(383) Teorema de Poincaré-Perelman

Teorema de Poincaré-Perelman

Este artículo tratará sobre la antes llamada Conjetura de Poincaré, que tras ser demostrada por Grigori Perelman, pasó a llamarse Teorema de Poincaré-Perelman, que actualmente es el único Problema del Milenio resuelto, estos Problemas del Milenio son siete problemas matemáticos cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares cada uno (cabe mencionar que Perelman además de renunciar a este premio, también renunció a la Medalla Fields). En realidad, lo que Perelman ha demostrado no es la conjetura de Poincaré, sino un resultado más general del cual la conjetura es un caso particular: la conjetura de geometrización de Thurston. Dicho de otro modo, una vez demostrada la Conjetura de Geometrización de Thurston automáticamente habremos obtenido también la de Poincaré. La Conjetura de Geometrización fue propuesta en 1970 por el matemático William Paul Thurston ganador de una medalla Fields en 1982 por la impresionante envergadura matemática de sus trabajos sobre variedades de dimensión 2 y 3.

En realidad, la Conjetura de Thurston constituye un problema matemático mucho más ambicioso que el de Poincaré, ya que pretende alcanzar una descripción definitiva de cualquier superficie de dimensión 3 por medio de su descomposición en piezas de estructura geométrica más simple.

Primero haré dos breves referencias biográficas sobre Poincaré y Perelman.

Poincaré fue un matemático francés. Ingresó en el Polytechnique en 1873, continuó sus estudios en la Escuela de Minas bajo la tutela de C. Hermite, y se doctoró en matemáticas en 1879. Fue nombrado profesor de física matemática en La Sorbona (1881), puesto que mantuvo hasta su muerte. Antes de llegar a los treinta años desarrolló el concepto de funciones automórficas, que usó para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos.

Poincaré.

Grigori Perelman nació el 13 de junio de 1966 en Leningrado (actual San Petersburgo). Con catorce años ingresa en la Escuela 239 de Leningrado para jóvenes talentos. Un centro de élite como otros repartidos por la URSS, donde funcionaban numerosos círculos para niños: de matemáticas, de ajedrez, de deportes, de música...Perelman formó parte del equipo de la URSS en las Olimpiadas de Matemáticas obteniendo una medalla de oro. Estudió matemáticas en la Universidad de Leningrado, tras terminar sus estudios, ha realizado contribuciones históricas a la geometría riemanniana y a la topología geométrica, una de sus contribuciones más importantes fue la demostración de la conjetura que trataremos en este artículo.

La demostración puede verse en esta web.

Grigori Perelman.

El propio Poincaré intentó, sin éxito, resolver el caso n = 3. Ante la imposibilidad de llegar a una demostración rigurosa Poincaré planteó en 1904 la siguiente conjetura, que ha pasado a la historia como la Conjetura de Poincaré:

Toda 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S³

Si bien Poincaré solamente estudió el caso n = 3, los matemáticos posteriores consideraron la cuestión para cualquier n ≥ 3. En realidad, para n > 3 se sabe que el grupo fundamental no es suficiente para caracterizar las superficies compactas, y es necesario recurrir al concepto más general de variedades homotópicamente equivalentes. De esta manera, para n > 3 la Conjetura se enuncia del siguiente modo:

Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sⁿ

Para entender este enunciado, introduciré conceptos básicos de topología:

Variedad: es una generalización de curva y superficie a espacios de mayor dimensión. Una curva en el plano ² (recta, parábola…) es una 1-variedad, una superficie en ³ (esfera, cilindro…) es una 2-variedad, y así sucesivamente. Por tanto, una 3-variedad es un objeto matemático de ⁴ (sí, un espacio de 4 dimensiones).

Nota: en todos los casos se toman los bordes de la figura. Por ejemplo, cuando hablemos de la esfera estaremos considerando la superficie exterior, es decir, la parte interior no cuenta. No es una esfera maciza, es simplemente la parte externa.

Compacto: un recubrimiento abierto de un subconjunto A ⊆ X de un espacio topológico, es una familia de conjuntos abiertos {O_i}_i ∈ I de X, tales que su unión "cubre" a A:

Para todo recubrimiento C de un conjunto A, un sobrecubrimiento D es una subfamilia de C, D ⊆ C que sigue siendo un recubrimiento de A es decir, una subcolección de conjuntos de C que cubre a A.

Un espacio topológico X se dice compacto si, dado un recubrimiento abierto de X, existe un sobrecubrimiento finito del mismo.

Simplemente conexo: un espacio topológico X es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicación continua  que sea un lazo, es decir, que verifique  para algún punto p∈X  es contractíble de forma continua a dicho punto mediante una homotopía  tal que  y .
Nota: una homotopía en topología, concretamente en topología algebraica, son dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro y se dice que estas son homotópicas.

Fig.0.

Los dos caminos en negrita que se muestran arriba son homotópicos en relación a sus extremos. Las líneas finas marcan isocontornos de una posible homotopía.

Nos podemos quedar con que esto significa que la variedad en cuestión no tiene agujeros. Un ejemplo para entender mejor esto: la 2-variedad S² (la esfera tal y como todos la conocemos) es simplemente conexa, pero la 2-variedad T (toro) no lo es, ya que tiene un agujero en medio (Fig.1).

Fig.1.Toro.

Homeomorfo: significa que se pueda plantear un homeomorfismo (aplicación continua y biyectiva cuya inversa es continua) entre ellos. Básicamente se dice que dos n-variedades son homeomorfas si son topológicamente iguales, es decir, si al estudiar ciertas propiedades en cada una de ellas resultan coincidir. Geométricamente podríamos decir que deformando una sin romperla podemos llegar a la otra. Por ejemplo, una circunferencia y una elipse (1-variedades) son homeomorfas, ya que puedo deformar cada una de ellas (sin romperlas) y transformarlas en la otra (Fig.2).

Fig.2. 

Ahora veamos una explicación geométrica. Lo explicaremos con 2-variedades, es decir, figuras en 3 dimensiones.

Simplemente conexo: supongamos una esfera, que es una 2-variedad (Fig.3).

Fig.3.Esfera.

Cogemos una cuerda, rodeamos la esfera con ella (por ejemplo, por el ecuador de la misma, aunque podría ser por cualquier otro sitio) y le hacemos un nudo corredizo. Este nudo se irá haciendo más pequeño hasta acabar siendo un punto Fig.4. Y esto pasa con cualquier curva cerrada situada en cualquier parte de la esfera.

Fig.4.

Supongamos que situamos la cuerda rodeando el toro en perpendicular a la figura. Si tiráramos de ella no pasaría lo mismo que en el caso anterior, seguiría siendo de la misma forma y del mismo tamaño, y lo mismo ocurriría si moviéramos la cuerda alrededor del toro.

Si rodeamos el toro en paralelo a la figura y tiramos de la cuerda sí conseguiremos deformarla, pero debido al agujero que el toro tiene en medio no podremos conseguir que la cuerda llegue a ser un punto, como en el caso anterior. Cuando llegáramos al borde interno no podríamos seguir. De esta forma podemos ver que efectivamente el toro es una 2-variedad que no es simplemente conexa.
En Fig.5 se visualizan las distintas formas de anudar explicadas anteriormente.

Fig.5.

Para n = 2 lo expuesto anteriormente nos dice que las 2-variedades esfera y toro no son homeomorfas. Es decir, que de las propiedades topológicas de una de ellas no podemos sacar información de las propiedades topológicas de la otra, debemos estudiar cada 2-variedad por separado.

Sin embargo, si tomamos un elipsoide:

Fig.6.Elipsoide.

Podemos ver que el experimento de la cuerda nos da los mismos resultados que los obtenidos con la esfera. Al ser también el elipsoide una 2-variedad compacta tenemos, por el teorema de Poincaré que la esfera S² y el elipsoide son homeomorfos. Esto también se puede ver intuitivamente en este caso, ya que por ejemplo podemos deformar el elipsoide (sin romperlo) y convertirlo en una esfera.

Finalmente, este teorema es importante debido a que decir que dos variedades son homeomorfas quiere decir que, son topológicamente iguales. El teorema nos permite que, comprobando que una 3-variedad es compacta y simplemente conexa sabremos muchísimas más cosas de ella, ya que las propiedades topológicas de S³ son conocidas, y al ser homeomorfas la otra 3-variedad hereda todas ellas.

Y aquí acaba el artículo que espero que le haya resultado satisfactorio.

Artículo escrito por Carlos Saravia.

(373) Ilustración del principio de dualidad

Dualidad

La geometría ha cautivado la mente humana desde que se tiene registro del pensamiento, y probablemente desde que ha habido pensamiento. La belleza de las formas geométricas y su omnipresencia en la naturaleza, como subterfugios de orden en un mundo de caos (dejando a parte procesos caóticos como el clima) ha sido objeto de culto y estudio por todas las culturas. Tras el paso de los milenios, el hombre ha encontrado (o inventado, o querido ver dónde no había nada... pero no deseamos entrar en esa discusión) objetos geométricos curiosísimos, siendo buen ejemplo de esto la botella de Klein o la trompeta de Gabriel. Sin embargo, no se necesitan tales abstracciones para sorprender a quien esté leyendo esto, basta con que tome papel, lápiz (y goma de borrar) y siga las siguientes indicaciones:

Dibujemos dos puntos, llamémoslos A y B. Esos dos puntos determinan una única recta c.

 

De acuerdo, aun no es muy sorprendente, o al menos se ha visto las veces suficientes como para que deje de sorprender, pero sigamos dibujando e ignoremos la referencia  a Hume que suscita lo anterior. Consideramos ahora las rectas a y b, estas rectas intersecan en un único punto C (suponemos que no hay rectas paralelas, volveremos sobre esto más adelante).

¿Aun no se ha sorprendido? Bueno, ante lector tan impertérrito habrá que sacar la artillería. Vamos con la configuración de Pappus de Alejandría,  matemático griego que vivió entre los siglos III y IV.

Consideramos dos rectas, pongamos que l y r, que intersecan en un punto O. Ahora tomamos los puntos, A, B, y C en r y A’, B’ y C’ en l. Trazamos las rectas que pasan por A y B’ y por B y A’; sea C1 su intersección. Hacemos lo mismo con las recta que pasa por A y C’, y con la que pasa por C y A’; sea C2 su intersección. Por último consideramos la recta que pasa por B y C’ y la que pasa por B’ y por C; sea C3 su intersección. Pues bien, el teorema de Pappus asegura que C1, C2 y C3 están alineados siguiendo una recta a la que llamaremos s. Nuevamente, estamos suponiendo que siempre hay intersección entre rectas.

 Hemos coloreado dos rectas para que se vea mejor, pero el lector puede seguir con su lápiz y su fiel goma de borrar. El uso de regla, aunque sensato, priva a nuestros dibujos del romanticismo que otorga el no saber si va a salir bien o no, por lo que no lo recomendamos.

Vamos con el último resultado antes de explicar qué estamos haciendo. Se recomienda usar regla, a pesar de la falta de romanticismo, la cual puede compensarse usando colorines para no perderse. Consideramos los puntos L y R. Sean a, b y c tres rectas que pasan por L y sean a’, b’ y c’ otras tres rectas que pasan por R. Sea c1 la recta que pasa por la intersección de a y b’ y por la intersección de b y a’. Sea c2 la recta que pasa por la intersección de a y c’ y por la intersección de c y a'. Por último, sea c3 la recta que pasa por la intersección de b y c’ y por la intersección de c y b’. Pues bien, estas tres rectas intersecan en un punto al que llamaremos S.

Pido ahora al lector que revise los enunciados 1 y 2, y asimismo los enunciados 3 y 4. Efectivamente, puede apreciarse una relación entre cada pareja. Hemos intercambiado puntos por rectas, uniones por intersecciones y los sentidos en las relaciones de contenecia. Al resultante de este intercambio se le llama “enunciado dual” y resulta ser cierto si y sólo si lo es el primero. No entraremos aquí en la demostración de que esto sea cierto, pero un lector curioso no debería tener problemas para encontrarla, por lo común de esta.

Por supuesto, en todos los enunciados hemos supuesto que dos rectas cualesquiera se cortan, esto es, que no hay paralelismo. La explicación de esto está en que la dualidad se enuncia en espacios proyectivos (para su definición véanse entradas anteriores), en los cuales dos rectas siempre se cortan.

Si alguien se ha quedado con ganas de más y quiere seguir dibujando enunciados y sus duales, el teorema de Desargues también admite una representación geométrica muy vistosa, y también está definido sobre el espacio proyectivo.

Diego Munuera Merayo.

(367) Las matemáticas de San Bourbaki 2017

Las matemáticas de San Bourbaki 2017

Recomiendo al lector que antes de comenzar a leer este artículo, si no conoce la tradición de San Bourbaki llevada a cabo por los matemáticos de la Universidad de Valladolid, visite este artículo de nuestro blog:

http://deltadetuepsilon.blogspot.com.es/2013/11/23-nicolas-bourbaki.html

Pues bien, una vez conocida la tradición, pasemos a hablar de las matemáticas contenidas en el logotipo de San Bourbaki 2017, he aquí el logo:

Estas hacen referencia a una acertada frase del Dr. Felipe Cano Torres, nacido en Valladolid, catedrático de matemática pura (geometría y topología) en la facultad de ciencias de la UVa . Esta frase dice que un buen matemático es aquel que tiene las 3 potencias del alma (concepto de San Agustín); siendo estas inteligencia, voluntad y memoria.

Primero, antes de hablar sobre el plano de Fano se define a la geometría proyectiva como la rama de la geometría que estudia los objetos lineales (puntos, líneas, planos, hiperplanos, etcétera) y cómo se intersecan. Estos objetos son estudiados en espacios que tiene más puntos que los espacios usuales y se denominan espacios proyectivos.

Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entre puntos y rectas:

(i) Dos puntos determinan una única recta.
(ii) En cada recta hay al menos tres puntos.
(iii) Hay tres puntos no alineados.

(iv) Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto.

Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se señalan ciertos subconjuntos como las rectas y se define la relación de incidencia punto pertenece a recta, entonces tenemos un plano proyectivo.

Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntos finitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométrica más inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos. La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por Von Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores. Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952).

Gino Fano (1871-1952).

Es claro que, si un plano proyectivo finito está definido sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Se demuestra entonces que, si el cuerpo tiene p elementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p² puntos, y el mismo número 1+p+p² de rectas. De este modo, el plano proyectivo finito más pequeño está definido sobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7 puntos y 7 rectas (la circunferencia también es una de las rectas proyectivas). Este plano de siete puntos se representa mediante la configuración siguiente, que muestra las incidencias de puntos y rectas. Esta configuración se denomina plano de Fano, pues fue Gino Fano en 1892 quien primero consideró esta configuración y otras análogas en dimensión superior.

Plano de Fano.

Para terminar el artículo podemos observar en la parte inferior el nombre de Lord Vandermonde sustituyendo este a Lord Voldemort.

Alexandre-Théophile Vandermonde fué un matemático y violinista francés que trabajó con Bézout y Lavoisier, en la actualidad su nombre va principalmente asociado a la teoría de los determinantes en matemáticas, siendo una matriz de Vandermonde, en álgebra lineal, una matriz que presenta una progresión geométrica en cada fila. Los índices de la matriz de tamaño n×n están descritos por para todos los índices i y j variando de 1 a n

lo cual se puede describir explícitamente de la forma siguiente:

Pudiendo calcular el determinante de esta con la fórmula:

Y hasta aquí ha llegado el artículo que espero que haya sido del agrado del lector y ya solo me queda decir: ole, ole, San Bourbaki, ole, ole, nuestro santo.

Artículo escrito por Carlos Saravia.