(571) - Integral de Stieltjes. Integrales sin dx .

En el día de hoy traemos una entrada bastante curiosa y olvidada hasta por los profesores de análisis: La integral de Stieltjes, de $1894$ .

Cuando nos explicaban qué era una integral veíamos qué significaba el signo integral, qué es el integrando (la función que se integra) y el integrador (con respecto a qué se integra) que solía aparecer como $\text{d}x$ . Pero, ¿qué pasa cuando el integrador es una función en sí, $\alpha(x)$ ?

Por ejemplo, ¿qué significan $\displaystyle\int\,\text{d}x^3$ o por ejemplo $\displaystyle \int x\,\text{d}e^x$ ?

La integral de Stieltjes da respuesta a esta pregunta centrándose en el integrador más que en el integrando, cumpliendo las siguientes propiedades respecto al integrador:

·Es lineal.

·Para un integrando positivo, se conserva la monotonía (sino, se invierte).

·El valor absoluto de la integral es menor igual que la integral del valor absoluto

·Cumple la identidad de Chasles.

·Si (el integrador) es diferenciable, se puede sustituir  $\text{d}\alpha(x)=\alpha^{(1)}(x)\,\text{d}x$ .

Combinando esta construcción de la integral con otras, nos da dos equivalentes: la de Darboux-Stieltjes y Riemann-Stieltjes (donde las integrales de Darboux y Riemann a secas son sendos casos particulares más simples). Las integrales de D.-S. y R.-S. son aplicaciones bilineales asimétricas que son un paso anterior a la introducción de la integral de Lebesgue.

Aunque esto pueda parecer en un principio muy raro, integrar por partes es aplicar la integración de Stieljes con dos funciones diferenciables. (Es más usando la integración por partes se llega a una aplicación bilineal simétrica y/o antisimétrica de la integral de D.-S. y de R.-S. )

Las integrales de Darboux, Riemann, o Lebesgue nos dicen cómo ha tratarse la integral según el integrando, mientras que la de Stieltjes, según el integrador.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.