(821) - Ley de Adán y Ley de Eva

Hoy vamos a explicar el porqué de estas dos fórmulas y su significado estadístico. Empecemos con la que dió nombre a todo esto. La ley de Eva, también llamada la Ley de la varianza total o de descomposición de la varianza. $$\operatorname{var}(X) = \operatorname{E}\!\big(\operatorname{var}(X | Y)\big) + \operatorname{var}\!\big(\operatorname{E}(X | Y)\big)$$ Aunque también se suele expresar, para dejarlo más claro: $$\operatorname{var}_X(X) = \operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{var}_X(X | Y)\big) + \operatorname{var}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X | Y)\big)$$ De aquí se puede ver el porqué del nombre de la ley de Eva (Eve's Law en inglés), ya que está la regla mnemotécnica EV-VE. Lo que dice esta fórmula es que dadas dos variable aleatorias $X,Y$ , la varianza de $X$ , $\operatorname{var}_X(X)$ , se puede escribir como la suma de las varianzas inexplicada y explicada:

1. La varianza inexplicada es la esperanza en $Y$ de la varianza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$ , es decir, $\operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{var}_X(X | Y)\big)$. También se puede ver como el valor esperado de la varianza del proceso.
2. La varianza explicada es la varianza en $Y$ de la esperanza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$ , es decir, $\operatorname{var}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X | Y)\big)$. También se puede ver como la varianza de la "media hipotética".

Mientras tanto, la Ley de Adán, o la ley de la esperanza total, dice que $$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E}\!\big(\operatorname{E}(X|Y)\big)$$ Una vez más la Ley de Adán es un juego de palabras: si la ley de Eva es la lay de la varianza total, la ley de Adán lo es de la esperanza total. Aunque también se suele expresar, para dejarlo más claro: $$\operatorname{E}_X(X) = \operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X|Y)\big)$$ Lo que dice esta fórmula es que dadas dos variable aleatorias $X,Y$ , la esperanza de $X$ , $\operatorname{E}_X(X)$ se puede escribir como la esperanza en $Y$ de la esperanza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$, $\operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X|Y)\big)$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.