El Delta de tu Epsilon: ( 227 ) Curiosidades del 2016 (el número).

Iniciamos otro nuevo año, y desde el Comité Editorial del blog queremos desearos un

¡¡¡ FELIZ AÑO NUEVO !!!

Por ello queremos dedicar esta primera entrada del año a comentar algunas curiosidades de un número que nos acompañará durante los próximos 366 días, el 2016.

En primer lugar, y como hemos mencionado antes, el año 2016 es un año bisiesto, y por ello constará de un día extra en Febrero. La razón por la que se añade este día adicional es para corregir el desfase que existe entre la duración del año trópico: 365 días 5 h 48 min 45,25s (365,242190402 días) y el año calendario de 365 días. Es por esto que cada “cuatro” años es necesario corregir el año calendario por una acumulación no contabilizada de aproximadamente 1/4 de día por año (que constituye ese día extra).

La regla (según el calendario gregoriano, que es el que utilizamos actualmente) para determinar si un año es bisiesto es la siguiente:

Un año es bisiesto si es divisible entre 4, a menos que sea divisible entre 100. Salvo que sea divisible entre 400, en cuyo caso también será bisiesto.

De esta manera, tenemos que un año gregoriano consta de 365 días + 1/4 - 1/100 + 1/400 = 365,2425 , que se aproxima mejor al año trópico o año solar.

El origen de la expresión “año bisiesto” deriva del latín. Los romanos solían llamar calendas o kalendas al primer día de cada mes, y contaban hacia atrás los días que hacían falta. Así, el 1 de marzo se llamaba “calendas de marzo” o kalendas martias; el 28 de febrero sería el día anterior a kalendas martias; y así sucesivamente, de modo que el 24 de febrero sería el 6º día antes de “calendas de marzo” o ante diem sextum kalendas martias. La reforma de Julio César al calendario romano añadió un día entre el 23 y el 24 de febrero, el ante diem sextum kalendas martias, que con el tiempo terminó llamándose Bi-sextum o bisiesto. Pese a que en la actualidad con el calendario gregoriano este día se añade tras el último día de febrero, se conserva el término bisiesto para designarlo.

Vamos a cambiar ahora a un enfoque numérico. Veamos algunas propiedades del 2016:

· Es un número par.

· Es un número compuesto, y sus 36 divisores son: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 32, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 96, 112, 126, 144, 168, 224, 252, 288, 336, 504, 672, 1008, 2016.

· Como la suma de sus divisores (a excepción del 2016) es 4536, que es mayor que el propio 2016, tenemos que es un número abundante. Además, si sumamos los 31 primeros divisores (hasta el 288), obtenemos 2016.

· En la web Number Gossip, además de las tres propiedades que acabamos de escribir, hemos visto que el 2016 es un número práctico. Un entero positivo n se dice que es práctico cuando todos los enteros positivos menores que él se pueden escribir como sumas de distintos divisores de n. En OEIS.org/A005153 podemos ver la lista de los primeros números prácticos.

· La representación en Binario de 2016 es 11111100000. Por lo tanto, como en esta representación hay un número par de 1’s, se tiene que 2016 es un número malvado. A partir de esta expresión, obtenemos que:

En Octal se representa por 3740.

· Es un número sordo. Los números sordos son aquellos naturales que no son potencia de ningún natural (del orden que sea).

· Si invertimos las cifras del 2016, el número resultante, el 6102, es coprimo con exactamente 2016 números menores que él.

· Podemos obtener el número 2016 a partir de algunas combinaciones aritméticas curiosas:

Como la suma de siete cubos consecutivos:
O como combinación (sumas y restas) de potencias cuartas decrecientes:
Como número satánico:
Utilizando todos los dígitos de forma creciente y decreciente:
Ahora utilizando sólo un dígito:
Y culminamos con la fórmula definitiva:

donde

También podemos encontrarlo a partir de factoriales:

Nota: El doble factorial, n!!, representa el producto de números de 1 a n que tienen la misma paridad que n. Por ejemplo:

Utilizando números combinatorios. Podemos interpretarlo como el número de maneras de poner dos piezas en un tablero de ajedrez:
Con las primeras cifras del número Pi:
O con las primeras cifras del número e:
Incluso con las primeras cifras del número áureo:
Dando la vuelta a sus factores:
Hablando de dar la vuelta, como suma capicúa de ceros y unos:

Está claro que hay infinidad de posibilidades y patrones a seguir para llegar a la mágica cifra de 2016.

En la web de El Ábaco de Madera nos proponen un juego que consiste en intentar formar los números naturales del 0 al 100 usando las cifras del año 2016.

· Un número poligonal es un número natural que puede recomponerse como un polígono regular. La fórmula para calcular el n-ésimo número poligonal de lado l es:

En nuestro caso, tenemos que el 2016 es un número triangular.

Ejemplos de números triangulares

Ocupa la posición 63 (podemos verlo en la web de OEIS.org/A000217) de números triangulares, por lo tanto satisface la fórmula anterior para l = 3 y n = 63.

Los números triangulares también se pueden expresar como

donde Tn es el n-ésimo número triangular.

Así, tenemos que 2016 es la suma de los 63 primeros números naturales.

Para el 2016, además, tenemos que es suma de dos números triangulares, el 741 y el 1275.

Una propiedad relevante de los números triangulares es que si sumas dos números triangulares consecutivos obtienes un cuadrado perfecto.

También sucede que el 2016 es un número hexagonal.

Ejemplos de números hexagonales

Ocupa la posición 32 en esta lista de números (se puede comprobar en la web OEIS.org/A000384) y verifica así la fórmula de números poligonales para l = 6 y n = 32.

Estos números también se expresan de forma reducida como

donde Hn es el n-ésimo número hexagonal.

Y por último, tenemos que el 2016 es un número 24-gonal, y ocupa la posición 14 en esta lista de la web OEIS.org/A051876.

· En la web de Cifras y Teclas vemos otra característica curiosa: 2016 es el área de un triángulo en el que las longitudes de los lados, el radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita son todos números naturales.

Los números que son área de un triángulo con estas características forman la secuencia A208984 de la OEIS. Aquí podemos comprobar que no es demasiado habitual este suceso, pues los números anterior y posterior que cumplen esta propiedad son el 1944 y el 2040 respectivamente.

· Se puede ver al 2016 como la constante mágica que tiene un cuadrado mágico 8x8 cuyas entradas son los primos consecutivos entre el 79 y el 439. Dicho cuadrado mágico es el siguiente:

Se puede comprobar que todas sus filas, sus columnas y sus diagonales suman 2016.

· En la web What's Special About This Number que muestra propiedades de algunos números naturales, y de la que hemos hablado en las entradas anteriores Por qué son interesantes los números y Curiosidades del 2015, encontramos que 2016 cumple que es un valor n tal que

contiene cada uno de los diez dígitos decimales. Comprobamos que

Hasta aquí todo el trabajo ha estado por nuestra parte y, por supuesto, no podía faltar algún "problemilla" que os haga pensar un poquito,

Buscamos 2016 como suma de cuatro cubos:

Determinar las posibles soluciones (enteras).

Y para terminar, y aunque ya estamos un poco pasados de fecha, os dejamos con un árbol navideño con un color... matemático, y os deseamos lo mejor para este 2016!