jueves, 22 de enero de 2015

( 131 ) Asignaturas optativas

Se aproxima el segundo cuatrimestre, y con él, un nuevo periodo de matriculación. Es habitual encontrarte con alumnos de tercero y cuarto indecisos frente a las posibles asignaturas optativas que tenemos en último curso. Surgen muchas preguntas: ¿Dé que va esa asignatura? ¿Qué conocimientos previos necesito para aquella otra? ¿Requerirá mucho tiempo esta otra? Y… seamos honestos, ¿Será fácil de aprobar? Intentaremos responder de la forma más “objetiva” a todas estas cuestiones, considerando las valoraciones que nos han transmitido los propios profesores que van a impartirlas.
En este segundo periodo académico podemos elegir entre “seis” (pues los horarios se solapan en algunos casos) asignaturas, todas ellas de 6 ECTS:


PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Profesor responsable: Tasio del Barrio
Departamento: Estadística e Investigación Operativa
Conocimientos previos: Es necesario manejar conocimientos básicos de cálculo de probabilidades, álgebra matricial y ecuaciones diferenciales. Guía Docente

Valoración / Motivaciones / Dificultad:
Los procesos estocásticos son modelos matemáticos para fenómenos aleatorios que evolucionan en el tiempo. Las aplicaciones de tales modelos son variadas, incluyendo, por ejemplo, la valoración de derivados financieros, el diseño de protocolos de transmisión de datos o de algoritmos de ranking como el PageRank de Google. Al mismo tiempo los procesos estocásticos son un campo de investigación activa en Matemáticas, con presencia destacada en las tres últimas ediciones de las medallas Fields (entre otros, la medalla fue concedida a W. Werner, S. Smirnov y M. Hairer por sus contribuciones relacionadas con distintos aspectos de los procesos estocásticos).
Andréi Márkov
En esta asignatura se introducen los modelos más simples de procesos (esto permite que se pueda cursar la materia sin demasiados requisitos previos), en especial modelos de Markov (modelos con "memoria corta") y procesos de Poisson. Se estudia la estructura de tales procesos y su comportamiento a largo plazo. Con los procesos de Poisson se introduce un cierto "cálculo estocástico" (cálculo diferencial e integral con respecto a procesos). Este cálculo estocástico está en la base de los modelos de matemática financiera en las que se basa la valoración de derivados (aunque la teoría que se presenta en este curso no alcanza a cubrir este tipo de problemas).



GEOMETRÍA DIFERENCIAL
Profesor responsable: Javier Finat
Departamento: Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
Conocimientos previos: Son fundamentales las asignaturas de “Topología”, “Análisis Matemático”, “Álgebra y Geometría Lineales II” y “Geometría de Curvas y Superficies”. También es recomendable tener presentes los conocimientos de “Ecuaciones Diferenciales” y “Ampliación de Análisis Matemático”. Guía Docente

Valoración / Motivaciones / Dificultad:
La Geometría Diferencial trata de caracterizar variedades a partir de propiedades invariantes por “deformaciones”. Una variedad se obtiene “pegando” datos locales que son equivalentes a espacios cartesianos.  Para ello, utiliza transformaciones suaves de coordenadas  y estructuras superpuestas que permiten linealizar el estudio de las propiedades o bien identificar las simetrías locales en los objetos. Por ello, es una extensión natural de Geometrías Lineales Clásicas bien conocidas.
Un ejemplo típico es la representación cartográfica de la Tierra en términos de cartas geográficas que se agrupan en atlas. Incluso para objetos tan simples como la esfera 2D, existe un gran número de diferentes representaciones cartográficas, aunque todas ellas son compatibles con la estructura global de la esfera. Este enfoque se aplica a cualquier otro objeto volumétrico del mundo real acotado por una superficie y, con más generalidad, a objetos ideales más generales con una estructura “suave a trozos”, incluyendo la posibilidad de deformaciones suaves a trozos.
Las relaciones entre variedades se expresan de forma más sencilla linealizando el problema en términos de estructuras superpuestas. Las estructuras iniciales que se superponen a variedades son fibrados tangentes, cotangentes (duales de los tangentes), principales u otros tensoriales más generales. Para construir objetos globales sobre estas estructuras superpuestas se utilizan las mismas  herramientas de “pegado” para los datos locales. La transferencia entre propiedades locales y globales es un tópico importante, así como la identificación de las propiedades extrínsecas o intrínsecas de los objetos, es decir, dependientes o no de la inmersión en un espacio con propiedades más fáciles de identificar. Para ello, se utilizan campos, formas y sus productos.
La aproximación al estudio de objetos basada en Geometría Diferencial proporciona un soporte para multitud de aplicaciones relacionadas con Física Teórica (Teorías de Unificación para los diferentes tipos de interacción), Mecánica de objetos rígidos (movimientos y acoplamientos entre mecanismos, robótica), Mecánica de Fluidos (elasticidad, viscosidad), Teoría Económica (Micro, Macro, Comercio Internacional, p.e.), Análisis de Formas y su evolución (en Biología, Geología o Medicina, p.e.) o, más recientemente, Visión por Computador (análisis de movimiento, reconocimiento de la forma, representaciones de la interacción, producción de contenidos 3D para cine o videojuegos, etc).
Algunas aplicaciones se muestran en http://www.mobivap.eu/



MÉTODOS VARIACIONALES EN MATEMÁTICA APLICADA
Profesora responsable: Begoña Cano Urdiales
Departamento: Matemática Aplicada
Conocimientos previos: Se recomienda haber cursado “Ecuaciones Diferenciales” y “Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales y Naturales”. Es aconsejable también la asignatura de “Ampliación de Ecuaciones Diferenciales” de tercero. Guía Docente

Valoración / Motivaciones / Dificultad:
Se trata de una asignatura en la que se abordan técnicas para encontrar funciones que de alguna manera minimicen ciertos funcionales (o funciones de funciones) bajo algunas restricciones en algunos casos. Para encontrar dichos mínimos se hará uso de las ecuaciones diferenciales y para plantear el problema matemáticamente a partir del problema práctico, vendrá bien la experiencia adquirida en la asignatura "Matemática Aplicada a las Ciencias Naturales y Sociales".
Catenaria Natural
En particular, se estudiará y explicará la forma que debe tener un tobogán si queremos ir de un punto a otro en el menor tiempo posible, cómo se propaga la luz en un medio no homogéneo, la forma que adquiere una cuerda de cierta longitud colgada de dos puntos, la superficie que dibujan las pompas de jabón una vez determinados los extremos de la misma,...También se estudiarán cuestiones tales como controlar el nivel de glucosa de un paciente inyectándole la misma de la forma más conveniente posible o controlar poblaciones de insectos minimizando la cantidad de insecticidas y la interacción de los insectos con ciertos alimentos que se podrían contaminar.
Se pretende que sea una asignatura práctica, interesante y no excesivamente difícil para los alumnos.



FUNCIONES GENERALIZADAS Y SUS APLICACIONES
Profesor responsable: Luis Alberto Tristán Vega
Departamento: Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
Conocimientos previos: Los requisitos previos de la asignatura están todos contenidos en asignaturas obligatorias: todas las de Análisis Matemático (funciones de variables reales y de variable compleja, espacios de Banach y espacios de Hilbert), Álgebra Lineal,  Topología y  Ecuaciones Diferenciales. Guía Docente

Valoración / Motivaciones / Dificultad:
* Contexto de la asignatura:
Esta es la tercera y última asignatura parte de la materia "Análisis Funcional" del plan de estudios. Se ha diseñado para que pueda ser cursada independientemente de “Análisis Real”, la optativa de primer cuatrimestre, pero evidentemente no tiene sentido cursarla si no se ha cursado primero la asignatura obligatoria “Introducción a los espacios de funciones”.
En general, el objetivo del Análisis Funcional es el estudio teórico y analítico de las ecuaciones funcionales, fundamentalmente en lo que se refiere a existencia y unicidad de soluciones, y sin él es imposible estudiar Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP), Cálculo de Variaciones,  o Física Matemática, tanto la clásica como la cuántica (estudiar no es lo mismo que tener noticia de).

 * Descripción de la asignatura:
Laurent Schwartz
Concretando más, en el estudio moderno de las EDP es de extremada importancia el tratamiento "débil" de las ecuaciones, concepto introducido por Sobolev y que resultó ser equivalente a la teoría desarrollada por Schwartz, casi simultáneamente, en la primera mitad del siglo XX. De forma muy concisa, se puede decir que la formulación débil consiste en rebajar las expectativas de regularidad en las funciones incógnitas, dejando el peso de la derivabilidad a otras funciones de contraste o de prueba, las denominadas funciones "test", o rebajando el grado de derivación de la incógnita mediante procedimientos como la integración por partes. Así, las “soluciones débiles” se buscan en un conjunto de “distribuciones”, en el terminología de Schwartz, o “funciones generalizadas”, según la nomenclatura de Sobolev.
Sergei Sobolev
En esta asignatura prestaremos atención a las dos aspectos mencionados; en particular, veremos que es posible crear un marco adecuado donde se puede, con todo el rigor y las garantías de una teoría consistente, hablar de la delta de Dirac, derivarla, calcular sus transformadas de Fourier o de Laplace, etc. La segunda parte de la asignatura consiste en el estudio de los espacios de Sobolev que trataremos sólo en dimensión uno debido al tiempo limitado de que disponemos. Como aplicación obtendremos los resultados principales sobre los problemas elípticos de contorno (teoría de Sturm-Liouville, etc.) en el caso general, con coeficientes no constantes, ni siquiera continuos. 

* Método docente:
La actividad docente, tal como se fija en la guía de la asignatura, se articula mediante la lección magistral, pero esto es una parte mínima del proceso de aprendizaje. A modo orientativo, el alumno debe dedicar una hora y media de trabajo individual por cada hora lectiva. El carácter terminal de la asignatura permite relajar el temario si los plazos temporales así lo exigiesen, y el ritmo se acomodará al bienestar de alumnos y profesor, y a la óptima distribución del tiempo de trabajo, no al cumplimiento estricto de un programa; no se trata de adquirir muchos conocimientos sobre fórmulas o algoritmos, sino de aprender técnicas de Análisis Matemático avanzado.
Obviamente, en una materia como esta no caben prácticas informáticas, ni recursos multimedia; es un paradigma de la abstracción matemática, con el aliciente de la belleza que supone comprender un gran teorema y el reto de abordar la complejidad de sofisticadas construcciones teóricas y razonamientos.

* Conclusión:
La asignatura es fundamental para aquéllos que deseen comprender muchas de las aplicaciones de las Matemáticas al estudio de la Naturaleza, proporcionando una estructura útil para innumerables aplicaciones, pero no se estudiarán ejemplos concretos mediante procedimientos ad hoc cuya utilidad se limite a un solo caso.
Por todo lo mencionado, esta asignatura es muy recomendable para quien pretenda proseguir su formación académica; será bastante útil, por su valor formativo en el pensamiento matemático, para quien haya completado todos los créditos obligatorios; pero no es adecuada para quien sólo desee cumplir con la cuota de créditos o pretenda obtener unos conocimientos de aplicación cotidiana inmediata.



CURVAS ALGEBRAICAS
Profesor responsable: Fernando Sanz
Departamento: Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
Conocimientos previos: Es necesario haber adquirido conocimientos básicos de las asignaturas “Estructuras algebraicas”, “Álgebra Lineal II (Geometría Proyectiva)”, “Topología”, “Análisis Matemático” y “Geometría Diferencial de Curvas y Superficies”. Guía Docente

Valoración / Motivaciones / Dificultad:
Es una asignatura optativa del último curso del Grado de Matemáticas. Sirve de introducción a la rama de las matemáticas conocida como “Geometría Algebraica”. Esta disciplina, al menos en su motivación inicial, estudia los objetos que están dados por ecuaciones polinómicas y aprovecha todos los conocimientos del álgebra (anillos,
cuerpos, etc.) para estudiar la geometría de tales objetos. A lo mejor te habías preguntado lo siguiente: en la asignatura “Álgebra y Geometría Lineal” se estudian los espacios afines (objetos definidos por polinomios de grado uno) y las cuádricas, especialmente cónicas (objetos definidos por polinomios de grado dos), pero ¿qué pasa con los objetos definidos por polinomios de grado tres o más? Son bastante más difíciles que los anteriores porque ya no tienen una ‘estructura lineal’; éstos son los objetos iniciales de la Geometría Algebraica.
En esta asignatura, uno se ciñe a las curvas algebraicas planas, objetos definidos en el plano por un polinomio en dos variables (y su extensión al plano proyectivo). Muchas de estas curvas las has visto parametrizadas en la asignatura “Geometría Diferencial” (astroide, cardioide, cúspide, etc) y son muy utilizadas en óptica, mecánica, teoría de catástrofes, etc. Aquí se ven atendiendo a su ecuación implícita, que es polinómica. De este modo, podemos cambiar el cuerpo real por otro cuerpo cualquiera y tenemos objetos distintos definidos por las mismas ecuaciones y que sirven para diversas aplicaciones: con cuerpos finitos para la criptografía, con el cuerpo real para visión artificial, con el cuerpo complejo para sistemas dinámicos, fractales y física teórica,...
Si pensabas que los conceptos abstractos que has aprendido sobre el álgebra no los usarías nunca, aquí tienes esta asignatura para desmentirlo. De hecho, casi todas las disciplinas en matemáticas están interconectadas entre sí y esta asignatura es un buen ejemplo de ello, donde se usa álgebra, geometría, análisis y topología (para las curvas complejas).
Alumnos 2013-2014
La dinámica de las clases es bastante atractiva. Los alumnos van desarrollando la mayor parte de las lecciones por turnos en la pizarra, siguiendo los textos de la bibliografía indicados por el profesor. Así el alumno va descubriendo por sí mismo el mundo de las curvas algebraicas y se enfrenta al proceso matemático de entender un texto ajeno de matemáticas y explicarlo a compañeros de manera que éstos también o entiendan.



CÓDIGOS CORRECTORES
Profesor responsable: Félix Delgado de la Mata
Departamento: Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
Conocimientos previos: Es necesario haber adquirido conocimientos básicos de las asignaturas “Estructuras algebraicas”, “Ecuaciones Algebraicas” e “Informática”. Guía Docente

Valoración / Motivaciones / Dificultad:
Es una asignatura terminal de carrera, en ella se aplicarán varios de los conocimientos obtenidos en los cursos anteriores (cuerpos finitos, ecuaciones polinómicas y programación). Se verá la importancia que tiene en la vida cotidiana la utilización de códigos correctores (comunicación, transmisión de datos, almacenamiento en memorias, CD's, DVD's...).
El temario introduce diferentes tipos de códigos, sobre todo correctores, aunque también algunos compresores. 
Parte de métodos clásicos de las matemáticas, sobre todo en el contexto de los cuerpos finitos, explicando su uso en las tecnologías actuales, sobre todo en el contexto de la comunicación. El uso de los Códigos Correctores es hoy día bastante estable, separándose en este aspecto de otras materias semejantes como la criptografía. 
En la asignatura también se resolverán algunos interrogantes del tipo ¿Cómo funciona un CD o DVD? o ¿Pensabas que los cuerpos finitos no servían para nada?
A nivel general, no es una asignatura que pueda caracterizarse por una dificultad alta, pues consiste en la aplicación de conocimientos adquiridos previamente. Después de (al menos) tres años en la carrera, resulta atractivo encontrarse una asignatura que te muestre la aplicación práctica de lo que hemos ido aprendiendo.



¡Esperamos que os sea de ayuda para terminar de configurar vuestro expediente académico!
Como siempre, cualquier duda o sugerencia, podéis comentar en las entradas del blog, o contactar con nosotros en el correo electrónico:
blogmatematicas.uva@gmail.com 

Agradecimiento especial a tod@s los profesor@s que impartirán estas asignaturas por atendernos y dedicarnos unos minutos para poder elaborar esta entrada.

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