En el día de
hoy traemos una entrada que en un principio no estaba planificada: hemos hecho
dos (sobre la derivada y la integral) para poder entender mejor la última (sobre
la diferintegral y la derivada fraccionaria), pero investigando sobre el
cálculo fraccional, descubrimos el cálculo fractal.
Debemos a
Newton y Leibniz la invención del cálculo clásico a finales del siglo XVII y
principios del XVIII. Sin embargo no ha sido hasta finales del siglo XIX cuando
el cálculo no-newtoniano empezó a coger impulso (en especial el cálculo
fraccionario), y en particular hemos
tenido que esperar hasta la década de 1970 para el cálculo fractal.
En el cálculo
newtoniano los cocientes de incrementos siempre eran con un número entero
de puntos, es decir, se comparaba un incremento entero de la función con otro
incremento entero de la variable.
El cálculo
fraccionario expandió esta idea a números racionales en un principio, y
luego, aplicando el mismo método, a números irracionales y complejos-no-reales.
El cálculo
fractal se propuso: ¿es necesario que los incrementos de la función sean
del mismo orden que los de la variable?
¿Qué significa
esto para las funciones más simples?
Ya habíamos
visto que la derivada clásica de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de
afines] eran a su vez polinomios de menor grado, sinusoides con desfase
perpendicular, o exponenciales respectivamente.
A su vez habíamos
visto que la derivada fraccional de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de
afines] eran a su vez radicaciones, sinusoides con desfase oblicuo, o
exponenciales respectivamente
Sin embargo,
para el cálculo fractal la derivada fractal de polinomios, sinusoides, o
exponenciales [de afines] son el producto de una radicación por un polinomio [clásico]
de menor grado, un polinomio trigonométrico del mismo grado pero con desfase, o
exponenciales respectivamente.
A diferencia
del cálculo fraccionario, el cálculo fractal mantiene la regla de la cadena de
una forma muy directa, que relaciona la derivada fractal con la derivada
clásica.
Aunque todo
esto pueda parecer muy bonito en papel, pero sin ninguna aplicación real, el cálculo fractal es muy importante en ciertas ramas como en mecánica
de fluidos donde acuíferos, medios porosos, o turbulencias presentan las
propiedades fractales, que no siguen necesariamente una geometría euclídea.
El cálculo
fractal es el que se tiene que usar en geometría no-euclídea, y sus aplicaciones,
como el estudio del espacio-tiempo, donde las nociones tan simples como la velocidad tienen que ser redefinidas.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
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