( 127 ) Curiosidades del 2015

Comenzamos un nuevo año,

¡¡¡FELIZ AÑO A TOD@S!!!

y con alegría e ilusión volvemos al blog para continuar acercándoos nuevas anécdotas y curiosidades. En este caso, vamos a aprovechar esta primera entrada del año para ver algunas peculiaridades del 2015.

Vamos a analizarlo desde el punto de vista numérico. Veamos algunas propiedades:

· Es impar y no es primo.

· Aunque 2015 no es primo, podríamos decir que sí que le gustan los primos asociados con el 4. ¿Cómo es esto? Pues bien, si a 2015 le restamos una potencia de 4, obtenemos un número primo:

· Tiene tres factores diferentes en su descomposición en factores primos: 5, 13 y 31. Los números con esta propiedad se llaman números esfénicos. También el 2013 y el 2014 cumplen esta propiedad, se produce por tanto una terna de números esfénicos. No es un hecho aislado, pero la próxima terna no la encontraremos hasta el 2665, 2666 y 2667 (una lista con las ternas esfénicas en oeis.org)

· Tiene ocho divisores: 1, 5, 13, 31, 65, 155, 403, 2015. Puesto que la suma de sus divisores (sin el propio 2015) 1+5+13+65+155+403 = 673 es menor que 2015, es un número deficiente.

· La expresión en Binario del 2015 es capicúa: 11111011111. Además, por tener un número par de unos (en binario), es un número malvado. En Octal, su representación es 3737.

· En la entrada anterior "Por qué son interesantes los números" tenemos un enlace a una web que nos muestra propiedades de varios de los naturales inferiores a 10000. En esta web What's Special About This Number encontramos que el 2015 es un número de Lucas-Carmichael. Estos números n tienen la la propiedad que para todo primo p de su descomposición en factores primos, p+1 es divisor de n+1. Como hemos visto, 2015 es 5·13·31, de modo que 6, 14 y 32 son divisores de 2016.

· Hablando de números con nombre propio, 2015 no es un número de Fibonacci, ni de Bell, ni de Catalan, ni de Carmichael, ni de Hamming, ni de Fermat, ni de Mersenne (A pesar de ello, nos parecía interesante hacer un pequeño repaso de estos “números propios”. Hemos encontrado una recopilación más extensa de propiedades de los números en Gaussianos). Tampoco es un número factorial.

· De las infinitas sucesiones numéricas en las que podemos encontrar al 2015, os presentamos una peculiar, la del número de triángulos rectángulos.

Tomamos papel (preferiblemente cuadriculado) y lápiz, y tenemos que dibujar todos los triángulos rectángulos que podamos, con vértices en las intersecciones de la cuadrícula.

Veamos con un ejemplo. Tomamos una cuadrícula de tamaño 2x2 (2 puntos en vertical x 2 puntos en horizontal). En este caso, sólo es posible dibujar 4 triángulos rectángulos.

Lo que buscamos es el número de triángulos rectángulos diferentes, por lo tanto, sólo hay 1 tipo de triángulo posible (pues los demás se obtienen haciendo un giro del primero).

Pasamos ahora a una cuadrícula 3x3, y volvemos a dibujar triángulos rectángulos. El número aumenta, ¡pero aún es realizable a mano!

Ahora buscamos los que sean diferentes, y tenemos que en la cuadrícula 3x3 sólo hay 4 tipos de triángulos rectángulos.

¿Os veis animados para seguir con la cuadrícula 4x4? Por si acaso alguno lo intenta realmente, os mostramos únicamente los 9 tipos de triángulos rectángulos que serían diferentes:

Con paciencia (y muchísimo tiempo libre), si iteramos el proceso hasta la cuadrícula de 40x40, veríamos que la cantidad de triángulos rectángulos diferentes que podemos dibujar es ¡2015!

Los primeros términos de esta suceción los podemos ver en oeis.org

1, 4, 9, 17, 26, 39, 53, 71, 91, 114, 136, … , 1814, 1912, 2015, 2144, …

Me pregunto si esto tendrá alguna aplicación práctica, pero desde luego ¡curioso es!

Hasta ahora os lo hemos dado todo hecho, no podían faltan un par de problemillas:

1) 2015 como suma de cuatro cuadrados

Creo que hay 61 formas posibles para expresar 2015 como suma de cuatro cuadrados (de números naturales), y algunas tienen el 15 como uno de sus términos.

¿Cuántas y cuáles son?

¿Hay alguna forma en la que aparezcan dos 15?

2) 2015 como raíz de la suma de tres cubos

Determinar las posibles soluciones (enteras).

Y por último, un poco de astronomía. Efemérides y fenómenos astronómicos relevantes en 2015:

· Eclipses de Sol: Tendremos dos eclipses solares, aunque desde España sólo podremos ver uno de ellos como eclipse parcial el 20 de marzo.

· Eclipses de Luna: También tendremos dos eclipses lunares, y nuevamente sólo podremos disfrutar de uno de ellos desde la península. En este caso será un eclipse total y tendrá lugar el 28 de septiembre. 

· También tendremos la visita de un par de cometas, que se podrían llegar a ver a simple vista. El primero es el C/2014 Q2 Lovejoy, que tendrá su brillo máximo a principios y mediados de enero, y el segundo es el C/2013 US10 Catalina, que será visible a finales de año y principios del 2016.

· Otro fenómeno astronómico que se produce en 2015 es el conocido como ‘Blue Moon’, o segunda luna llena en un mismo mes. Así pues, durante el mes de julio tendremos dos lunas llenas, una el día 2, y la Blue Moon el día 31. ¡Qué nadie se asuste, pues la luna no se pondrá azul, y seguirá siendo igual!

¡Os dejamos que disfrutéis con el siguiente vídeo escuchando a Billie Holliday cantando Blue Moon para que os anime la vuelta a las clases!

Información vista en:

http://simplementenumeros.blogspot.com.es/

http://cifrasyteclas.com/