(1103) - Resolver ecuaciones cúbicas

Considérese el siguiente polinomio cúbico (donde se toma como mónico para simplificar la notación y ya que solo nos importan las raíces, es irrelevante multiplicar todo el polinomio por una constante): $$ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cúbica. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$ P(t+\alpha) = (t+\alpha)^3 + a(t+\alpha)^2 + b(t+\alpha) + c \\ = t^3 + (3\alpha + a)t^2 + (3\alpha^2+2a\alpha+b)t + (\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c) \\ = \frac{1}{6}P^{(3)}\!(\alpha)\,t^3 + \frac{1}{2}P^{(2)}\!(\alpha)\,t^2 + P^{(1)}\!(\alpha)\,t + P(\alpha) $$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cúnica sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por una cuadrática. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $3\alpha^2+2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación cúbica sin término lineal. Sin embargo, los nuevos coeficientes estarían escritos en función de raíces, lo que dificultaría la resolución y simplificación.
• Si consiguiéramos que $3\alpha+a=0$ tendríamos una ecuación cúbica sin término cuadrático (cúbica deprimida). Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{a}{3}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$ t^3 + \left(-\frac{a^2}{3}+b\right)\,t+\left(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c\right)=0 \implies t^3+p\,t+q=0 $$ Supongamos el Ansatz que la raíz se puede escribir como la suma de dos términos: $t=u+v$, por lo que: $$ t^3 = (u+v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 = 3uv(u+v) + (u^3+v^3) $$ Por lo que $p=-3uv$ y $q=-(u^3+v^3)$ donde $u,v$ son incógnitas, pero $p,q$ son parámetros conocidos. Despejemos, por ejemplo $\displaystyle u=-\frac{p}{3v}$, y sustituyámoslo en la segunda ecuación: $$ q=-\left(\left(-\frac{p}{3v}\right)^3+v^3\right) \implies q=\frac{p^3}{27v^3}-v^3 \implies (v^3)^2 + q v^3 -\frac{p^3}{27} = 0 $$ Esta es una ecuación tricuadrática, es decir, es una ecuación cuadrática en la variable $z=v^3$, cuyas soluciones vienen dadas por: $$ v = \sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}\;}}{2}\;} = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;} $$ Ahora, ¿qué tomamos el signo?, ¿el más o el menos? Realmente da igual: si uno representa a $v$ el otro a $u$, por lo que: $$ t^3+pt+q=0 \implies t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;}$$ Nótese que la raíz cúbica se refiere a cualquiera de las tres soluciones complejas correspondientes. Así pues hemos obtenido la solución general de un polinomio cúbico.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.