El teorema del valor medio de Lagrange (en su formulación con integrales) nos asegura que dado una función f integrable en un intervalo [a,b] , existe un punto intermedio \eta al intervalo tal que f(\eta) es la altura promedio de la función f , es decir, que f(x) y f(\eta) tienen la misma integral en [a,b] :
\begin{align*}
\int_a^b\!\!f(x) \text{d}x & = \int_a^b\!\!f(\eta) \text{d}x \\ & = f(\eta)(b-a)
\end{align*}
Si en vez de considerar todo el intervalo [a,b], consideramos un subintervalo [x_{k-1},x_k] , entonces pasamos a tener un punto intermedio \eta_k , y el resultado sigue siendo válido:
\begin{align*} \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(x) \text{d}x & = \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(\eta_k) \text{d}x \\
& = f(\eta_k)(x_k-x_{k-1}) \\
& = f(\eta_k){\Delta x}_k
\end{align*}
Si ahora sumamos todos los resultados para cada uno de estos subintervalos [x_{k-1},x_k] , y sabiendo que \displaystyle \int_a^b\!\!f(x) \text{d}x = \sum_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(x) \text{d}x , entonces tenemos:
\begin{align*}
\int_a^b\!\!f(x) \text{d}x & = \sum_{k=1}^n \int_{x_{k-1}}^{x_k}\!\!f(\eta_k) \text{d}x \\
& = \sum_{k=1}^n f(\eta_k)(x_k-x_{k-1}) \\
& = \sum_{k=1}^n f(\eta_k){\Delta x}_k \\
\end{align*}Así pues, si queremos hallar el valor de la integral \displaystyle \int_a^b f , esto se reduce a hallar el correspondiente \eta_k (o en su defecto f(\eta_k) ) para cada uno de los n subintervalos [x_{k-1},x_k] . Sin embargo, esta tarea no es especialmente trivial, ya que muchas veces implica resolver dicha integral para luego hallar o bien \eta_k o bien f(\eta_k) . Empero podemos encontrar una familia T de puntos intermedios asociados t_k\in[x_{k-1},x_k] tal que cada uno de los t_k esté suficientemente "cerca" de \eta_k , y que sendos valores ( f(t_k) y f(\eta_k) respectivamente) no sean muy diferentes, a lo sumo una cantidad \varepsilon_k :
\forall \delta_k \gneq 0 \, , \, \exists t_k \in B(\eta_k, \delta_k) \,\big/\, 0\leqslant \big|f(\eta_k)-f(t_k)\big|\lneq \varepsilon_k \leqslant \max_{k=1}^n\big(\varepsilon_k\big) \overset{\text{def}}{=:} \varepsilon
Con todo esto podemos hallar una suma de áreas, que llamaremos suma asociada de Riemann \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) , tal que se aproxime suficientemente bien al valor de la integral \displaystyle \int_a^b f , y que difieran como muchísimo \displaystyle \max_{k=1}^n\big(\varepsilon_k\big)(b-a) :
\begin{array}{ccccc}
0 & \leqslant & \big|f(\eta_k)-f(t_k)\big| & \lneq &\varepsilon \\
-\varepsilon &\lneq & f(\eta_k)-f(t_k) & \lneq & \varepsilon \\
-\varepsilon{\Delta x}_k &\lneq & f(\eta_k){\Delta x}_k-f(t_k){\Delta x}_k & \lneq & \varepsilon{\Delta x}_k\\
\displaystyle \sum_{k=1}^n-\varepsilon{\Delta x}_k &\lneq & \displaystyle \sum_{k=1}^n f(\eta_k){\Delta x}_k-\sum_{k=1}^n f(t_k){\Delta x}_k & \lneq & \displaystyle \sum_{k=1}^n \varepsilon{\Delta x}_k\\
-\varepsilon(b-a) &\lneq & \displaystyle \int_a^b\hspace{-3mm}f -\sigma(f,\mathcal{P}_n,T) & \lneq &\varepsilon(b-a) \\
0 &\leqslant & \displaystyle \Bigg| \int_a^b\hspace{-3mm}f -\sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \Bigg| & \lneq &\varepsilon(b-a) \\
\end{array} En este GIF animado podemos observar cómo variando el número n de subintervalos [x_{k-1},x_k] se aproxima mejor el valor de la integral.
sábado, 21 de noviembre de 2020
(619) - Integral de Riemann (Origen de la idea) Teorema del Valor Medio de Lagrange (con GIFs descargables)
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martes, 3 de noviembre de 2020
(617) - Trigonometría Racional. Una reformulación curiosa
Empecemos diciendo esto qué no es: no es un artículo sobre trigonometría cuyos ángulos, o cuyos valores sean números racionales (para eso habrá que esperar a la entrada del Teorema de Niven-Hadwiger), sino de una reformulación más "racional" (en el sentido estricto), más lógica de la trigonometría.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
El canadiense Norman J. Wildberger, profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva Gales del Sur (Australia), se propuso hacer esta reformulación que terminó \text{a.}2005 con la publicación de su libro (enlace), y que luego fue relatando en una serie de vídeos de su canal de Youtube (enlace).
En vez de tratar con ángulos, distancias a modo de catetos opuesto, y adyacente, o hipotenusa, o algunos ratios, se utilizan los términos cuadranza, extensión, y cruce (en menor medida).
· Cuadranza (quadrance), Q : Reemplaza el concepto de distancia. Mide el área del cuadrado dados dos de sus vértices, es decir, mide el cuadrado de la distancia, d^2 . Los griegos muchas veces, como en el teorema de Pitágoras, hablaban más de áreas que de longitudes.
· Extensión (spread) , s : Reemplaza el concepto de ángulo. Mide la ratio entre la cuadranza ascendida entre la cuadranza recorrida, es decir, mide el cuadrado del seno, \sin^2(\theta) .
· Cruce (cross), 1-s : Es el complementario a la extensión, es decir, mide el cuadrado del coseno, \cos^2(\theta)\triangleq 1-\sin^2(\theta) .
Muchas de los resultados clásicos tienen sus análogos en este reformulación, veamos algunos ejemplos:
\begin{matrix} \text{Teorema de Pitágoras} & a^2 = b^2 + c^2 &\qquad& Q_1 = Q_2 + Q_3 \\ \text{Teorema del seno} & \displaystyle \frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)} & \qquad & \displaystyle \frac{Q_1}{s_1}=\frac{Q_2}{s_2}=\frac{Q_3}{s_3} \\ \text{Teorema del coseno} & \displaystyle -a^2+b^2+c^2 = 2bc\cos(\alpha) &\qquad& (-Q_1+Q_2+Q_3)^2 = 4Q_2Q_3(1-s_1) \end{matrix}
Caben resaltar dos fórmulas más:
(Q_1+Q_2+Q_3)^2=2\big({Q_1}^2+{Q_2}^2+{Q_3}^2\big) \qquad (s_1+s_2+s_3)^2=2\big({s_1}^2+{s_2}^2+{s_3}^2\big)+4s_1s_2s_3
Casi todas estas relaciones se pueden obtener partiendo de las relaciones clásicas y modificándolas hasta alcanzar una expresada en los términos deseados. Cabe resaltar a su vez que la trigonometría racional a veces hace uso de relaciones de cuadrados a los que Euclides les dedica algunas proposiciones en su obra magna Los Elementos, como por ejemplo:
(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2+b^2) \qquad (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab
O haciendo uso de la Identidad de Brahmagupta-Fibonacci/de Diofanto:
(a_2b_1-a_1b_2)^2+(a_1a_2+b_1b_2)^2=\big({a_1}^2+{b_1}^2\big)\big({a_2}^2+{b_2}^2\big)
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
(613) - Valor principal de Cauchy. Integrando al límite y al infinito
Aclaremos una cosa: esta entrada no trata el problema del valor inicial de Cauchy para ecuaciones diferenciales (en el que se halla la única solución a una ecuación diferencial dada una condición inicial concreta).
Supongamos que tenemos una función f(x) de la que queremos hallar su integral en el intervalo [a,b] (realmente da igual si es abierto o cerrado). Sin embargo, esta función no es continua en todo el intervalo, sino que tiene una discontinuidad en algún punto intermedio \xi\in[a,b] .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Supongamos que tenemos una función f(x) de la que queremos hallar su integral en el intervalo [a,b] (realmente da igual si es abierto o cerrado). Sin embargo, esta función no es continua en todo el intervalo, sino que tiene una discontinuidad en algún punto intermedio \xi\in[a,b] .
- Si fuera una discontinuidad evitable, es decir, si \displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) \not = f(\xi) , entonces la integral sería: \displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^{\to\xi^{-}} \hspace{-8pt} f+ \int_{\to\xi^{+}}^b \hspace{-3.5pt} f .
- Si fuera una discontinuidad inevitable de salto finito ( \displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) - \lim_{x\to\xi^{+}} f(x)\lneq\infty ), es decir, si \displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) \not = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) , entonces la integral sería: o bien \displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^{\to\xi^{-}} \hspace{-8pt} f + \int_\xi^b \hspace{-6pt} f (si \displaystyle \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) = f(\xi) ), o bien \displaystyle \int_a^b \hspace{-5pt} f = \int_a^\xi \hspace{-6pt} f + \int_{\to\xi^{+}}^b \hspace{-3.5pt} f (si \displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = f(\xi) ).
- Si fuera una discontinuidad inevitable de salto infinito ( \displaystyle |\lim_{x\to\xi^{-}} f(x) - \lim_{x\to\xi^{+}} f(x)| = \infty ) es decir, si \displaystyle \lim_{x\to\xi^{-}} f(x) = \pm\infty = \lim_{x\to\xi^{+}} f(x) [particularizando al caso que queremos estudiar], entonces la integral numérica no tendría del todo sentido siempre:
- Si ambos límites laterales convergen en valor absoluto a infinito y tienen el mismo signo, la integral numérica da \pm\infty .
- Sin embargo, si ambos convergen en valor absoluto a infinito, pero tienen distinto signo, uno podría preguntarse cómo calcular [numéricamente] el valor de la integral. La respuesta es a través de un límite:
\boxed{ ―\hspace{-11.5pt}\int_a^b \hspace{-5pt} f \overset{\text{def}}{=} \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \Bigg( \int_a^{\xi-\varepsilon}\hspace{-5pt} f + \int_{\xi+\varepsilon}^b \hspace{-5pt} f \Bigg) }
Nótese que se está evaluando la integral en [a,b]\setminus[\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon] \triangleq [a,\xi-\varepsilon) \cup (\xi+\varepsilon,b] , y por las propiedades de la integración, la integral en ese subintervalo (bajo ciertas condiciones), \displaystyle \int_{\xi-\varepsilon}^{\xi+\varepsilon}\hspace{-5pt} f = 2\varepsilon\cdot f(\eta) \!\underset{\varepsilon\to 0}{\longrightarrow}\! 0 donde \eta\in (\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon) .
Con la definición del valor principal de Cauchy, uno puede dar un resultado numérico a integrales tipo: \displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int_{-1}^2 \frac{1}{x} \text{d}x = \ln 2 , o puede incluso definir funciones más difíciles como la integral logarítmica (de la que hablaremos más adelante): \displaystyle \operatorname{li}(x) \overset{\text{def}}{=} ―\hspace{-11.5pt}\int_0^x \frac{1}{\ln(t)} \text{d}t
El valor principal de Cauchy es una generalización para ciertas integrales numéricas que sigue abarcando los casos más simples.
En cuanto a notación el valor principal de Cauchy se denota como \displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int que corresponde al comando \fint en LaTeX , y en otras ocasiones \displaystyle \int_L^\ast , \displaystyle \mathcal{C}\int , \displaystyle (CPV)\int , \displaystyle P\int , \displaystyle PV\int , \displaystyle \operatorname{P.V.}\int , \displaystyle P_v\int , \displaystyle \operatorname{V.P.}\int , \displaystyle \operatorname{p.v.}\int .
En cuanto a notación el valor principal de Cauchy se denota como \displaystyle ―\hspace{-11.5pt}\int que corresponde al comando \fint en LaTeX , y en otras ocasiones \displaystyle \int_L^\ast , \displaystyle \mathcal{C}\int , \displaystyle (CPV)\int , \displaystyle P\int , \displaystyle PV\int , \displaystyle \operatorname{P.V.}\int , \displaystyle P_v\int , \displaystyle \operatorname{V.P.}\int , \displaystyle \operatorname{p.v.}\int .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
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