Una situación habitual en matemáticas es tener un resultado y querer generalizarlo, es decir, tener un aserto para un caso muy particular e intentar saber cuál es el aserto general del que proviene. Sin embargo un inconveniente que encontramos es saber hacia dónde ir. Para particularizar es fácil; por ejemplo, si tenemos una afirmación $\forall n\in\mathbb{N}_0$ podemos sustituir $n=0$ y tenemos dicho caso particular. No obstante, no es obvio cómo pasar de $n=0$ a cualquier $n\in\mathbb{N}_0$ , en especial si se ha simplificado mucho la expresión. Es más, muchas veces se puede generalizar un resultado particular hacia distintos asertos. Veamos algunos ejemplos con el Teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras probablemente sea el teorema matemático más conocido en la cultura general. Está presente en Los Elementos de Euclides en el I Libro como la proposición XLVII y su recíproco, XLVIII (que el recíproco sea cierto no es un hecho para cualquier proposición, por ejemplo, «Si llueve, el suelo se moja» , $p\to q$ , y «El suelo está mojado» , $q$ , no implica necesariamente que «ha llovido» , $p$ ).
Enunciado original
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo se cumple la identidad pitagórica, es decir, $a^2 = b^2 + c^2$ donde $a$ es el lado mayor, es decir, la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto), mientras que $b,c$ son los dos lados menores, es decir, los catetos (los lados que conforman el ángulo recto). Como ya hemos comentado, si un triángulo cumple la identidad pitagórica, es un triángulo rectángulo.
Desigualdad pitagórica
Esto es una expansión del contrarrecíproco: si no se cumple la identidad pitagórica, el triángulo no es rectángulo. En particular en un triángulo acutángulo, el cuadrado de cualquier lado es menor que la suma de los cuadrados de los dos lados restantes , es decir, $a^2 < b^2 + c^2$ . Para triángulos obtusángulos la desigualdad tiene el mismo signo para los lados opuestos a los ángulos agudos, mientras que se invierte para el lado opuesto al ángulo obtuso, es decir, $a^2 > b^2 + c^2$ .
Teorema del coseno
Convierte la desigualdad anterior en una igualdad introduciendo un término extra que corrige el exceso o falta en función del ángulo: $a^2 = b^2+c^2-2bc \cos(\alpha)$ .
Teorema de Pitágoras con figuras cualquieras
Los griegos antiguos no enunciaban el Teorema de Pitágoras en nuestros términos, sino que decían que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es la suma de las áreas de los cuadrados cuyos sendos lados son los catetos (algo que resucita Noah J. Wildberger en su trigonometría racional al introducir la cuadratura $Q$ ). Una generalización fácil es «el área de cualquier polígono regular cuyo lado es la hipotenusa es la suma de las áreas de los mismos polígonos cuyos sendos lados son los catetos.» . Sin embargo el propio Euclides en su VI Libro como la proposición VI aparece aún una generalización de esto: «el área de cualquier figura construida sobra la hipotenusa es la suma de las áreas de figuras similares construidas sobre los catetos.» BLOB
Teorema de Pappus para el área
Dado un triángulo cualquiera[no hace falta ni que sea rectángulo], si construimos dos paralelogramos sobre dos lados de sus lados, $b,c$ [que se intersecan en $A$ ], y prolongamos los lados de los nuevos paralelogramos paralelos a los lados $b,c$ hasta que se intersequen en un punto $A^\prime$ , y definimos los puntos $B+\vec{A^\prime A}$ y $C+\vec{A^\prime A}$ (que junto a los puntos $B,C$ conforman un nuevo paralelogramo) entonces la suma de las áreas de los dos paralelogramos originales es el área del nuevo paralelogramo, es decir, $A_b + A_c = A_a$ .
Teorema de De Gua
Dado un tetraedro con tres ángulos diédricos en un vértice (como en la esquina de un cubo) la suma de los cuadrados de las áreas de las caras que coindicen en dicho vértice es el cuadrado del área de la cara opuesta a dicho vértice, es decir ${A_0}^2 = {A_1}^2+{A_2}^2+{A_3}^2$ . Este resultado es a su vez un caso particular de un $n-$símplex donde en un vértice solo hay ángulos rectos y relaciona el cuadrado de su $k-$volumen con la suma de los cuadrados de los $k-$volúmenes de los que confluyen en el vértice.
Teorema de Pitágoras fuera de triángulos
Probablemente una de las cosas que más me sorprendían en trigonometría era que se definía en un contexto de triángulos rectángulos construidos sobre una circunferencia, pero rápidamente se salía de ese contexto. Algo similar ocurre con el Teorema de Pitágoras, que se puede llevar a contextos donde el triángulo rectángulo no está tan a la vista. Por ejemplo en un rectángulo el cuadrado de la diagonal es la suma de los cuadrados de la base y de la altura; en un rombo el cuadrado del lado es la suma de los cuadrados de la mitad de las diagonales; en un polígono regular el cuadrado del circunradio es la suma del cuadrado del apotema (inradio) y del cuadrado de la mitad del lado; en un ortoedro el cuadrado de la diagonal espacial es la suma de los cuadrados de las aristas...
Teorema de la bandera británica
Dado un rectángulo y un punto cualquiera (en su interior o no) la suma de los cuadrados de las distancias del punto a dos vértices opuestos es igual a la otra suma de los cuadrados de las distancias del punto a los otros dos vértices opuestos.
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
