(563) - Antilogaritmos, cologaritmos, ⁊ más...

En el día de hoy traemos una entrada un poco corta, algo ya mencionado en el artículo de la trigonometría olvidada. ¿Qué son los antilogaritmos, y cologaritmos?

Básicamente son dos funciones auxiliares para el cálculo de logaritmos definidas a partir de composición de funciones elementales con funciones estrictamente logarítmicas.

El antilogaritmo (antilogarithm) es una función cuya composición con la función logaritmo da la función original, es decir, es la función inversa al logaritmo: la exponencial.

Comparación antilogaritmo - logaritmo

El cologaritmo (cologarithm) es una función cuya suma con la función logaritmo da la función idénticamente nula, es decir, es menos la función logaritmo. 

Comparación cologaritmo - logaritmo

¿Se podrían definir anticologaritmo y coantilogartimo?

El anticologaritmo (anticologarithm) fuera la función inversa del opuesto del logaritmo, es decir, la exponencial con exponente cambiado de signo.

El coantilogartimo  (coantilogarithm) fuera el opuesto de la función inversa al logaritmo, es decir, menos la función exponencial.

Comparación coantilogaritmo - anticologaritmo

   Tabla de simetrías

	Logb	CoLogb	AntiLogb	CoAntiLogb	AntiCoLogb
Logb	(sí misma)	y = 0	y = +x
CoLogb	y = 0	(sí misma)		y = -x	y = +x
AntiLogb	y = +x		(sí misma)	y = 0	x = 0
CoAntiLogb		y = -x	y = 0	(sí misma)	y = -1/b x
AntiCoLogb		y = +x	x = 0	y = -1/b x	(sí misma)

Esta es una perla olvidada de las matemáticas dejada de lado  ya que ahora ya no es necesario recurrir a tablas para saber cuáles son los valores de logaritmos, y como las funciones verseno, vercoseno, coverseno, covercoseno, exsecante, y excosecante, ya nadie se acuerda de ellas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(557) - Diferintegral. Derivada fractal. (Epílogo)

En el día de hoy traemos una entrada que en un principio no estaba planificada: hemos hecho dos (sobre la derivada y la integral) para poder entender mejor la última (sobre la diferintegral y la derivada fraccionaria), pero investigando sobre el cálculo fraccional, descubrimos el cálculo fractal.

Debemos a Newton y Leibniz la invención del cálculo clásico a finales del siglo XVII y principios del XVIII. Sin embargo no ha sido hasta finales del siglo XIX cuando el cálculo no-newtoniano empezó a coger impulso (en especial el cálculo fraccionario),  y en particular hemos tenido que esperar hasta la década de 1970 para el cálculo fractal.

En el cálculo newtoniano los cocientes de incrementos siempre eran con un número entero de puntos, es decir, se comparaba un incremento entero de la función con otro incremento entero de la variable.

El cálculo fraccionario expandió esta idea a números racionales en un principio, y luego, aplicando el mismo método, a números irracionales y complejos-no-reales.

El cálculo fractal se propuso: ¿es necesario que los incrementos de la función sean del mismo orden que los de la variable?

¿Qué significa esto para las funciones más simples?

Ya habíamos visto que la derivada clásica de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] eran a su vez polinomios de menor grado, sinusoides con desfase perpendicular, o exponenciales respectivamente.

A su vez habíamos visto que la derivada fraccional de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] eran a su vez radicaciones, sinusoides con desfase oblicuo, o exponenciales respectivamente

Sin embargo, para el cálculo fractal la derivada fractal de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] son el producto de una radicación por un polinomio [clásico] de menor grado, un polinomio trigonométrico del mismo grado pero con desfase, o exponenciales respectivamente.

A diferencia del cálculo fraccionario, el cálculo fractal mantiene la regla de la cadena de una forma muy directa, que relaciona la derivada fractal con la derivada clásica.

Aunque todo esto pueda parecer muy bonito en papel, pero sin ninguna aplicación real, el cálculo fractal es muy importante en ciertas ramas como en mecánica de fluidos donde acuíferos, medios porosos, o turbulencias presentan las propiedades fractales, que no siguen necesariamente una geometría euclídea.

El cálculo fractal es el que se tiene que usar en geometría no-euclídea, y sus aplicaciones, como el estudio del espacio-tiempo, donde las nociones tan simples como la velocidad tienen que ser redefinidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(547) - Diferintegral. Media derivada. (3/3)

En las últimas entradas no he usado una terminología muy estricta: ya hemos visto qué es una derivada, y qué es una integral (en ambos casos a grandes rasgos). Derivadas e integrales son dos operadores inversos entre sí. Ahora bien, se define operador diferintegral como la combinación del operador diferencial e integral.

El operador diferintegral es un operador lineal, es decir, la diferintegral de la suma de unos escalares por sendas funciones es la suma de los escalares por sendas diferintegrales aplicadas a dichas funciones.

Se puede definir un endomorfismo entre el conjunto de funciones diferintegrales.

Ahora vamos a responder a la pregunta que nos incumbe. Todo estudiante de matemáticas sabrá lo fácil de encontrar la fórmula recursiva tras n derivadas para polinomios, y para seno, coseno, y exponencial de funciones afines. Dicha fórmula se puede generalizar para un n no natural, y luego para un n no entero. Entonces, ¿qué significa la n-ésima diferintegral para un n no entero?

Considerémoslo para n = ½ , la media derivada.

La ½-ésima-derivada no es la mitad de la derivada, sino una nueva función asociada a la función original cuya ½-ésima-derivada es la I-derivada. Aplicar el operador +½-ésima-diferintegral dos veces consecutivas da como resultado la I-derivada.

Si la I-derivada indicaba la monotonía, y la II-derivada, la curvatura. ¿Qué información proporciona la α-ésima derivada? Esa es una pregunta que no consigo resolver, pero sí que he averiguado lo siguiente:

Si la +α-ésima diferintegral da una determinada cualidad o propiedad (del tipo monotonía o curvatura por ejemplo) respecto a la función original, la función original dice también dicha propiedad respecto a la (0–α)-ésima diferintegral, la +I-diferintegral dice también dicha propiedad respecto a la (1–α)-ésima diferintegral, …

¿Para qué son útiles las ½-ésima-derivadas, o las ½-ésima-integrales? Por ejemplo, deducir el tiempo que tarda un objeto en la braquistócrona (el problema de la tautócrona), se reduce a resolver una ½-ésima-integral, tras haber calculado antes una ½-ésima-derivada.

Nótese que no solo se puede definir la ½-ésima-derivada, sino para cualquier número racional, real, y complejo incluso. Por ejemplo, se puede hallar la π-ésima-derivada de x^π, que da π!= Γ(π+1). Aun si se toma í:= √–1 , se puede hasta definir el operador í-diferintegral tal que tras aplicarlo  –í veces da la integral de la función original.

p-ésima derivada de 1/2 x^2 con 0<p<2 .

Esta entrega ha sido bastante dura de leer, y de comprender, y recomiendo al lector haberse leído las dos anteriores para intentar apreciar la belleza, y rareza, de una de las cosas más comunes en matemáticas, pero que pasan muy desapercibidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.