(1097) - Resolver ecuaciones cuadráticas desde otro punto de vista

Este artículo simplemente es para introducir la metodología que se usará para hallar las raíces de un polinomio de grado 3.

Considérese el siguiente polinomio cuadrático: $$ P(x) = ax^2 + bx + c $$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cuadrática. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$ P(t+\alpha) = a(t+\alpha)^2 + b(t+\alpha) + c = at^2 + (2a\alpha+b)t + (a\alpha^2+b\alpha+c) = \frac{1}{2}P^{(2)}\!(\alpha)\,t^2 + P^{(1)}\!(\alpha)\,t + P(\alpha) $$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cuadrática sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por $at + (2a\alpha +b)$. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación bilineal. Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{b}{2a}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$ at^2 + \left(-\frac{b^2}{4a}+c\right)=0 \implies at^2 = \frac{b^2}{4a}-c \implies t^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \implies t = \pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\;} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a} $$ Ahora como tenemos la solución en la variable $t$, podemos deshacer el cambio de variable para obtenerlo en la variable $\displaystyle x=t-\frac{b}{2a}$, por lo que: $$ t = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a} \iff x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a}$$ Para hallar esta solución uno normalmente hace manipulaciones algebraicas ya sabiendo la solución de antemano y viendo qué manipulaciones tiene que hacer para llegar a ella, o bien completar el cuadrado. Sin embargo, sobre todo la última opción, es muy difícil de hacer para grados superiores.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.