó el problema desde el punto de vista algebráico y propuso un método que permite hallar una fórmula para el número de soluciones. Sin embargo, los cálculos necesarios para esto son realmente tediosos.

Dos ejemplos de la solución del problema del caballo

La literatura dedicada a este problema es vasta. Se han inventado muchos métodos para hallar recorridos que satisfacen unas u otras condiciones. Frecuentemente estos métodos llevan el nombre de sus creadores: método de Euler y Vandermonde, el método de Munky Collini, método de Poliganac y Roget y otros.

En esta entrada no os vamos a enseñar ninguno de ellos, pero en una próxima entrada sí, junto con otros problema y algunos enlaces muy interesantes relacionados con el ajedrez.

A modo de conclusión os dejamos un par de videos de una muy recomendable película (El septimo sello, de Ingmar Bergman), que utiliza el ajedrez como una metáfora para reflexionar sobre la vida y la muerte.

  

Por último una frase para animar a todos a practicar este bonito juego que tantos beneficios puede traernos

Yo siempre he sentido un poco de lástima hacia aquellas personas que no han conocido el Ajedrez; Justamente lo mismo que siento por quien no ha sido embriagado por el amor. El Ajedrez, como el amor, como la música, tiene la virtud de hacer feliz al hombre. (Dr. Siegbert Tarrasch)

Información sacada de: Matematica en el tablero de ajedrez, de Yevgueni Yàkovlievich Guik

( 157 ) El día de Pi, o sea, 3-14.

Versión optimista:

      Afortunadamente no somos un periódico y no tenemos que hablar en cada momento sólo de la actualidad más rabiosa. Nos podemos permitir, y ya lo hemos hecho en ocasiones anteriores, el comentar asuntos con un cierto margen de retraso, con la única excusa de que es la primera vez que nuestros posibles lectores se lo encuentran comentado a nuestra manera. Por ello comunicamos a estos comprensivos lectores ya citados, con un mes menos un día de retraso, que 

el catorce de marzo fué el día de π.

 

Versión pesimista: 

     Desafortunadamente, no podemos librarnos de esa corriente general en nuestra orgullosa, pero envejecida, cultura europea que consiste en admirar las culturas que, quizá con menos sutileza pero sin duda con más energía, aprovechan la globalización para imponer festejos, costumbres y tradiciones más allá de los lugares donde fueron creadas y apreciadas. Así pues, como un producto más que antes nos era extraño y ahora ya no lo es, siguiendo la estela tan bien trazada por la fiesta de Halloween y el rollito de primavera, también en nuestra tierra tenemos que aceptar que 

 el catorce de marzo fué el día de π.
  

En cualquier caso:

     La celebración de este día se origina en la costumbre de los Estados Unidos de escribir el mes antes que el dia cuando una fecha se escribe en números. Así, el catorce de marzo, que para nosotros es el 14 del 3 para ellos es el 3-14, que visto como número decimal (3'14) es una primera aproximación al cociente entre el perímetro de una circunferencia y el diámetro de la misma, que los matemáticos desde hace ya mucho tiempo venimos representando por la misma letra griega por la que empieza la palabra perímetro.
     Con la costumbre europea sería dificil tener un día de π: ¿el 3 del 14?, va a ser que no, que los años no pueden cargar con más de doce meses; ¿el 31 del 4?, puñetero abril, que se empeña en tener sólo 30 días, incluso los años bisiestos; total, que nos queda el 3 de enero, pero es que si 3'14 ya es una representación con pocos decimales 3'1 todavía ni siquiera suena a π.
     Y hablando de pocos decimales, justamente esa es la razón por la que mencionamos este año el día de π, pese a no haberlo hecho cuando pasó el 14 de marzo anterior (que aunque parezca mentira el tiempo pasa rápido y este no es nuestro primer mes de marzo), porque este año el día de π ha sido más día de π que nunca porque ha sido 3-14 del 15. Como podéis ver en la imagen del despertador, si lo completamos con una hora apropiada el número de decimales de π ya empieza a estar por encima de lo conocido habitualmente. Esto ha hecho que este último día de π haya tenido celebraciones especiales; como ejemplo aquí os pongo un enlace al programa de las celebraciones que con este motivo se han hecho en Princeton. Hay que mencionar que el 14 de marzo es también la fecha de nacimiento de Albert Einstein, que vivió muchos años en Princeton, trabajando en el famoso Instituto de Estudios Avanzados (si dais al enlace veréis en las fotos muchos disfraces de Einstein) por lo que allí esta fecha en general se celebra bastante.
     Este día podría ser utilizado como excusa para contar alguna de las muchas propiedades matemáticas de π. Pero no estamos siendo hasta ahora un blog demasiado técnico (y no estaría de más que nuestros lectores dejaran en los comentarios opiniones sobre si deberíamos serlo más o menos) así que para esa tarea vamos a acudir a otro blog (el estupendo Gaussianos al cuál hay un enlace permanente en los márgenes de esta página) y mas concretamente a su página "Un día de pi muy especial" que la que se refiere a este especial día de π del 2015. Es una página que contiene enlaces a diversas ocasiones en que Gaussianos ha tratado el número π y aunque alguna se refiere a temas colaterales como solemos hacer nosotros (por ejemplo, la que incluye diversas músicas) en alguna otra toca temas más matemáticos (como cuando habla de un problema abierto).
      Nosotros, después de haber dicho que lo nuestro son los temas colaterales, no podemos por menos que irnos por los cerros de úbeda. Y aunque lo haremos de forma descarada y consciente al final de este texto de momento lo hacemos de una forma menos exagerada y vamos a poner dos poesías dedicadas al número π. La primera es una curiosidad mas que una poesía (en realidad llamarla poesía es, cuando menos, confundir el noble arte de seis de las nueve musas) pero tiene la particularidad de que si os la aprendéis podréis recordar las 32 primeras cifras decimales del número π (basta contar las letras de cada palabra)

Soy π lema y razón ingeniosa
de nombre sabio que serie preciosa
valorando enunció magistral.
Por su ley singular bien medido
el grande orbe por fin reducido
fue al sistema ordinario usual.

Su autor es el colombiano R. Nieto.
     La segunda poesía que colocamos ya es de verdad. Escrita por la polaca Wislawa Szymborska que fue premio Nobel de literatura en 1996

Digno de admiración es el número Pi
tres coma catorce.
Todas sus siguientes cifras también son iniciales,
quince noventa y dos porque nunca termina.
No deja abarcar sesenta y cinco treinta y cinco con la mirada,
ochenta y nueve con los cálculos
setenta y nueve con la imaginación,
y ni siquiera treinta y dos treinta y ocho con una broma o sea comparación
cuarenta y seis con nada
veintiséis cuarenta y tres en el mundo.
La serpiente más larga de la tierra después de muchos metros se acaba.
Lo mismo hacen aunque un poco después las serpientes de las fábulas.
La comparsa de cifras que forma el número Pi
no se detiene en el borde de la hoja,
es capaz de continuar por la mesa, el aire,
la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo,
a través de toda esa hinchazón e inconmensurabilidad celestiales.
Oh, qué corto, francamente rabicorto es el cometa
¡En cualquier espacio se curva el débil rayo de una estrella!
Y aquí dos treinta y uno cincuenta y tres diecinueve
mi número de teléfono el número de tus zapatos
el año mil novecientos sesenta y tres sexto piso
el número de habitantes sesenta y cinco céntimos
centímetros de cadera dos dedos una charada y mensaje cifrado,
en la cual ruiseñor que vas a Francia
y se ruega mantener la calma,
y también pasarán la tierra y el cielo,
pero no el número Pi, de eso ni hablar,
seguirá sin cesar con un cinco en bastante buen estado,
y un ocho, pero nunca uno cualquiera,
y un siete que nunca será el último,
y metiéndole prisa, eso sí, metiéndole prisa a la perezosa eternidad
para que continúe.

(Un comentario: aunque esta pòesía, como la anterior, la hemos conocido por el artículo "Matemáticas y poesía" de Ricardo San Martín Molina, publicado en el primer y único número de la "Revista digital de educación", la versión que copiamos es la que aparece en la página del Departamento de matemáticas del I.E.S. Ezequiel González de Segovia, porque contiene el nombre del traductor que es Carlos Marrodán Casas, que ya que no ponemos el texto en polaco está bien citarlo).

     Ahora, aun siendo matemáticos, tenemos que decir que la poesía bien escrita (y algo suele decir sobre la calidad de la escritura cuando la escritora tiene el premio Nobel de literatura) no es algo que deba pasarse por encima sin remarcarlo. Así que vamos a echar unas flores a Wislawa, que sin duda se las merece, y nos vamos a permitir el lujo de, no solo insistir en sus méritos, sino terminar nuestra página dedicada al día de pi con otro de sus poemas, sin más motivo que porque nos da la gana. Bueno, para que no nos digan que no pega nada y ya que no lo relacionamos con las matemáticas al menos vamos a relacionarlo con la estadística, que es nuestra prima hermana. En este caso la traducción es de Gerardo Beltrán y Abel A. Murcia Soriano y dice:

CONTRIBUCIÓN A LA ESTADÍSTICA

De cada cien personas,

las que todo lo saben mejor:

cincuenta y dos,

las inseguras de cada paso:

casi todo el resto,

las prontas a ayudar,

siempre que no dure mucho:

hasta cuarenta y nueve,

las buenas siempre,

porque no pueden de otra forma:

cuatro, o quizá cinco,

las dispuestas a admirar sin envidia:

dieciocho,

las que viven continuamente angustiadas

por algo o por alguien:

setenta y siete,

las capaces de ser felices:

como mucho, veintitantas,

las inofensivas de una en una,

pero salvajes en grupo:

más de la mitad seguro,

las crueles

cuando las circunstancias obligan:

eso mejor no saberlo

ni siquiera aproximadamente,

las sabias a posteriori:

no muchas más

que las sabias a priori,

las que de la vida no quieren nada más que cosas:

cuarenta,

aunque quisiera equivocarme,

las encorvadas, doloridas

y sin linterna en lo oscuro:

ochenta y tres,

tarde o temprano,

las dignas de compasión:

noventa y nueve,

las mortales:

cien de cien.

Cifra que por ahora no sufre ningún cambio.

Un saludo y hasta la próxima.

( 151 ) Las matemáticas y el empleo.

Que mejor tema con el que iniciar esta entrada  que cosas de la vida usual, como puede ser esta situación que aquí os cuento.

Resulta que con el comienzo del curso empecé a vivir en un piso nuevo, con compañeros nuevos y a los que no conocía.

Cuál fue mi alegría al ver que justo en la puerta de enfrente de mí mismo rellano vivía un compañero de matemáticas, al lector se deja que calcule la probabilidad de este acto, y a raíz de ahí que deduzca si fue azaroso o no, yo doy fe que por azar fue.

Bueno, los días pasaron y yo todas las mañanas le llamaba a la puerta para ir juntos a clase a primera hora, una bonita costumbre.

Definición de distancia

Al cabo de un par de semana, por razones diversas decidí mudarme, razones diversas y de peso: el número de puertas que había en el piso no era primo, no podía usar mi calculadora solar y el reloj de la cocina solo marcaba la hora correcta dos veces al día.

Al comunicarle esto a mi amigo, con gran tristeza, le dije que me iba del piso, pero que me iba realmente cerca.

Mi amigo, listo de él, me digo que me iba a 5 pasos, le afirmé, le dije que me iba muy cerca pero el insistió, te vas a 5 pasos.

Viendo que me lo decía en serio levante las cejas de incredulidad y le pregunté qué a  que se refería.

Su contestación fue rotunda y convincente:

A partir de ahora vamos a definir la distancia como la distancia real si esta es menor o igual que 5 pasos míos y como 5 pasos si es mayor.

Me  ayudó a llevar las maletas a mi nuevo piso, 5 pasos más allá.

Bueno, pues la anécdota que os quería contar es la siguiente:

Estando yo ya instalado y cómodo en mi nuevo piso, me puse a hablar con mis nuevos compañeros, y el tema fue el de siempre, ya sabéis, de donde eres, que estudias, a qué te quieres dedicar ,etc.

Cuando me preguntaron que qué estudiaba contesté que matemáticas y su respuesta, ya casi esperada por mí, fue que si quería ser profesor, yo que ya me he visto en más tretas como esta le contesté que es una posible opción pero que matemáticas actualmente es la carrera con menos paro y más salidas laborales actualmente.

Aun así me creó duda y al irme más tarde a mi habitación lo quise corroborar en internet , pues siempre lo había oído pero nunca lo había verificado. Aquí os dejo unos cuantos enlaces que me convencieron bastante.

-Este es de ya hace algún tiempo:

http://www.capital.es/2012/10/15/el-paro-de-los-matematicos-tiende-a-cero/

-Ranking de los 200 empleos más “deseables”(aunque viene en inglés):

http://www.careercast.com/jobs-rated/jobs-rated-2014-ranking-200-jobs-best-worst

-En este enlace de la Real Sociedad Matemática Española vienen indicados  abajo muchos artículos de la relación que hay entre el paro y las matemáticas:

http://www.rsme.es/content/view/177/1/

-Por lo menos en Estados Unidos, los matemáticos tienen futuro:

https://www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas/Wall%20street%20journal%20prensa%20i-math.pdf

Cuál fue mi asombro que tras llevar un rato leyendo cosas favorables encontré esto:

http://www.elmundo.es/suplementos/campus/2006/451/1143044147.html

Del cual cito textualmente:

“La situación sería inmejorable si no fuera porque nuestras Matemáticas se desangran en el sistema educativo. No faltan estadísticas al respecto. Un ejemplo, el libro blanco elaborado para preparar la carrera de cara al Espacio Europeo de Educación Superior recoge que la tasa de desempleo entre los licenciados de Matemáticas se triplicó entre 1999 y 2003. En concreto, el porcentaje pasó del 3,61% al 22,46%.”

Me sorprendió bastante, pues contradecía prácticamente todo lo que había leído antes, aunque las fechas fueran lejanas. Tras indagar un rato más, creo que encontré la respuesta.

Mirar:

http://culturacientifica.com/2013/10/09/los-matematicos-en-paro-se-multiplican-por-siete-en-cuatro-anos/

Bueno, por último os dejo un chiste (en inglés) en el que se refleja que no todo es tan bonito y agradable como uno cree, ¿o quizás sí?

( 149 ) Las matemáticas en el cine

En entradas anteriores hemos hecho alusión a las matemáticas en televisión (entrada 73) o en tebeos (entrada 19), en este caso vamos a dar un salto a la gran pantalla, haciendo una pequeña selección de películas en las que podremos encontrar mención a nuestras, presentes cada día, matemáticas.

Es complicado hacer una lista y colocar de forma objetiva una película en primer lugar, así que nos guiaremos por un criterio cronológico en su estreno para determinar el orden.

El indomable Will Hunting (1997, 126 minutos)

   

Sinopsis:

Will Hunting es un joven huérfano, rebelde y violento que trabaja en el servicio de limpieza del M.I.T (Instituto Tecnológico de Massachutssets). Desde pequeño ha leído todo tipo de libros, y posee una inteligencia asombrosa que le permite memorizar el contenido de los mismos, así como formarse culturalmente. A pesar de ello, su carácter violento viene determinado por una infancia difícil, y un presente sin más perspectivas que tomar una cerveza con su pandilla de amigos después del trabajo.

El descubrimiento de su talento por parte de los profesores le planteará un dilema: seguir con su vida de siempre, o aprovechar sus grandes cualidades intelectuales. Sólo los consejos de un bohemio y solitario profesor de psicología le ayudarán a decidirse.

Las críticas le dan una puntuación de 8 sobre 10. Entre otras nominaciones y premios, tuvo nueve nominaciones a los Oscars en 1997, en las cuales obtuvo dos de ellos, mejor guión original y mejor actor secundario.

Conceptos matemáticos que aparecen en la película:

· Desde los títulos de crédito, ya comienzan las alusiones a la matemática. Un libro de matemáticas desenfocado, el caleidoscopio, numerosas expresiones trigonométricas, sumatorios. Todo ello parece enseñarnos como el camino en la resolución de problemas, al principio hay varias opciones, todo está borroso, para poco a poco ir clarificándose y llegar a la solución.

· Se menciona uno de los resultados básicos del Análisis de Fourier, el Teorema de Parseval.

· Uno de los protagonistas, el profesor Gerard Lambeu es poseedor de la Medalla Fields de matemáticas combinatorias. Durante la película se proponen varios problemas relacionados con la geometría y la teoría de grafos.

Una mente maravillosa (2001, 135 minutos)

Sinopsis:

Está inspirada en la vida de John Forbes Nash Jr, un brillante matemático estadounidense del siglo XX que recibió el Premio Nobel de Economía en 1994 por sus aportes a la teoría de juegos. Nash acaba de ingresar en la Universidad de Princeton para un postgrado. Está convencido de que la única manera de poder destacar y conseguir reconocimiento (en Princeton trabajaban en ese momento genios como Einstein o Von Neumann) es descubriendo una idea original verdadera. Nash tiene una personalidad altamente excéntrica, es un muchacho extraño y solitario. Finalmente, esboza una revolucionaría teoría y consigue plaza de profesor en el M.I.T.

Las críticas le dan una puntuación de 8.1 sobre 10. Entre otros premios y galardones, esta película recibió 4 Oscars en 2001 (mejor película, director, actriz de reparto y guión adaptado).

Sin duda, esta película sí que estaría entre las “obligatorias” de ver en algún momento, y no sólo por aquellos amantes de las matemáticas, sino por cualquier público en general.

Conceptos matemáticos que aparecen en la película:

· La teoría de juegos: Es el área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados “juegos”) y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian estrategias óptimas, así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos.

Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real es el Dilema del prisionero, que tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación humana. El enunciado es el siguiente:

La policía arresta a dos sospechosos. No hay pruebas suficientes para condenarlos y, tras haberlos separado, los visita a cada uno y les ofrece el mismo trato. Si uno confiesa y su cómplice no, el cómplice será condenado a la pena total, diez años, y el que confiesa será liberado. Si ambos confiesan, ambos serán condenados a seis años. Y, si ambos lo niegan, sólo podrán condenarlos un año a cada uno.

¿Qué hará cada uno, teniendo en cuenta que ambos quieren permanecer el menor tiempo posible en la cárcel? Incluso poniéndose de acuerdo previamente para negarlo los dos, ¿se fiaría uno del otro?

· Otro concepto de teoría de juegos que aparece en la película es el denominado equilibrio de Nash. Es el modo de obtener una estrategia óptima para juegos que involucren a dos o más jugadores (un ejemplo sería una variación del anterior Dilema del prisionero). Se produce cuando ningún jugador se beneficia cambiando su estrategia mientras los otros no cambien la suya.

     La habitación de Fermat (2007, 87 minutos)

Sinopsis:

Cuatro matemáticos que no se conocen entre sí, son invitados por un misterioso anfitrión (que actúa bajo el sobrenombre de Fermat) con el pretexto de resolver un gran enigma. Reciben también los nombres de cuatro matemáticos ilustres como Galois, Hilbert, Pascal y Oliva, y una serie de pautas para llegar al recóndito lugar donde tendrá lugar el encuentro. Una vez allí, se dan cuenta de que la sala en la que se hallan empieza a encoger, y que se encuentran atrapados. Es entonces cuando tendrán que averiguar la relación que hay entre ellos y por qué alguien quiere asesinarlos.

Las críticas le dan una puntuación de 6.5 sobre 10. Es una película española, entretenida por sus numerosos acertijos, aunque no esconde una trama espectacular.

Conceptos matemáticos que aparecen en la película:

· Gran parte de la trama principal se hace referencia a la llamada Conjetura de Goldbach, que dice que 'todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos'.

· También se hace mención al problema de empaquetamiento de esferas propuesto por Kepler y que ha sido recientemente demostrado.

· Durante la película se plantean varios acertijos que los personajes tendrán que ir resolviendo. A continuación os enumeramos algunos de ellos:

1)      ¿Qué patrón sigue la siguiente secuencia de números: 

5-4-2-9-8-6-7-3-1?

2)      “El pastor, el lobo, la oveja y la col”

Un pastor que tiene que cruzar el río en una barca con una oveja, un lobo y una col. En la barca sólo pueden viajar dos (y nunca vacía), por ejemplo el pastor y la oveja, o el pastor y la col. Hay que averiguar cómo cruzar el río sin que el lobo se coma la oveja, y sin que la oveja se coma la col.

3)       “Tres cajas de caramelos”

Un pastelero recibe tres cajas opacas, una caja contiene caramelos de menta, otra caramelos de anís, y otra un surtido de caramelos de menta y anís. Las cajas tienen etiquetas que ponen ‘Caramelos de Menta’, ‘Caramelos de Anís’ y ‘Mezcla’. Pero el pastelero recibe el aviso de que todas las cajas están mal etiquetadas. 

¿Cuántos caramelos tendrá sacar el pastelero como mínimo para verificar el contenido de las cajas?

4)      “Las tres llaves de la luz”

En el interior de una habitación herméticamente cerrada hay una bombilla, y fuera de la habitación hay tres interruptores. Sólo uno de los tres enciende la bombilla. Mientras la puerta esté cerrada, puedes pulsar los interruptores las veces que quieras, pero al abrir la puerta hay que decir cuál de los tres interruptores enciende la bombilla.

5)      “Relojes de arena”

¿Cómo se puede cronometrar un tiempo de 9 minutos utilizando dos relojos de arena, uno de 4 minutos y otro de 7 minutos?

6)      “Las hijas del profesor”

Un alumno le pregunta a su profesor qué edad tienen tus tres hijas, y el profesor contesta: - Si multiplicas sus edades da 36, y si las sumas da el número de tu casa.

- Me falta un dato, protesta el alumno.

Y el profesor le responde: - Es verdad, la mayor toca el piano.

¿Qué edad tienen las tres hijas?

7)      “Las dos puertas”

En la tierra falsa todos los habitantes mienten siempre, en la tierra cierta todos los habitantes siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra atrapado en una habitación que tiene dos puertas, una puerta conduce a la libertad y la otra no. Las puertas están custodiadas por un carcelero de la tierra falsa y otro de la tierra cierta. Para dar con la puerta que lleva a la libertad, el extranjero debe hacer sólo una pregunta a uno de los dos carceleros, pero no sabe cuál es el de la tierra falsa ni cuál el de la tierra cierta. ¿Qué pregunta formuló?

8)      “Una cuestión de edades”

Una madre es 21 años mayor que su hijo. Al cabo de 6 años, la edad de la madre será cinco veces la que tenga el hijo. ¿Qué está haciendo el padre?

21 black Jack  (2008, 123 minutos)

Sinopsis:

Esta película está basada en el libro de Ben Mezrich “Bringing Down the House: The Inside Story of Six M.I.T Students Who Took Vegas for Millions”. Cuenta las aventuras de un grupo de estudiantes que, dirigidos por su poco ortodoxo profesor de matemáticas, consiguen triunfar en los casinos de las Vegas. Ben Campbell es un brillante estudiante del M.I.T que termina recurriendo a los naipes para poder pagar la matrícula de la universidad.

Las críticas le dan una puntuación de 6.6 sobre 10.

No es un filme espectacular, pues algunas escenas son predecibles y un poco sobreactuadas, pero puede ser una opción en una tarde de lluvia.

Conceptos matemáticos que aparecen en la película:

· El Método de Newton-Raphson o Método de Newton: En análisis numérico, es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real.

· El Problema de Monty-Hall: Este problema de probabilidad está basado en el concurso televisivo “Let’s Make a Deal”, y toma el nombre del presentador de dicho concurso. La premisa del problema es la siguiente:

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº 1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº 3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: “¿No prefieres escoger la nº 2?". ¿Es mejor para ti cambiar tu elección inicial?

Nota: Ganas el premio que haya detrás de tu puerta final elegida, y ¡el objetivo es llevarse el coche!

Anécdota: Esta pregunta nos apareció en uno de los exámenes parciales de la asignatura ‘Elementos de Probabilidad y Estadística Descriptiva’ de primer curso.

· Otras referencias: La sucesión de Fibonacci, cambios de variable, se menciona la convergencia de una serie infinita, y se hace alusión repetidas veces al azar y las probabilidades.

Una web muy completa que también analiza la relación del cine y las matemáticas se encuentra alojada en el dominio DivulgaMAT, a cargo del profesor Alfonso Jesús Población Sáez, profesor aquí en la Universidad de Valladolid. Creo que es de visita recomendada para tod@s aquell@s amantes de ambas disciplinas.

Esta ha sido una breve recopilación, no necesariamente la más representativa, y es posible que echéis en falta alguna de las películas que se pueden considerar ‘importantes’ (muchas las encontraréis en la anteriormente mencionada web de DivulgaMAT), o que cualquier persona a la que le gusten las matemáticas debería ver. En ese caso, desde el comité editorial del blog, ¡os animamos a que comentéis y las compartáis con todos nosotros!

Del mismo modo, os invitamos a que nos enviéis cualquier información o dato curioso que creáis susceptible de aparecer en el blog ;) a la dirección de correo

blogmatematicas.uva@gmail.com 

PD: Aprovechando la temática de la entrada, os informamos de la intención de realizar el pase de la película ‘Breaking the Code’ en la facultad de forma GRATUITA. En el citado portal de DivulgaMAT podéis encontrar un análisis mucho más detallado de esta película (parte 1 y parte 2) ¡¡Estad atentos al día y hora, y no os la perdáis!!

( 139 ) Formas de multiplicación 2

Después de unas cuantas entradas volvemos con las formas de multiplicar.

Esta vez os presentamos la multiplicación hindú y la fulmínea.

Los matemáticos hindúes hacían las operaciones de sumar y multiplicar prácticamente del mismo modo que las hacemos nosotros hoy. Para multiplicar se servían de un cuadrilátero dividido por casillas, en las cuales se asignaban los productos parciales.

Multipliquemos, por ejemplo, 6827 x 345 mediante este sistema: escribimos el primer factor, 6827, de izquierda a derecha, en la parte superior del cuadrilátero, y el factor 345 en un lado de arriba abajo.

Escribimos en cada casilla el producto de los factores que se hallan en la fila y la columna correspondiente. Colocaremos ese producto parcial de modo que la cifra de las unidades esté separada de la cifra de las decenas.

Así, cuando multipliquemos 7x3, colocaremos la cifra 1 en la parte inferior de la diagonal de la casilla y la cifra 2 en la parte superior.

Aplicando esta regla, rellenamos el siguiente cuadrilátero:

Acto seguido, sumamos las cifras comprendidas dentro de la misma diagonal empezando por arriba a la derecha. Después añadimos las decenas a la siguiente diagonal de la izquierda. Y ya tenemos el resultado de nuestra multiplicación, pues basta leer el número que queda bajo las diagonales.

Esta multiplicación también se denomina ‘multiplicación de celosía’. Aunque no ha podido demostrarse con certeza, lo más probable es que sea originaria de la India (pues sí sabemos que este sistema se utilizaba en el siglo XII en aquel país), y desde allí llegase a China y Arabia. Los árabes, como buenos divulgadores científicos, lo introdujeron en Italia, y fue allí donde recibió el nombre de ‘celosía’, por un sencillo motivo: el diagrama de la multiplicación se parecía a las celosías o rejillas que adornaban y protegían las ventanas de la ciudad de Venecia. También se conoce como ‘multiplicación árabe’ en recuerdo de los responsables de su importación a Occidente.

Es fácil imaginar como terminó derivando esta multiplicación en la que usamos nosotros actualmente.

Os dejamos un enlace que quizás os resulte más ilustrativo.

Como mera curiosidad os dejamos otro vídeo de una forma que en esencia es igual que la hindú, por lo que parece lógico que se puedan confundir estas dos, como sucede.

La siguiente forma es realmente curiosa y esta se encontró en escritos de, entre otros, Cauchy y Fourier.

Multipliquemos 5817 x 423.

Escribimos el multiplicando y debajo, al revés, el multiplicador, haciendo coincidir la última cifra del multiplicador (4) con la primera del multiplicando (5).

Multiplicamos las dos cifras que están en la misma vertical y colocamos el resultado al otro lado.

Desplazamos el multiplicador un lugar hacia la derecha de modo que coincidan dos cifras del primero (58) con dos del segundo dado la vuelta (24). Multiplicamos las cifras que se encuentren en la misma vertical (que serán 2*5 y 8*4) y sumaremos estos productos  (10 + 32 = 42)  colocando el resultado un espacio más a la derecha que el anterior sumando.

Volvemos a desplazar un lugar el multiplicador, y calculamos los productos de las cifras de este que coinciden en vertical con las del multiplicando (en la tercera fila  5*3, 8*2 y 1*4). Sumamos los productos y colocamos el resultado al otro lado desplazado un espacio hacia la derecha (es decir, 15 +16 + 4 y el resultado es 35).

Reiteramos este procedimiento hasta que coincidan las últimas cifras (en nuestro caso el 3 con el 7, con lo que la única multiplicación es 3*7, y el número que queda a la derecha en la última fila es 21). Para saber el producto total de la multiplicación se tiene que sumar todos los resultados escalonados que se ha ido anotando a la derecha.

 

A pesar de todos estos métodos, y de su eficacia, personalmente sigo prefiriendo el tradicional, tanto por costumbre, como por sencillez.

Por último, y para completar la entrada de "Formas de multiplicación 1" , en la que os dejamos como se multiplicaba 9 por una cifra con los dedos, en esta os mostramos como se puede calcular la multiplicación de 9 por dos cifras con los dedos (de la mano).

Por ejemplo 28 x 9. Contamos desde la mano izquierda hacia la derecha, dejamos un espacio después del segundo dedo (pues la cifra de las decenas es 2) y doblamos el octavo dedo (la cifra de las unidades es 8). Ahora bien, para calcular el resultado haremos lo siguiente:

Las centenas se obtienen contando los primeros dedos (los de la izquierda de la separación).

Las decenas sumando los dedos que hay entre la separación y el dedo doblado (contamos siempre hacia la derecha).

Y las unidades contando los dedos que hay después del dedo doblado.

Y ya está, ¡252!

En este método sólo hay una condición para que funcione siempre ¿Cuál es?

Información extraída del libro "Juega y sorpréndete con las matemáticas".

( 137 ) Reflexiones (ajenas) sobre las matemáticas.

     En la red se pueden encontrar varias páginas con frases brillantes sobre matemáticas. Frases más o menos conocidas, pero normalmente ingeniosas, que nos permiten hacer reflexionar en un momento sobre alguna de las facetas de las matemáticas (su importancia, su belleza, etc...), frases rotundas que pueden lanzarse como proyectiles para que su explosión inicie una conversación o para que la termine.. 

     Para el que le guste tener en su memoria alguna de estas frases, vamos a recomendar una de estas páginas, la que tiene la Real Sociedad Matemática Española en su página de divulgación Divulgamat y que podéis visitar haciendo clic aquí. Pero en este mundo donde el twitter gana peso poco a poco y se organizan debates en televisón en los que cada participante tiene un tiempo máximo (y no muy amplio) para hablar, está bien alguna vez (por aquello de llevar la contraria) recalcar que a veces una frase, o tres o cuatro, no son suficientes para transmitir una idea y que está bien leer explicaciones, matices, aclaraciones y ejemplos aunque nos lleve un poco más de tiempo o nos suponga algo más de esfuerzo. 

     Vamos a recoger aquí cuatro reflexiones sobre las matemáticas, permitiéndolas algo más que tres líneas a cada una, para que los autores puedan expresarse con algo más de tranquilidad. Empezamos por la más corta, que proviene de un libro que fue comentado en otra entrada de este blog (sobre la eficacia de las matemáticas) y que viene con título

"SIMPLICIDAD DE LA MATEMÁTICA.

Existe una opinión muy generalizada según la cual la matemática es la ciencia más difícil cuando en realidad es la más simple de todas. La causa de esta paradoja reside en el hecho de que, precisamente por su simplicidad, los razonamientos matemáticos equivocados quedan a la vista. En una compleja cuestión de política o arte, hay tantos factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes, que es muy difícil distinguir lo verdadero de lo falso. El resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir sobre política y arte —y en verdad lo hace— mientras que mira la matemática desde una respetuosa distancia."

Del libro "Uno y el universo"

de Ernesto Sabato

      Muchos matemáticos creemos que las matemáticas no sólo son sencillas, sino que además son bonitas. En algunos casos llegan incluso a resultar absorbentes. Y de eso habla nuestra segunda reflexión.

"¿Por qué la dedicación a la matemática puede ser apasionante hasta el punto de absorber la vida de una persona tan drásticamente como aparece en esta novela y como se da con cierta frecuencia en la realidad?.

A mi parecer, y como corresponde a la naturaleza obscura de las motivaciones personales, las posibles respuestas son muy variadas y complejas, aunque hay probablemente muchos elementos comunes a todas ellas. Uno de los mejores matemáticos del pasado reciente, G.H. Hardy (1877-1946), escribió en 1940 su Apología de un matemático, un ensayo muy interesante (edición española reciente en Nivola, 1999) en el que expresa de modo franco y atrayente su concepción de la dedicación a la matemática. Muchas de las ideas que él propone, aunque no todas, son compartidas probablemente por la mayoría de los matemáticos. La matemática es bella en sí misma, un monumento mucho más perenne que el bronce e incluso, como la mejor música, mucho más universal que las producciones literarias, aunque su belleza, "tan sólo asequible a los ojos del alma", en frase de Platón, no se alcanza sin cierto esfuerzo que nos la haga connatural y familiar. La matemática es una aventura del espíritu que ha producido objetos mentales que no pierden con los siglos nada de su esplendor y grandeza, como el cálculo infinitesimal, un pozo al que nos asomamos con asombro creciente a medida que maduramos y que, como dijo G. Polya, otro gran analista matemático del siglo 20, "nunca se llega a entender del todo; todo lo más nos acostumbramos a él". La matemática es, como lo proclamaron ya los pitagóricos de hace más de 25 siglos, la herramienta adecuada para acercarnos más y más a "las raíces y fuentes de la naturaleza eterna". La contemplación de la transparencia de las verdades matemáticas y de su adecuación a las realidades de nuestro mundo, la observación de la eficacia de sus métodos para resolver multitud de problemas, teóricos y prácticos, relacionados con este universo lleno de maravillas y de misterios que nos rodea, la sensación de anticipación que el matemático tiene cuando mediante las herramientas de su campo hace surgir cohesión y unidad allí donde antes sólo veía caos y desorden proporciona un placer incomparable por el que vale la pena hacer el mayor de los esfuerzos."

Del artículo  "La matemática entra en la novela"

artículo publicado en la revista "Saber/Leer",137, Agosto-Septiembre 2000

de Miguel de Guzman

(referido a la novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis)

     La tercera tiene que ver con los parecidos y diferencias entre matemáticas y otras ciencias:

"La matemática impregna toda la ciencia desde la física a la economía, pero no necesita ningún logro científico para justificarse. Es una construcción mental universal que se basta a sí misma. Dios pudo inventar la física, pero no tuvo más remedio que aceptar la matemática. La matemática que no ayuda a leer el gran libro de la naturaleza no deja de ser matemática por ello. Existe ciencia sin matemática y matemática sin ciencia, pero no son felices la una sin la otra. El idilio entre la física y la matemática es antiguo y fecundo. Muchos físicos ven la física como matemáticas en colores y muchos matemáticos, como tantos fotógrafos, prefieren la verdad en el crudo blanco y negro. Pero lo cierto es que a lo largo de la historia ora se adelanta la física (creando la necesidad de nueva matemática) ora lo hace la matemática (que la física se encuentre como un regalo caída del cielo). Newton se inventa el cálculo infinitesimal (con permiso de Arquímedes y de Leibniz) y escribe con él las ecuaciones de las leyes de la mecánica, pero Einstein se tropieza con un instrumento matemático imprescindible para formular en 1915 su relatividad general: el tensor de Ricci, que el profesor italiano había propuesto en 1903.

Una definición un poco circular de ciencia (aunque nada frívola) consiste en decir que ciencia es lo que los científicos dicen que es ciencia. En este punto existe una coincidencia con la matemática porque también se puede decir que matemática es lo que los matemáticos dicen que es matemática. Los científicos se apoyan en la realidad para ponerse de acuerdo, pero ¿cómo lo hacen los matemáticos? Muchos autores se preguntan cada día sobre la naturaleza de la ciencia ¿Qué es ciencia? ¿Dónde empieza y dónde acaba? Sin embargo, da la impresión de que no son tantos los pensadores que se preguntan sobre la naturaleza de la matemática. En ciencia, la realidad es primera inspiración y último juez, pero ¿existe algo que juegue un papel similar en la matemática? ¿Existe algo que pueda llamarse realidad matemática? Buena pregunta. ¿A quién se la hacemos?"

Del artículo  "La matemática no es ciencia",

 publicado en "El Periódico" el 1 de Junio de 2013

de Jorge Wagensberg 

     Y, para no creernos demasiado nuestra propia importancia, cerramos con tres fragmentos de un capítulo de un libro destinado a dar consejos al joven que quiere convertirse en científico. El autor, mirmecólogo, es decir, biólogo especializado en hormigas, relativiza la importancia de los conocimientos matemáticos para un científico aunque a la vez puede ayudarnos a situar nuestro papel dentro del mundo del conocimiento. Pero dejemos que él lo explique.

 "Si, en cambio te falta algo de preparación matemática, incluso si te falta mucho, relájate. No eres en absoluto el único en la comunidad científica, y he aquí un secreto profesional para animarte: en la actualidad muchos de los científicos de más éxito del mundo son, desde el punto de vista matemático, poco más que semianalfabetos. Una metáfora aclarará la paradoja de esta afirmación. Mientras que los matemáticos de élite suelen actuar como unos arquitectos de la teoría en el ámbito en expansión de la ciencia, el resto de la gran mayoría de científicos básicos y aplicados cartografían el terreno, exploran la frontera, abren las sendas y construyen los primeros edificios a lo largo del camino. Definen los problemas que los matemáticos, de vez en cuando, pueden ayudar a resolver. Piensan básicamente en imágenes y hechos, y sólo de manera marginal en matemáticas."

"...Los pioneros de las ciencias sólo en raras ocasiones hacen descubrimientos extrayendo ideas de las matemáticas puras. La mayor parte de las fotografías estereotípicas de científicos que estudian filas de ecuaciones escritas en la 

pizarra reflejan a profesores que explican descubrimientos que ya se han llevado a cabo. El progreso real se produce en el campo, escribiendo notas; en el despacho, en medio de un montón de papeles garabateados que cubren el suelo; en el pasillo, mientras intentamos explicarle algo a un amigo; a la hora del almuerzo, comiendo sólo, o en un jardín, mientras paseamos. Tener un momento de ¡eureka! requiere trabajar duro. Y centrarse. Un distinguido investigador me comentó una vez que un científico real es alguien que puede pensar sobre algún tema mientras está hablando con su esposa o esposo de otra cosa.

Las ideas en la ciencia surgen más fácilmente cuando se estudia alguna parte del mundo por su propio interés. Son el resultado de un conocimiento cabal, bien organizado, de todo lo que se sabe o se puede imaginar de las entidades y procesos reales de aquel fragmento de existencia. Cuando se encuentra algo nuevo, los pasos siguientes requerirán por lo general el uso de métodos matemáticos y estadísticos con el fin de que su análisis avance. Si este paso resulta técnicamente demasiado difícil para la persona que hizo el descubrimiento, se puede añadir como colaborador a un matemático o un estadístico. En tanto que investigador que ha escrito muchas publicaciones como coautor con matemáticos y estadísticos, puedo ofrecer con seguridad el siguiente principio. Llamémoslo el Principio Número Uno:

Es mucho más fácil para los científicos adquirir la colaboración necesaria de matemáticos y estadísticos que, para los matemáticos y los estadísticos, encontrar científicos capaces de utilizar sus ecuaciones."

"...Si tu nivel de competencia matemática es bajo, planea aumentarlo, pero, mientras tanto, debes saber que puedes desarrollar un trabajo notable con lo que tienes. Esto es especialmente cierto en campos que se basan mayoritariamente en la recolección de datos, entre los que se cuentan, por ejemplo, la taxonomía, la ecología, la biogeografía, la geología y la arqueología. Al mismo tiempo, piénsatelo dos veces si pretendes especializarte en campos que requieren una alternancia estrecha entre el experimento y el análisis cuantitativo. Estos incluyen la mayor parte de la física y de la química, así como algunas especialidades de la biología molecular. Aprende lo básico para mejorar tus conocimientos matemáticos sobre la marcha, pero si sigues teniendo problemas con las matemáticas, busca la felicidad en otro lugar, entre la extensa gama de especialidades científicas. Y, por el contrario, si los apaños y el análisis matemático te producen placer, pero no la acumulación de datos por su propio interés, apártate de la taxonomía y de las otras disciplinas más descriptivas que acabo de mencionar.
     Newton, por ejemplo, inventó el cálculo con el fin de proporcionar sustancia a su imaginación. Darwin, según contaba él mismo, tenía poca capacidad matemática, o ninguna, pero fue capaz, a partir de las masas de información que había acumulado, de concebir un proceso al que posteriormente se aplicaron las matemáticas. Un paso importante que tienes que dar es encontrar un tema acorde con tu nivel de competencia matemática y que además te interese enormemente, y centrarte en él. Al hacerlo ten presente el principio número dos:

Para todo científico, ya sea investigador, tecnólogo o profesor, cualquiera que sea su competencia en matemáticas, existe una disciplina en la ciencia para la que dicho nivel de competencia en matemáticas es suficiente para alcanzar la excelencia."

Del libro "Cartas a un joven científico"

de Edward O. Wilson

     Y esto es todo, amigos.