(619) - Integral de Riemann (Origen de la idea) Teorema del Valor Medio de Lagrange (con GIFs descargables)

El teorema del valor medio de Lagrange (en su formulación con integrales) nos asegura que dado una función $f$ integrable en un intervalo $[a,b]$ , existe un punto intermedio $\eta$ al intervalo tal que $f(\eta)$ es la altura promedio de la función $f$ , es decir, que $f(x)$ y $f(\eta)$ tienen la misma integral en $[a,b]$ : $$\begin{align*} \int_a^b\!\!f(x) \text{d}x & = \int_a^b\!\!f(\eta) \text{d}x \\ & = f(\eta)(b-a) \end{align*}$$
Si en vez de considerar todo el intervalo $[a,b]$, consideramos un subintervalo $[x_{k-1},x_k]$ , entonces pasamos a tener un punto intermedio $\eta_k$ , y el resultado sigue siendo válido: $$\begin{align*} \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(x) \text{d}x & = \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(\eta_k) \text{d}x \\ & = f(\eta_k)(x_k-x_{k-1}) \\ & = f(\eta_k){\Delta x}_k \end{align*}$$ Si ahora sumamos todos los resultados para cada uno de estos subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ , y sabiendo que $\displaystyle \int_a^b\!\!f(x) \text{d}x = \sum_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(x) \text{d}x$ , entonces tenemos: $$\begin{align*} \int_a^b\!\!f(x) \text{d}x & = \sum_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(\eta_k) \text{d}x \\ & = \sum_{k=1}^n f(\eta_k)(x_k-x_{k-1}) \\ & = \sum_{k=1}^n f(\eta_k){\Delta x}_k \\ \end{align*}$$ Así pues, si queremos hallar el valor de la integral $\displaystyle \int_a^b f$ , esto se reduce a hallar el correspondiente $\eta_k$ (o en su defecto $f(\eta_k)$ ) para cada uno de los $n$ subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ . Sin embargo, esta tarea no es especialmente trivial, ya que muchas veces implica resolver dicha integral para luego hallar o bien $\eta_k$ o bien $f(\eta_k)$ . Empero podemos encontrar una familia $T$ de puntos intermedios asociados $t_k\in[x_{k-1},x_k]$ tal que cada uno de los $t_k$ esté suficientemente "cerca" de $\eta_k$ , y que sendos valores ( $f(t_k)$ y $f(\eta_k)$ respectivamente) no sean muy diferentes, a lo sumo una cantidad $\varepsilon_k$ :
$$\forall \delta_k \gneq 0 \, , \, \exists t_k \in B(\eta_k, \delta_k) \,\big/\, 0\leqslant \big|f(\eta_k)-f(t_k)\big|\lneq \varepsilon_k \leqslant \max_{k=1}^n\big(\varepsilon_k\big) \overset{\text{def}}{=:} \varepsilon$$ Con todo esto podemos hallar una suma de áreas, que llamaremos suma asociada de Riemann $\sigma(f,\mathcal{P}_n,T)$ , tal que se aproxime suficientemente bien al valor de la integral $\displaystyle \int_a^b f$ , y que difieran como muchísimo $\displaystyle \max_{k=1}^n\big(\varepsilon_k\big)(b-a)$ : $$\begin{array}{ccccc} 0 & \leqslant & \big|f(\eta_k)-f(t_k)\big| & \lneq &\varepsilon \\ -\varepsilon &\lneq & f(\eta_k)-f(t_k) & \lneq & \varepsilon \\ -\varepsilon{\Delta x}_k &\lneq & f(\eta_k){\Delta x}_k-f(t_k){\Delta x}_k & \lneq & \varepsilon{\Delta x}_k\\ \displaystyle \sum_{k=1}^n-\varepsilon{\Delta x}_k &\lneq & \displaystyle \sum_{k=1}^n f(\eta_k){\Delta x}_k-\sum_{k=1}^n f(t_k){\Delta x}_k & \lneq & \displaystyle \sum_{k=1}^n \varepsilon{\Delta x}_k\\ -\varepsilon(b-a) &\lneq & \displaystyle \int_a^b\hspace{-3mm}f -\sigma(f,\mathcal{P}_n,T) & \lneq &\varepsilon(b-a) \\ 0 &\leqslant & \displaystyle \Bigg| \int_a^b\hspace{-3mm}f -\sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \Bigg| & \lneq &\varepsilon(b-a) \\ \end{array}$$ En este GIF animado podemos observar cómo variando el número $n$ de subintervalos $[x_{k-1},x_k]$ se aproxima mejor el valor de la integral.

En este GIF animado podemos observar cómo variando la familia $T$ de puntos intermedios asociados varía la aproximación a la integral.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.