(977) - El nieto de Darwin & Weber corrigen a Coulomb & Maxwell. Los otros Darwin

"Un matemático es un ciego en un cuarto a oscuras buscando un gato negro, que no está ahí" es una frase normalmente asociada al biólogo Charles Robert Darwin ($1809-1882$). Sin embargo, es una cita falsa. En su propia biografía escribió: "Me he arrepentido profundamente de que no seguí lo suficientemente lejos para al menos entender los grandes principios gobernantes de la matemática, que para aquellos que los entienden, parece que tienen un sentido extra."

Estos fuertes sentimientos se los transmitió a su hijo George Howard Darwin ($1845-1912$), matemático y astrónomo, y este al suyo, Charles Galton Darwin ($1887-1962$), un físico.

En el artículo de hoy, tratamos un tema entre la mecánica teórica y la electrodinámica semi-clásica. La ley de Coulomb se suele plantear como una ley empírica para cargas puntuales en reposo (luego se suele generalizar para distribuciones varias de cargas). Nótese el "en reposo". Dos cargas tendrán una interacción tipo Coulomb entre ellas, que perturbará su estado de reposo. El lagrangiano que describe la interacción entre dos partículas es el debido a las partículas sin interacción (simplemente con la energía cinética clásica y una corrección relativista a primer order), y el de la interacción per se entre las partículas: el de la interacción Coulombiana y el lagrangiano de Darwin, que describe las interacciones a primer orden relativista entre dos partículas, que se debe a que cada partícula reacciona al campo magnético generado por la otra.

El físico alemán Wilhelm Eduard Weber ($1804-1891$) es el padre de una concepción de la electrodinámica que lleva su nombre, donde ahora la Ley de Coulomb se corrige para ser dependiente de la velocidad: $$ \vec{F} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0r^2}\left(1-\frac{\dot{\vec{r}}\cdot\dot{\vec{r}}}{2 c^2}+\frac{\vec{r}\cdot\ddot{\vec{r}}}{c^2}\right) \widehat{r} $$ Darwin no paró ahí sus contribuciones a la electridinámica. Por ejemplo en el tratamiento del átomo de hidrógeno hay muchos matices: normalmente se resuelve la ecuación de la forma más simple posible y luego se tiene en cuenta a posteriori los diferentes efectos que hay presentes, que se introducen como términos extra sucesivos. Entre ellos, está el término de Darwin (en la expansión no-relativista de la ecuación de Dirac, que proviene en las fluctuaciones cuánticas del movimiento del electrón - Zitterbewegung).




Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(971) - Integral exponencial

Consideremos la función integral exponencial, que para valores positivos se define tal que: $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{Ei}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int_{-x}^\infty\!\frac{e^{-t}}{-t} \text{d}t
\end{array}$$ Hay quien incluso prefiere definir la integral exponencial entera: $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{Ein} : & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x\! \frac{1-e^{-t}}{t} \text{d}t
\end{array}$$
Sin embargo, esta definición inicial presenta ciertos problemas en algunos casos, por lo que se prefiere a veces definir una familia de funciones íntimamente relacionadas:
$$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{E}_n : & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_1^\infty\!\frac{e^{-xt}}{t^n} \text{d}t
\end{array}$$
Donde se tiene que $$ \operatorname{E}_1(x) = -\operatorname{Ei}(-x) $$
Que es una relación muy útil a la hora de relacionar las dos definiciones. Es más, $$ \operatorname{E}_1(x) = -\!\!\!\!\!\!\int_x^\infty\!\frac{e^{-t}}{t} \text{d}t $$ Que es básicamente sustituir en la definición anterior la identidad expresadad.
Si denotamos $\gamma$ la constante de Euler-Mascheroni, se tiene que: $$\operatorname{Ein}(z)=\gamma+\ln(z)+\operatorname{E}_1(z)$$

Nótese que aunque la familia de funciones integrales exponenciales puede parecer más aparatoso, se tienen las siguientes relaciones que simplifican los cálculos. $$ {\operatorname{E}_n}^{(1)}(x) = -\operatorname{E}_{n-1}(x) \iff \operatorname{E}_{n+1}(x) = \frac{e^{-x}-x\operatorname{E}_n(x)}{n} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(967) - Trigonometría integral

Consideremos dos funciones definidas a partir de integrales. El seno integral se define como: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Si}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\frac{\sin(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Sin embargo, hay quienes prefieren la definición: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{si}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\int_x^\infty \!\frac{\sin(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Donde ambas están interrelacionadas por $$ \operatorname{Si}(z)-\operatorname{si}(z)=\frac{\pi}{2}$$ La función coseno integral viene definida por $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{ci}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle -\int_x^\infty \!\frac{\cos(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ A su vez, hay quien recurre a la función coseno integral entero para definir la anterior, donde se tiene que: $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Cin}: & \mathbb{R}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^x \!\frac{1-\cos(t)}{t} \text{d}t \end{array}$$ Si denotamos $\gamma$ la constante de Euler-Mascheroni, se tiene que: $$\operatorname{Ci}(z)=\gamma+\ln(z)-\operatorname{Cin}(z)$$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.