El Delta de tu Epsilon: (1093)

jueves, 28 de noviembre de 2024

(1093) - Tau manifesto

Toda persona que supere en cultura a un niño de 12 años sabe que existe una constante llamada $\pi$ relacionada con los círculos, pero menos gente ha oido hablar de su hermano mayor, más caristmático, e inteligente, tau ($\tau$).

Tau es la gran olvidada en las fórmulas matemáticas, ya que Euler popularizó a $\pi$ como constante del círculo (aunque ya se hubiera propuesto antes por William Jones y William Oughtred, wiki), al hacer esto nos perdimos por siempre una posibilidad muy didáctica que sufrieron y sufrirán todos los que aprendan por primera vez trigonometría.

Expongo aquí varias razones por las que $\tau$ podría ser mejor opción como constante del círculo:

1. Radianes

Una vez te acostumbras a hacer malabares mentales para dividir $\pi$ en las fracciones que quieres y asocias 90º $\to$ $\frac{\pi}{2}$, 30º $\to$ $\frac{\pi}{6}$... no tienes problema en visualizar angulos, pero imagina por un segundo que la primera vez que te introdujeron los angulos medidos en radianes, en vez de ver esta sopa de fracciones y denominadores distuntos:

te hubieran enseñado este dibujo:

Como $\tau = 2\pi$ si queremos expresar una fracción del ángulo completo, por ejemplo $\frac{2}{5}$ de la vuelta completa, resulta que ese ángulo es directamente $\frac{2}{5}\pi$.

Usando tau los ángulos más extraños también quedan mejor, ya que, por ejemplo, si quiro pasar 133º a raidanes bastaría con dividir $\frac{133}{360}$ y multipliacarlo por $\tau$, dejando la fracción indicada tal cual,$\frac{133}{360}\tau$ radianes, sin necesidad de añadir un 2 para compensar el uso de $\pi$.

2. Estética

Como vereis a continuación, este apartado es puramente objetivo, porque hay fórmulas que quedan más bonitas cuando usamos $\tau$ antes que $\pi$.

•Identidad de Euler

$e^{i\tau} = 1$ frente a $e^{i\pi} + 1 = 0$

•Distribución de Gauss

$\frac{1}{\sqrt{\tau\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ frente a $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

•Resolver funciones trigonométricas inversas:

$sen(x) = \frac{1}{2}$ $x = arcsen(\frac{1}{2}) = ...$

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k , k \in Z $ frente a $x = \frac{\tau}{8} + \tau k, k \in Z $

•Circunferencia del círculo

$C = 2\pi r$ frente a $C = \tau r$

3. Trigonometría

Otra de las muchas razones para usar Tau es la facilidad a la hora de dibujar gráficas con senos, cosenos... imagina no tener que hacer memoria para escribir cuales son las lineas de puntitos en estos dibujos:

Es digno de póster, divides $\tau$ en cuartos y duermes con la tranquilidad de que expresar ángulos no va a ser la causa de tu 3º matrícula de Análisis.

4. Area ?

Quizás en el punto 2 cuando he puesto convenientemente la fórmula de la circunferencia hayas pensado "si bueno, pero la del círculo queda con fracciones y la de pi no", en ese caso te dejo para comparar otras fórmulas que, por la misma razón, serían formulas menos elegantes:

$A =\frac{1}{2}\tau r^2$

•Energía cinética

$E = \frac{1}{2}mv^2$

•Energía del muelle

$E = \frac{1}{2}kx^2$

•Energía del oscilador armónico

$E = \frac{1}{2}kA^2$

•Altura máxima del lanzamiento de un proyectil

$h = \frac{1}{2}\frac{v_0^2\sin^2\theta}{g}$

Así que el area no está tan mal con $\tau$

Hay casos en los que $\pi$ es muy cómodo también, y desde luego tiene su lugar en todo tipo de fórnulas, pero seguramente las matemáticas serían más pedagógicas e intuituvas si a veces en vez de pensar en tau como el doble de pi, pensáramos en pi como la mitad de tau.