(463) - Teorema de Morley para las trisectrices. Centros de Morley

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que involucra la trisección de ángulos, algo perseguido por los griegos mediante regla y compás, que siglos después se comprobó que era imposible.

Frank Morley, un matemático estadounidense de finales del siglo XIX, y principios del XX, descubrió este teorema en 1899. Según él mismo, los antiguos griegos ya tenían conocimiento, o al menos sospechaban, este resultado, pero no consta en ningún texto, ni la proposición en sí, ni la demostración.

Seguramente no se llegó a plantear el problema anterior hasta que no se entendió cómo trisecar un ángulo, en especial con regla y compás. Nótese que el problema general de la trisección de un ángulo no se resolvió hasta 1837 por Pierre Wantzel, y unos años después, 1846 por Évariste Galois.

 

El triángulo original en anaranjado, y el triángulo de Morley en rojo.

El Teorema establece que: “Las intersecciones de las trisecciones de un triángulo son los vértices de un triángulo equilátero”.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Morley.

Nótese que las trisectrices son las cevianas que dividen en tres partes iguales un ángulo.

Veamos ahora dos Centros de Kimberling asociados a este teorema.

El centro del triángulo de Morley, se llama I Centro de Morley y se le conoce como X(356) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de Morley (circunferencia de Morley). Curiosamente ningún centro de Kimberling está en esta circunferencia.

I Centro de Morley - X(356)
[Nótese la circunferencia de Morley en azul]

La intersección de las cevianas que unen los vértices con sendos vértices opuestos del triángulo de Morley (pasando entre medias de las trisectrices) se llama II Centro de Morley, o a veces como I Centro e Morley-Taylor-Marr, y se le conoce como X(357) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

El II Centro de Morley es el centro de perspectiva respeto al triángulo original del I Centro de Morley.

 

II Centro de Morley / I Centro de Morley-Taylor-Marr - X(357)

Este teorema es una joya casi perdida y olvidada y que demuestra que a veces resultados increíblemente bellos parten de premisas simplonas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(461) - Teorema de Napoleón. Centros de Napoleón

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que se le atribuye Napoleón Bonaparte, ni más ni menos.

Realmente no se sabe si de verdad fue Napoleón en persona quien lo descubrió. Se sabía que tenía buenos conocimientos de la geometría para la época, pero se duda si los suficientes para haberlo descubierto. Tampoco sería el primer francés que paga a un matemático para presentar los trabajos de aquel como propio [L’Hôpital].

La primera vez que se tiene mención a este teorema fue en una recopilación de exámenes de Dublín, de fl.1824, que apareció en el examen de geometría para obtener la “medalla de oro” en el examen general de la Universidad de Dublín en octubre de 1820. Volvió a aparecer en 1825 en el “Ladies' Diary” obteniendo una mayor difusión.

Sin embargo, es altamente improbable que Napoleón dedujera este teorema, en especial en estas fechas pues estaba recluido en la Isla de Santa Helena, en medio del Atlántico Sur hasta su muerte en mayo de 1821.

El triángulo original en rojo, los triángulos equiláteros trazados en verde, y el triángulo de Napoleón en azul.

El Teorema establece que: “Al trazar triángulos equiláteros sobre cada lado de  cualquier triángulo, sendos centros [de los nuevos triángulos] definen a su vez un nuevo triángulo equilátero”.

Es más, no importa si se trazan los [triángulos] equiláteros hacia “dentro” o hacia “fuera”, siempre que sea en el mismo sentido.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Napoleón

Además, como un corolario de la desigualdad de Weitzenböck, el área del triángulo original es menor o igual que el promedio de las áreas de los triángulos equiláteros [la igualdad se da si, y solo si, el triángulo original también es equilátero].

Si se define ceviana de Napoleón como cada segmento que une un vértice del triángulo original con el centro del triángulo equilátero opuesto, las tres cevianas de Napoleón intersecan en un centro asociado al triángulo original, conocido como punto de Napoleón.

Si los triángulos equiláteros se habían trazado externamente, dicho centro se llama I Punto de Napoleón, y se le conoce como X(17) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

I Punto de Napoleón - X(17)

Si los triángulos equiláteros se habían trazado internamente, dicho centro se llama II Punto de Napoleón, y se le conoce como X(18) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

II Punto de Napoleón - X(18)
[Nótese que se ha simplificado el número de elementos con respecto a la anterior figura para visualizarlo mejor]

Este teorema es un caso particular del teorema de Petr-Douglas-Neumann y del teorema de Napoleón-Barlotti. Probablemente este teorema no tenga tantas aplicaciones como otros en geometría, ni sea tan amplio como sus generalizaciones, pero eso no le quita de ser un resultado verdaderamente sorprendente. 

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(457) - La trigonometría olvidada

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: la trigonometría que se usó hasta casi el siglo XX, pero ha caído en desuso.

Antes de empezar, hay una pregunta que hay que resolver: ¿qué significa [etimológicamente] la función seno?Seno proviene del latín sinus “pecho, bahía”, traducción del árabe جَيْب (jayb) “pecho”, que es a su vez una mala interpretación de جب (jb), (en árabe se omite la notación para vocales). La palabra que se quería traducir era realmente جِيبَ (jība) “seno”, del sánscrito ज्या (jyā) “seno, cuerda [geométrica], cuerda de arco” a través del término similar जीव (jīva) “seno, cuerda, vida, existencia”.

El término coseno significa “seno del [ángulo] complementario”. Tanta coincidencia no era casualidad. Nótese que, en grados:

• $$\sin(0^\circ) = \cos(90^\circ) = 0 \qquad 0^\circ + 90^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \qquad 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2\;}}{2} \qquad 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(60^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3\;}}{2} \qquad 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(90^\circ) = \cos(0^\circ) = 1 \qquad 90^\circ + 0^\circ = 90^\circ $$

Volviendo a lo que atañe, si uno toma un libro impreso cuando las calculadoras no eran tan asequibles o útiles, verá que al final, había tablas con números. Varias de ellas correspondían a los valores del seno y del coseno según diferentes ángulos. Sin embargo, no eran las únicas funciones trigonométricas (sin hablar de la tangente, secante, cosecante y cotangente). De hecho se podían hasta cuatro funciones trigonométricas íntimamente relacionadas con el seno y el coseno: verseno, coverseno, vercoseno y covercoseno. Verseno y coverseno Coverseno y covercoseno
Etimológicamente verseno significa “seno volteado”, y en la analogía de un arquero con su arma [la cuerda reposada del arco es $2\sin(\theta)$ , el radio es la mitad de la cuerda tensa, y el arco goniométrico es la madera del arco] el verseno es la flecha que se dispara. Por eso a veces se le llamaba sagitta “saeta, flecha” en latín. (La etimología del resto de razones trigonométricas se deduce arriba.) Con la aparición de calculadoras más fiables, y comunes, la necesidad de definir nuevas razones trigonométricas ha desaparecido llevándose consigo esta joya perdida de la trigonometría. ¿Quién se acuerda ya de las tablas de antilogaritmos?

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.