En
el día de hoy traemos una entrada bastante útil: ¿En qué se diferencian la
integral de Riemann de la integral de Darboux?
Riemann
propuso su integral en un artículo de la universidad de Gotinga en 1854, pero
se publicó póstumamente en 1866. Unos años después, en 1875, Darboux propuso su
integral.
Cabe resaltar
que ambas son equivalentes, es decir, una función es Riemann-integrable si y
solo si es Darboux-integrable. Ambas empiezan haciendo una partición del
intervalo de integración, y
considerando la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan la
integral.
La integral de
Riemann para cada subintervalo toma un nodo tal que la función evaluada en
dicho nodo sea una aproximación de la altura promedia del rectángulo, cuya área
aproxima el área de la función en dicho subintervalo.
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| Suma de Riemann del punto medio en una partición uniforme. |
La integral de Darboux
para cada subintervalo halla el ínfimo y el supremo que toma la función en
dicho subintervalo. Luego calcula las áreas del “rectángulo inferior” (el
rectángulo de área maximal que está contenido por la función) y del “rectángulo
superior” (el rectángulo de área minimal que contiene la función).
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| Sumas inferior y superior de Darboux en una partición uniforme. |
La construcción
de Darboux es probablemente la más intuitiva, la que se utiliza muchas veces a
la hora de demostrar proposiciones, y la que se enseña en Bachillerato,
mientras que la de Riemann se suele usar a la hora de computar numéricamente
una integral.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
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