(467) - QED , QEF , QEI ⁊ QEA ¿Qué significan?

En el día de hoy traemos una entrega más técnica: qué significan las diferentes abreviaturas más comunes en matemáticas, en especial, aquellas usadas al final de las demostraciones.

QED – son las siglas en latín para «quod erat dēmōnstrandum», que significan literalmente “aquello que se iba a probar”. Realmente es un calco del griego antiguo ὍἜΔ «ὅπερ ἔδει δεῖξαι» (hóper édei deîxai) “precisamente lo que se requería demostrar”. Estas siglas son sin duda las más utilizadas al acabar cualquier demostración, aunque a veces se sustituye por un cuadrado [o bien sin colorear o negro]. En español se puede ver cómo se traduce QED por «queda entonces/estrictamente demostrado», y puede llegar a aparecer CQD (como queríamos/se quería demostrar).

QEF – son las siglas en latín para «quod erat faciendum», que significan literalmente “aquello que se iba a hacer”. Realmente es un calco del griego antiguo ὍἜΠ «ὅπερ ἔδει ποιῆσαι » (hóper édei poiē̂sai) “precisamente lo que se requería fabricar”. Estas siglas se utilizan cuando ya se haya creado algún elemento que se requería, o sobre cómo construir algo (por ejemplo en Los Elementos de Euclides en la I Proposición sobre cómo construir un triángulo equilátero, o en el Th. Extracción de base sobre cómo hallar alguna base).

QEI – son las siglas en latín para «quod erat inveniendum», que significan literalmente “aquello que se iba a encontrar”.

Estas siglas se utilizan cuando el trabajo necesite encontrar unos elementos que satisfagan ciertas condiciones, más que probar algo como tal. Por ejemplo, para demostrar que una función no es continua bastaría con hallar algún punto donde la función no es continua.

QEA – son las siglas en latín para «quod est absurdum», que significan literalmente “aquello que es absurdo”.

Estas siglas se utilizan en reducciones al absurdo, justo cuando se llegue a la contradicción con la que se demuestra la proposición. Estas siglas las usó Barrow, el mentor de Newton.

A decir verdad casi todas ellas han caído en el olvido, excepto quizá las dos primeras, pero aun así han perdido importancia. No por ello no hay que dejar de usarlas, o no saber qué son.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(463) - Teorema de Morley para las trisectrices. Centros de Morley

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que involucra la trisección de ángulos, algo perseguido por los griegos mediante regla y compás, que siglos después se comprobó que era imposible.

Frank Morley, un matemático estadounidense de finales del siglo XIX, y principios del XX, descubrió este teorema en 1899. Según él mismo, los antiguos griegos ya tenían conocimiento, o al menos sospechaban, este resultado, pero no consta en ningún texto, ni la proposición en sí, ni la demostración.

Seguramente no se llegó a plantear el problema anterior hasta que no se entendió cómo trisecar un ángulo, en especial con regla y compás. Nótese que el problema general de la trisección de un ángulo no se resolvió hasta 1837 por Pierre Wantzel, y unos años después, 1846 por Évariste Galois.

 

El triángulo original en anaranjado, y el triángulo de Morley en rojo.

El Teorema establece que: “Las intersecciones de las trisecciones de un triángulo son los vértices de un triángulo equilátero”.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Morley.

Nótese que las trisectrices son las cevianas que dividen en tres partes iguales un ángulo.

Veamos ahora dos Centros de Kimberling asociados a este teorema.

El centro del triángulo de Morley, se llama I Centro de Morley y se le conoce como X(356) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de Morley (circunferencia de Morley). Curiosamente ningún centro de Kimberling está en esta circunferencia.

I Centro de Morley - X(356)
[Nótese la circunferencia de Morley en azul]

La intersección de las cevianas que unen los vértices con sendos vértices opuestos del triángulo de Morley (pasando entre medias de las trisectrices) se llama II Centro de Morley, o a veces como I Centro e Morley-Taylor-Marr, y se le conoce como X(357) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

El II Centro de Morley es el centro de perspectiva respeto al triángulo original del I Centro de Morley.

 

II Centro de Morley / I Centro de Morley-Taylor-Marr - X(357)

Este teorema es una joya casi perdida y olvidada y que demuestra que a veces resultados increíblemente bellos parten de premisas simplonas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(461) - Teorema de Napoleón. Centros de Napoleón

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que se le atribuye Napoleón Bonaparte, ni más ni menos.

Realmente no se sabe si de verdad fue Napoleón en persona quien lo descubrió. Se sabía que tenía buenos conocimientos de la geometría para la época, pero se duda si los suficientes para haberlo descubierto. Tampoco sería el primer francés que paga a un matemático para presentar los trabajos de aquel como propio [L’Hôpital].

La primera vez que se tiene mención a este teorema fue en una recopilación de exámenes de Dublín, de fl.1824, que apareció en el examen de geometría para obtener la “medalla de oro” en el examen general de la Universidad de Dublín en octubre de 1820. Volvió a aparecer en 1825 en el “Ladies' Diary” obteniendo una mayor difusión.

Sin embargo, es altamente improbable que Napoleón dedujera este teorema, en especial en estas fechas pues estaba recluido en la Isla de Santa Helena, en medio del Atlántico Sur hasta su muerte en mayo de 1821.

El triángulo original en rojo, los triángulos equiláteros trazados en verde, y el triángulo de Napoleón en azul.

El Teorema establece que: “Al trazar triángulos equiláteros sobre cada lado de  cualquier triángulo, sendos centros [de los nuevos triángulos] definen a su vez un nuevo triángulo equilátero”.

Es más, no importa si se trazan los [triángulos] equiláteros hacia “dentro” o hacia “fuera”, siempre que sea en el mismo sentido.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Napoleón

Además, como un corolario de la desigualdad de Weitzenböck, el área del triángulo original es menor o igual que el promedio de las áreas de los triángulos equiláteros [la igualdad se da si, y solo si, el triángulo original también es equilátero].

Si se define ceviana de Napoleón como cada segmento que une un vértice del triángulo original con el centro del triángulo equilátero opuesto, las tres cevianas de Napoleón intersecan en un centro asociado al triángulo original, conocido como punto de Napoleón.

Si los triángulos equiláteros se habían trazado externamente, dicho centro se llama I Punto de Napoleón, y se le conoce como X(17) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

I Punto de Napoleón - X(17)

Si los triángulos equiláteros se habían trazado internamente, dicho centro se llama II Punto de Napoleón, y se le conoce como X(18) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

II Punto de Napoleón - X(18)
[Nótese que se ha simplificado el número de elementos con respecto a la anterior figura para visualizarlo mejor]

Este teorema es un caso particular del teorema de Petr-Douglas-Neumann y del teorema de Napoleón-Barlotti. Probablemente este teorema no tenga tantas aplicaciones como otros en geometría, ni sea tan amplio como sus generalizaciones, pero eso no le quita de ser un resultado verdaderamente sorprendente. 

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(457) - La trigonometría olvidada

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: la trigonometría que se usó hasta casi el siglo XX, pero ha caído en desuso.

Antes de empezar, hay una pregunta que hay que resolver: ¿qué significa [etimológicamente] la función seno?Seno proviene del latín sinus “pecho, bahía”, traducción del árabe جَيْب (jayb) “pecho”, que es a su vez una mala interpretación de جب (jb), (en árabe se omite la notación para vocales). La palabra que se quería traducir era realmente جِيبَ (jība) “seno”, del sánscrito ज्या (jyā) “seno, cuerda [geométrica], cuerda de arco” a través del término similar जीव (jīva) “seno, cuerda, vida, existencia”.

El término coseno significa “seno del [ángulo] complementario”. Tanta coincidencia no era casualidad. Nótese que, en grados:

• $$\sin(0^\circ) = \cos(90^\circ) = 0 \qquad 0^\circ + 90^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \qquad 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2\;}}{2} \qquad 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(60^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3\;}}{2} \qquad 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(90^\circ) = \cos(0^\circ) = 1 \qquad 90^\circ + 0^\circ = 90^\circ $$

Volviendo a lo que atañe, si uno toma un libro impreso cuando las calculadoras no eran tan asequibles o útiles, verá que al final, había tablas con números. Varias de ellas correspondían a los valores del seno y del coseno según diferentes ángulos. Sin embargo, no eran las únicas funciones trigonométricas (sin hablar de la tangente, secante, cosecante y cotangente). De hecho se podían hasta cuatro funciones trigonométricas íntimamente relacionadas con el seno y el coseno: verseno, coverseno, vercoseno y covercoseno. Verseno y coverseno Coverseno y covercoseno
Etimológicamente verseno significa “seno volteado”, y en la analogía de un arquero con su arma [la cuerda reposada del arco es $2\sin(\theta)$ , el radio es la mitad de la cuerda tensa, y el arco goniométrico es la madera del arco] el verseno es la flecha que se dispara. Por eso a veces se le llamaba sagitta “saeta, flecha” en latín. (La etimología del resto de razones trigonométricas se deduce arriba.) Con la aparición de calculadoras más fiables, y comunes, la necesidad de definir nuevas razones trigonométricas ha desaparecido llevándose consigo esta joya perdida de la trigonometría. ¿Quién se acuerda ya de las tablas de antilogaritmos?

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(449) - El postulado perdido de Euclides. El Axioma de Pasch.

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa, un postulado imprescindible que se le pasó al mismo Euclides. Como nota aclaratoria no se va a discutir sobre la importancia de los cinco postulados originales, ni de la trascendencia del V, sino de uno que estuvo "desaparecido" durante más de 22 siglos.

Los V postulados originales eran (puestos en terminología actual):

I)   Dos puntos cualesquiera definen una recta.

II)  Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

III) Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualesquiera.

IV) Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.

V) Si una línea recta corta a otras dos, tal que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que uno llano, las otras dos rectas se cortan, al prolongarse, por el lado donde están los ángulos menores que uno llano.

Este VI postulado lo descubrió Moritz Pasch (1843-1930), un matemático germanojudío que fue alumno del gran Weierstraß, el padre del análisis moderno. Pasch fue el primero en establecer una geometría axiomática. 

La diferencia entre axioma, y postulado es bastante sutil: Ambas son verdades que se consideran como absolutas, y a veces obvias, que se tienen que asumir como tales para seguir construyendo la materia en cuestión, por lo que no son demostrables. Los postulados se suelen diferenciar de los axiomas por ser relevantes a cierta materia, ciencia o contexto en particular, más que una verdad absoluta y general, que sería el axioma.

Por ello, el V Postulado de Euclides al ser solo válido para Geometría Euclídea, es un postulado, y no un axioma.

El axioma establece, de manera algo informal, que una línea que se interseca con un lado de un triángulo, y evita los tres vértices se interseca también con uno de las otros dos lados.

En rojo el triángulo original. En azul las prolongaciones de los segmentos del triángulo.
En negro las rectas que al cortar un lado sin pasar por el vértice, han de cortar otro.

David Hilbert utiliza el axioma de Pasch en su obra magna Fundamentos de Geometría (Grundlagen der Geometrie - 1903), que tiene una base axiomática de la geometría euclídea. Dependiendo de la edición aparece como 2.4, o como 2.5.

Este axioma se publicó en 1882, cuando Pasch no tenía ni 40 años. Pasch demostró que toda la geometría hasta entonces, tanto euclídea como no-euclídea, estaba, de algún modo, incompleta. La última vez que había ocurrido esto a niveles similares fuera cuando Newton corrigió a Aristóteles (finales del siglo XVII), y posteriormente, cuando Einstein corrigió a Newton (principios del siglo XX).

Dicho de otro modo, Pasch ha sido a Euclides, Gauß, Riemann, y Lobachevsky lo que Newton hubo sido a Aristóteles, y lo que Einstein fue a Newton.

Curiosamente el Teorema de Melenao se basa en el axioma de Pasch, y es bastante intuitivo. La falta de "intuición" matemática y rigorismo se ve en parte también en los Elementos de Euclides.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(443) - El puente de los burros. Teorema del triángulo Isósceles

En el día de hoy traemos una entrega algo más de primaria que de nivel universitario (personalmente creo que me lo enseñaron en 3º de primaria, 3º de EGB para los más despistados). Este teorema matemático se conoce a veces como «el puente de los burros» o  pōns asinōrum, en especial su demostración.

Estaría bien recordar algunos términos: un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales, el ápice es el vértice donde se intersecan los lados congruentes [de igual longitud], y opuesto al lado apical [lado desigual]. El ángulo desigual también se lo conoce como ángulo apical.

Triángulo isósceles donde los apicales (vértice apical, ángulo apical, y lado apical) están de color rojo oscuro.
Mientras tanto los respectivos elementos congruentes en magnitud tienen la misma decoración, y el mismo color (no misma tonalidad, que la comparten con la respectiva terna vértice-ángulo-lado).

Demostración de Euclides. 
Nota:B no se refiere al burro en sí, sino al vértice.

El sobrenombre que recibe de «el puente de los burros» es una traducción literal del latín  pōns asinōrum: pōns es el nominativo singular de pōns, pontis (III declinación) «puente» , y asinōrum es el genitivo plural de asinus, asinī (II declinación) «burro». Hay al menos dos teorías para la explicación de esta etimología: la primera propone que el diagrama de la demostración de Euclides se asemejaba a dos burros en dos extremos opuestos de un puente intentando atravesarlo. 
La otra opción establece que realmente recibe su nombre porque esta proposición es la primera en ser un poco más difícil que las anteriores, y criba a los burros del resto siendo un puente hacia proposiciones posteriores, y más difíciles.

Hoy en día en inglés pons asinorum se ha convertido en un latinajo que viene a significar un examen o prueba difícil al principio que es necesario aprobar o sobrepasar si se quiere seguir adelante.

El puente de los burros o el Teorema del triángulo isósceles sostiene que en un triángulo, dos lados tienen la misma longitud si y solo si sus respectivos ángulos opuestos tienen la misma amplitud.

Libro I-Proposición V,  ὍἜΔ.

Asimismo de este teorema salen dos corolarios muy importantes.

El primero si un triángulo es equilátero, también es equiángulo, y viceversa, por lo que es regular.

El postrimero si un triángulo es “escaleno de lados” [todos los lados de longitudes desiguales entre sí], también es “escaleno de ángulos” [todos los ángulos de amplitudes desiguales entre sí], y viceversa.

Del primer corolario se llega a la curiosidad de que, a diferencia de otros polígonos que pueden ser equiláteros no-regulares, y equiángulos no-regulares, este caso no se puede dar nunca en los triángulos.

Del postrimer corolario se llega a conclusión que para poder clasificar un triángulo según sus lados, y según sus lados no es necesario saber todos los lados, ni todos los ángulos, sino solo hace falta saber dos ángulos cualesquiera. Curiosamente, como veremos más adelante, no hace falta que los ángulos sean los dos internos.

Demostración de Proclo (412-485), con un triángulo en posición de Tales. 
En vida intentó demostrar, sin éxito, el V Postulado en función del resto.

El matemático griego Tales de Mileto fue quien descubrió este teorema, y lo demostró. O al menos fue la primera persona de quien se tiene constancia que lo hizo. Probablemente este teorema ha sido descubierto, y redescubierto muchas veces por muchas civilizaciones a lo largo de los milenios. Seguramente tanto los egipcios como los babilonios lo conocían, pero no queda constancia de ello.

Por mera curiosidad, otro sobrenombre por el que se le conoció al puente de los burros en la Edad Media fue elefuga, que según Rogelio Bacon elefuga, elefugę significaría «vuelo de la miseria, huida del lamento» del griego koinḗ ἐλεγεία-elegeía «miseria, lamento» y del latín clásico fuga, fugae «vuelo, huida». Escritores de literatura inglesa como Chaucer (autor de «The Cantebury Tales»), utilizaron varias metáforas y alusiones a elefuga.

Demostración del puente de los burros por congruencia y similitud de triángulos por la altura apical.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(439)Sólidos platónicos

Sólidos Platónicos.

Motivado por la ignorancia que abunda al respecto de estas nociones elementales de geometría (ignorancia en la que aventajo a muchos) y por las promesas de cierta señorita de leerme, he decidido elaborar este artículo sobre sólidos platónicos. El propósito del mismo es meramente divulgativo, no pretendo más que paliar la ignorancia de primera clase, dígase no saber de qué va una cosa, para la ignorancia de segunda clase, dígase no tener un conocimiento profundo sobre una cosa, buscar remedio aquí sería pretender que un ciego guiase a otro.

Comencemos por decir que los sólidos platónicos son <<Poliedros Regulares Convexos>>, noción que incluye conceptos que pasamos a definir:

-Un poliedro convexo es la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos en R^3(o en un espacio afín tridimensional cualquiera) que no estén en un mismo plano. Por envolvente convexa de un conjunto finito de puntos entendemos el mínimo conjunto convexo que contiene a todos ellos. Por último, un conjunto es convexo si, dados dos puntos cualesquiera del mismo, el segmento que los une está íntegramente contenido en él. Por ejemplo, un cubo es un poliedro convexo, mientras que un toro no lo es.

-Un poliedro es regular si todas sus caras son iguales. Por caras entendemos las regiones exteriores  del poliedro. Durante nuestro artículo tendremos que contentarnos con la noción intuitiva de esta definición, definir <<cara>> rigurosamente nos llevaría demasiado tiempo (y además no estoy seguro de cómo hacerlo).

Ahora sí, los sólidos platónicos son los 5 únicos poliedros regulares convexos tales que sus caras tienen iguales formas y áreas, sus aristas igual longitud y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número de aristas y de caras. Estos son: tetraedro, hexaedro, octaedro, icosaedro, y dodecaedro.

 Ocurre que para que esto tenga sentido tenemos que introducir nuevas definiciones, vamos con ellas:

-Dado un conjunto finito de puntos consideramos su envolvente convexa. Un punto de este conjunto es un vértice si la envolvente convexa del resto de puntos es distinta de la envolvente de todos los puntos (de forma intuitiva, si es necesario para que nos salga la figura).

-Una arista es el segmento que une dos vértices en las caras del poliedro, sin aceptar que pase por el interior del mismo.

Incluimos ahora una representación de los sólidos platónicos dibujada por el conspicuo matemático, físico y astrónomo (aunque no había una verdadera distinción entre estos términos en su época) Johannes Kepler. Los lectores más avispados notarán que hay unas palabras bajo los mismos, con ellas iremos más adelante.

 

Hemos hecho la sorprendente afirmación de que estas figuras son los únicos poliedros regulares convexos que existen. Afirmación que no vamos a probar, no porque esto sea complicado sino porque escribir matemáticas por aquí es horroroso. Lo que sí daremos, serán algunos comentarios sobre la prueba:

El que estas figuras son las únicas de su clase, ya aparece demostrado en el libro <<Los elementos>> de Euclides, quien propone una demostración esencialmente geométrica, basada en los ángulos que forman entre sí las aristas, muy en el estilo griego (de hecho el <<edro>> de las figuras significa ángulo). Actualmente sin embargo, podemos demostrarlo con algo menos de esfuerzo echando mano del genio de Euler, a través de su célebre fórmula:

Número de vértices + número de caras = número de aristas + 2

Convendría también hablar sobre la historia de estos poliedros. La primera aparición de algo semejante a ellos consiste en unas piezas de piedra encontradas en Escocia, que datan del neolítico. Sobre si estos son sólidos de Platón, meramente piezas decorativas o alguna otra cosa no hay consenso, y dejamos que el lector se forme su propia opinión. 

Tras esto avanzamos hasta los griegos. Las referencias más antiguas que tenemos sobre ellos nos dicen que ya Pitágoras los conocía, aunque no se ponen de acuerdo en si los conocía todos ni en cuáles conocía exactamente. Lo que sí sabemos con seguridad es que el ateniense Teeteto tenía conocimiento sobre su existencia, y que suya es la primera prueba documentada sobre su unicidad, recogida por Euclides en sus elementos.  

Contemporáneo y paisano de Teeteto era Platón, filósofo famoso por su libro <<Politeia>> (que los romanos tradujeron por <<Res Publica>> a falta de una palabra mejor) y por sus numerosas divagaciones. Entre estas divagaciones están las de los diálogos <<Timeo>>  en los que habla de los sólidos que nos ocupan. Entre otras cosas relaciona cada uno con un elemento (recordemos que los griegos creían que el mundo estaba compuesto por los elementos: agua, fuego, aire y tierra). Demócrito dijo que cada elemento debía estar hecho de unidades indivisibles llamadas átomos, y Platón añadió que las formas de los átomos debían ser la de los sólidos que nos ocupan. Sobre el dodecaedro afirmaba que representaba el universo.

Esta mención les valió el sobrenombre de platónicos con el que se han quedado hasta hoy. Cabe destacar que Platón no hizo mucho más que mencionarlos. Tazón no era muy bueno en matemáticas, y de hecho cometió algunos errores de cálculo que habrían tenido consecuencias graciosas en su república, pero eso ya se aleja del tema que estamos tratando.

Siglos más tarde, frente al frenesí del renacimiento, el astrónomo Johannes Kepler recordó aquella lejana tarde en que su curiosidad lo llevó a conocer a Platón. En efecto, la lectura de los diálogos del Timeo le encandiló hasta el punto tal punto que trató de explicar las órbitas celestes mediante sólidos platónicos, aunque el resultado no terminó de convencerle y finalmente rechazó la idea, dejándonos bonitas ilustraciones.   

 

Diego Munuera Merayo.