(461) - Teorema de Napoleón. Centros de Napoleón

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que se le atribuye Napoleón Bonaparte, ni más ni menos.

Realmente no se sabe si de verdad fue Napoleón en persona quien lo descubrió. Se sabía que tenía buenos conocimientos de la geometría para la época, pero se duda si los suficientes para haberlo descubierto. Tampoco sería el primer francés que paga a un matemático para presentar los trabajos de aquel como propio [L’Hôpital].

La primera vez que se tiene mención a este teorema fue en una recopilación de exámenes de Dublín, de fl.1824, que apareció en el examen de geometría para obtener la “medalla de oro” en el examen general de la Universidad de Dublín en octubre de 1820. Volvió a aparecer en 1825 en el “Ladies' Diary” obteniendo una mayor difusión.

Sin embargo, es altamente improbable que Napoleón dedujera este teorema, en especial en estas fechas pues estaba recluido en la Isla de Santa Helena, en medio del Atlántico Sur hasta su muerte en mayo de 1821.

El triángulo original en rojo, los triángulos equiláteros trazados en verde, y el triángulo de Napoleón en azul.

El Teorema establece que: “Al trazar triángulos equiláteros sobre cada lado de  cualquier triángulo, sendos centros [de los nuevos triángulos] definen a su vez un nuevo triángulo equilátero”.

Es más, no importa si se trazan los [triángulos] equiláteros hacia “dentro” o hacia “fuera”, siempre que sea en el mismo sentido.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Napoleón

Además, como un corolario de la desigualdad de Weitzenböck, el área del triángulo original es menor o igual que el promedio de las áreas de los triángulos equiláteros [la igualdad se da si, y solo si, el triángulo original también es equilátero].

Si se define ceviana de Napoleón como cada segmento que une un vértice del triángulo original con el centro del triángulo equilátero opuesto, las tres cevianas de Napoleón intersecan en un centro asociado al triángulo original, conocido como punto de Napoleón.

Si los triángulos equiláteros se habían trazado externamente, dicho centro se llama I Punto de Napoleón, y se le conoce como X(17) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

I Punto de Napoleón - X(17)

Si los triángulos equiláteros se habían trazado internamente, dicho centro se llama II Punto de Napoleón, y se le conoce como X(18) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

II Punto de Napoleón - X(18)
[Nótese que se ha simplificado el número de elementos con respecto a la anterior figura para visualizarlo mejor]

Este teorema es un caso particular del teorema de Petr-Douglas-Neumann y del teorema de Napoleón-Barlotti. Probablemente este teorema no tenga tantas aplicaciones como otros en geometría, ni sea tan amplio como sus generalizaciones, pero eso no le quita de ser un resultado verdaderamente sorprendente. 

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.