(503) - ¿Qué es el centro de un triángulo? Centros de Kimberling

En el día de hoy traemos una entrega que da que reflexionar: ¿qué constituye el centro del triángulo?

Unos 800 centros de Kimberling

Si se toma como centro de un triángulo el centro de alguna circunferencia relevante al triángulo, los dos ejemplos más relevantes serían:
Incentro - X(1) : centro de la circunferencia inscrita al triángulo e intersección de las tres bisectrices internas al triángulo.
Circuncentro - X(3) : centro de la circunferencia circunscrita al triángulo e intersección de las tres mediatrices al triángulo.

Se podría pedir al centro de un triángulo que optimice la suma de las distancias a los vértices o a los lados. Sin embargo, esto significa que podría haber hasta cuatro centros diferentes, cada uno con sendas propiedades.

Si se toma como centro de un triángulo el que fuese el centro de masas del triángulo esto significa que podría haber varios puntos, entre ellos:
El centro de masas respecto a los vértices, (e.g. que pendan masas uniformes), es decir, centroide-X(2) , la intersección de las tres medianas de un triángulo.
El centro de masas respecto a los lados (e.g. cables uniformes), es decir, centro de Spieker - X(10) , el incentro del triángulo media

l. Se podría definir el centro de un triángulo la intersección algunas de sus cevianas. Cabe resaltar dos aún por nombrar:
Ortocentro - X(4), intersección de las alturas de un triángulo. Su triángulo ceviano asociado también es un triángulo podal.
Punto simediano de Lemoine-Grebe - X(6), intersección de las simedianas de un triángulo (la simediana la recta simétrica a la mediana respecto a la bisectriz interna, es decir la simediana es isogonal a la mediana respecto a la bisectriz interna).

Incluso se puede describir un centro que sea el punto de máximo potencial electroestático dentro del triángulo con distribución de carga homogénea por la superficie - X(5.626).

Cualquier posible centro documentado está en la ETC (Encyclopaedia of Triangle Centres) creada por Clark Kimberling (Hinsdale 1942 - ) y catalogado de la forma X(n). Dichos puntos se conocen en general por centros de Kimberling. Actualmente hay 36.758 centros de Kimberling descritos hasta el miércoles, 05 de febrero de 2020 (fecha de la publicación), todos ellos con su utilidad y con la certeza de que para ciertos casos, son el centro del triángulo "preferente".

He aquí un vídeo con los diez primeros.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Adenda del autor: Desde el día de ayer, domingo 21 de noviembre de 2021, el centro de potencial electrostático, X(5626), tiene una versión en GeoGebra en la web creada por un servidor. La web ya cuenta con 46.065 centros de Kimberling, lo que implica un crecimiento del 25,32% en 19 meses y medio.

(499) - Sangaku. Grandes problemas japoneses en pequeñas tablillas

En el día de hoy traemos una entrega de matemáticas recreativas desde Extremo Oriente: los sangaku.

Sangaku es la romanización de算額 «tablilla de cálculo, tablilla matemática». Eran tablas de madera de tamaño cuartilla que se colgaban en las pagodas japonesas. En ellas solía formularse un problema, y muchas veces venía un dibujo de geometría al lado para resolver (si el problema era esa índole).

Pongamos algunos ejemplos:

De Ufa Chusaburō, 1743: Se tienen 50 pollos y conejos. Si el número de patas es 122, ¿Cuántos pollos y conejos hay?

En Shōganji, Nagano: Se divide un capital de 60 en forma igualitaria para repartir a varios hombres como préstamo a interés compuesto por más de 3 años, después del cual el capital de vuelta con interés añadido será 105’12. La diferencia de la tasa de interés anual entre cada deudor es de 10% y la suma de la tasa de interés anual es de 60%. Halla el número de hombres a los cuales se les ha dado el préstamo.

En Hioki-jinja: Se tienen dos cubos, A y B. La suma de los volúmenes de A y B es 2.240 sun y la diferencia entre los lados de A y B es 4 sun. Halla la longitud del lado de B. [ 1 sun = 3’3 cm ]

La mayoría de estos problemas solo necesitan un muy buen entendimiento de la geometría euclídea, y a veces, usar el Teorema de Pitágoras repetidamente. Muchos se pueden resolver mediante métodos de cálculo, y análisis, pero todos ellos tienen una solución mucho más elegante, y bella que la que se nos pueda ocurrir.

Es más, en 1822 descubrieron el Teorema del sexteto de Soddy, algo que en Occidente no se descubrió hasta 1937, es decir, más de un siglo de diferencia se descubrió en un Japón prácticamente medieval antes que en el Occidente del siglo XX. 

1822

1937

Entre otras joyas que nos han dejado estas matemáticas recreativas están tres teoremas de Mikami-Kobashi, y el teorema de los círculos inscritos iguales [todos ellos se explicarán a su tiempo en la serie de este blog «Teoremas raros y curiosos»].

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(491) - Misioneros ⁊ caníbales. Cruzando el río

En el día de hoy traemos una entrega muy esperada: el dilema del barquero con misioneros y caníbales.

La premisa es simple: tres misioneros y tres caníbales están a una orilla del río y con una barca que solo puede transportar dos personas, y se tiene que pasar a todo el grupo a la otra orilla. Sin embargo, si en cualquier momento hay más caníbales que misioneros en cualquiera de las orillas, los caníbales se comerán a los misioneros, y es un fin del juego.

Este acertijo tiene variantes, como que solo los misioneros puedan remar.

Se deja al lector la resolución del dilema, y se adjunta un esquema donde están representados en el eje de abscisas los misioneros en la margen derecha del río, y en el eje de ordenadas, los caníbales en la margen derecha del río.

Para terminar, he aquí un enlace a un artículo anterior de este blog sobre otro dilema del barquero, y un vídeo en Youtube sobre ambos problemas de lógica.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(487) - LA Desigualdad triangular [o de Minkowski]. Desigualdad poligonal

En el día de hoy traemos una entrega bastante importante: una desigualdad triangular que por antonomasia se conoce como la desigualdad triangular.

En Wikipedia (en inglés) hay dos páginas de  listas de desigualdades triangulares: una para desigualdades triangulares genéricas, y otra para triángulos oblicuángulos.  Probablemente el estudiante medio de matemáticas solo conozca dos desigualdades triangulares: la pitagórica, y la que nos atañe.

La desigualdad triangular establece que: en un triángulo, la longitud de cualquier lado es estrictamente menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Demostración de Euclides de la Proposición XX, Libro I, Los Elementos

 Cuando se habla de vectores en vez de lados de un triángulo, la desigualdad se conoce como desigualdad de Minkowski, y reza: la norma de la suma de vectores es menor o igual que la suma de sendas normas. La igualdad solo se da si los vectores son colineales.

Desigualdad de Minkowski

 Esta desigualdad se utiliza mucho en cálculo y análisis, en demostraciones de continuidad uniforme, o que cierta cantidad (por ejemplo un sumatorio) está acotado, muchas veces sumando y restando un término a conveniencia.

Para terminar, cabe resaltar una generalización a modo de corolario de este resultado: en un n-gono, [la longitud de] cada lado pertenece al entorno cerrado de centro [la longitud d]el mayor de los (n-1) lados restantes, y radio la suma de [las longitudes de] los (n-2) aún restantes.

Para demostrar la generalización, se pueden considerar los sucesivos triángulos al triangular un n-gono por sus diagonales

  

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(479) - Solo [regla y] compás. Teorema de Mohr-Mascheroni

En el día de hoy traemos una entrega muy peculiar: sobre cómo construir elementos geométricos con menos utensilios.

Lorenzo Mascheroni lo demostró en 1797, y en 1822 Jean Victor Poncelet demostró una variante. Sin embargo, tuvo que pasar casi un siglo (1928) para redescubrir una demostración de Georg Mohr de 1672.

El teorema reza que: Cualquier construcción euclídea que se pueda hacer con regla y compás, se puede hacer solamente con compás.

Regla y compás son los dos utensilios que usaban los antiguos griegos. No usaban (o no solían usar) escuadra y cartabón. Con escuadra y cartabón el hecho de trazar paralelas y perpendiculares se vuelve mucho más fácil e intuitivo, pero también se pueden trazar de sin ellos. ¿Cómo?

·         Para trazar una perpendicular que corte en un punto basta con trazar la mediatriz del segmento cuyo punto medio sea el punto donde dicho punto de corte.

·         Para trazar una paralela a una distancia, basta con trazar la recta perpendicular a un segmento cuya longitud sea dicha distancia. El segmento es a su vez perpendicular a la recta original. (Nótese que en el plano euclídeo dos rectas son paralelas entre sí si ambas son perpendiculares a una misma recta).

¿Mucho más complicado? Obviamente. Con escuadra y cartabón sería tan fácil como apoyar cualquier cateto sobre la recta (para la perpendicular), - apoyar cualquier lado y desplazar el utensilio con la misma inclinación ayudándose del otro instrumento (para la paralela).

Por ejemplo, para extender un segmento con regla es trivial, pero usando solo un compás hay que trazar varios triángulos equiláteros.

Todo hecho con compás, y sin regla alguna.

Este teorema no es tan útil como ilustrativo y “entretenido”, aunque no por ello debe caer en el olvido.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(467) - QED , QEF , QEI ⁊ QEA ¿Qué significan?

En el día de hoy traemos una entrega más técnica: qué significan las diferentes abreviaturas más comunes en matemáticas, en especial, aquellas usadas al final de las demostraciones.

QED – son las siglas en latín para «quod erat dēmōnstrandum», que significan literalmente “aquello que se iba a probar”. Realmente es un calco del griego antiguo ὍἜΔ «ὅπερ ἔδει δεῖξαι» (hóper édei deîxai) “precisamente lo que se requería demostrar”. Estas siglas son sin duda las más utilizadas al acabar cualquier demostración, aunque a veces se sustituye por un cuadrado [o bien sin colorear o negro]. En español se puede ver cómo se traduce QED por «queda entonces/estrictamente demostrado», y puede llegar a aparecer CQD (como queríamos/se quería demostrar).

QEF – son las siglas en latín para «quod erat faciendum», que significan literalmente “aquello que se iba a hacer”. Realmente es un calco del griego antiguo ὍἜΠ «ὅπερ ἔδει ποιῆσαι » (hóper édei poiē̂sai) “precisamente lo que se requería fabricar”. Estas siglas se utilizan cuando ya se haya creado algún elemento que se requería, o sobre cómo construir algo (por ejemplo en Los Elementos de Euclides en la I Proposición sobre cómo construir un triángulo equilátero, o en el Th. Extracción de base sobre cómo hallar alguna base).

QEI – son las siglas en latín para «quod erat inveniendum», que significan literalmente “aquello que se iba a encontrar”.

Estas siglas se utilizan cuando el trabajo necesite encontrar unos elementos que satisfagan ciertas condiciones, más que probar algo como tal. Por ejemplo, para demostrar que una función no es continua bastaría con hallar algún punto donde la función no es continua.

QEA – son las siglas en latín para «quod est absurdum», que significan literalmente “aquello que es absurdo”.

Estas siglas se utilizan en reducciones al absurdo, justo cuando se llegue a la contradicción con la que se demuestra la proposición. Estas siglas las usó Barrow, el mentor de Newton.

A decir verdad casi todas ellas han caído en el olvido, excepto quizá las dos primeras, pero aun así han perdido importancia. No por ello no hay que dejar de usarlas, o no saber qué son.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(463) - Teorema de Morley para las trisectrices. Centros de Morley

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que involucra la trisección de ángulos, algo perseguido por los griegos mediante regla y compás, que siglos después se comprobó que era imposible.

Frank Morley, un matemático estadounidense de finales del siglo XIX, y principios del XX, descubrió este teorema en 1899. Según él mismo, los antiguos griegos ya tenían conocimiento, o al menos sospechaban, este resultado, pero no consta en ningún texto, ni la proposición en sí, ni la demostración.

Seguramente no se llegó a plantear el problema anterior hasta que no se entendió cómo trisecar un ángulo, en especial con regla y compás. Nótese que el problema general de la trisección de un ángulo no se resolvió hasta 1837 por Pierre Wantzel, y unos años después, 1846 por Évariste Galois.

 

El triángulo original en anaranjado, y el triángulo de Morley en rojo.

El Teorema establece que: “Las intersecciones de las trisecciones de un triángulo son los vértices de un triángulo equilátero”.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Morley.

Nótese que las trisectrices son las cevianas que dividen en tres partes iguales un ángulo.

Veamos ahora dos Centros de Kimberling asociados a este teorema.

El centro del triángulo de Morley, se llama I Centro de Morley y se le conoce como X(356) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de Morley (circunferencia de Morley). Curiosamente ningún centro de Kimberling está en esta circunferencia.

I Centro de Morley - X(356)
[Nótese la circunferencia de Morley en azul]

La intersección de las cevianas que unen los vértices con sendos vértices opuestos del triángulo de Morley (pasando entre medias de las trisectrices) se llama II Centro de Morley, o a veces como I Centro e Morley-Taylor-Marr, y se le conoce como X(357) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

El II Centro de Morley es el centro de perspectiva respeto al triángulo original del I Centro de Morley.

 

II Centro de Morley / I Centro de Morley-Taylor-Marr - X(357)

Este teorema es una joya casi perdida y olvidada y que demuestra que a veces resultados increíblemente bellos parten de premisas simplonas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.