(491) - Misioneros ⁊ caníbales. Cruzando el río

En el día de hoy traemos una entrega muy esperada: el dilema del barquero con misioneros y caníbales.

La premisa es simple: tres misioneros y tres caníbales están a una orilla del río y con una barca que solo puede transportar dos personas, y se tiene que pasar a todo el grupo a la otra orilla. Sin embargo, si en cualquier momento hay más caníbales que misioneros en cualquiera de las orillas, los caníbales se comerán a los misioneros, y es un fin del juego.

Este acertijo tiene variantes, como que solo los misioneros puedan remar.

Se deja al lector la resolución del dilema, y se adjunta un esquema donde están representados en el eje de abscisas los misioneros en la margen derecha del río, y en el eje de ordenadas, los caníbales en la margen derecha del río.

Para terminar, he aquí un enlace a un artículo anterior de este blog sobre otro dilema del barquero, y un vídeo en Youtube sobre ambos problemas de lógica.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(487) - LA Desigualdad triangular [o de Minkowski]. Desigualdad poligonal

En el día de hoy traemos una entrega bastante importante: una desigualdad triangular que por antonomasia se conoce como la desigualdad triangular.

En Wikipedia (en inglés) hay dos páginas de  listas de desigualdades triangulares: una para desigualdades triangulares genéricas, y otra para triángulos oblicuángulos.  Probablemente el estudiante medio de matemáticas solo conozca dos desigualdades triangulares: la pitagórica, y la que nos atañe.

La desigualdad triangular establece que: en un triángulo, la longitud de cualquier lado es estrictamente menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Demostración de Euclides de la Proposición XX, Libro I, Los Elementos

 Cuando se habla de vectores en vez de lados de un triángulo, la desigualdad se conoce como desigualdad de Minkowski, y reza: la norma de la suma de vectores es menor o igual que la suma de sendas normas. La igualdad solo se da si los vectores son colineales.

Desigualdad de Minkowski

 Esta desigualdad se utiliza mucho en cálculo y análisis, en demostraciones de continuidad uniforme, o que cierta cantidad (por ejemplo un sumatorio) está acotado, muchas veces sumando y restando un término a conveniencia.

Para terminar, cabe resaltar una generalización a modo de corolario de este resultado: en un n-gono, [la longitud de] cada lado pertenece al entorno cerrado de centro [la longitud d]el mayor de los (n-1) lados restantes, y radio la suma de [las longitudes de] los (n-2) aún restantes.

Para demostrar la generalización, se pueden considerar los sucesivos triángulos al triangular un n-gono por sus diagonales

  

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(479) - Solo [regla y] compás. Teorema de Mohr-Mascheroni

En el día de hoy traemos una entrega muy peculiar: sobre cómo construir elementos geométricos con menos utensilios.

Lorenzo Mascheroni lo demostró en 1797, y en 1822 Jean Victor Poncelet demostró una variante. Sin embargo, tuvo que pasar casi un siglo (1928) para redescubrir una demostración de Georg Mohr de 1672.

El teorema reza que: Cualquier construcción euclídea que se pueda hacer con regla y compás, se puede hacer solamente con compás.

Regla y compás son los dos utensilios que usaban los antiguos griegos. No usaban (o no solían usar) escuadra y cartabón. Con escuadra y cartabón el hecho de trazar paralelas y perpendiculares se vuelve mucho más fácil e intuitivo, pero también se pueden trazar de sin ellos. ¿Cómo?

·         Para trazar una perpendicular que corte en un punto basta con trazar la mediatriz del segmento cuyo punto medio sea el punto donde dicho punto de corte.

·         Para trazar una paralela a una distancia, basta con trazar la recta perpendicular a un segmento cuya longitud sea dicha distancia. El segmento es a su vez perpendicular a la recta original. (Nótese que en el plano euclídeo dos rectas son paralelas entre sí si ambas son perpendiculares a una misma recta).

¿Mucho más complicado? Obviamente. Con escuadra y cartabón sería tan fácil como apoyar cualquier cateto sobre la recta (para la perpendicular), - apoyar cualquier lado y desplazar el utensilio con la misma inclinación ayudándose del otro instrumento (para la paralela).

Por ejemplo, para extender un segmento con regla es trivial, pero usando solo un compás hay que trazar varios triángulos equiláteros.

Todo hecho con compás, y sin regla alguna.

Este teorema no es tan útil como ilustrativo y “entretenido”, aunque no por ello debe caer en el olvido.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(467) - QED , QEF , QEI ⁊ QEA ¿Qué significan?

En el día de hoy traemos una entrega más técnica: qué significan las diferentes abreviaturas más comunes en matemáticas, en especial, aquellas usadas al final de las demostraciones.

QED – son las siglas en latín para «quod erat dēmōnstrandum», que significan literalmente “aquello que se iba a probar”. Realmente es un calco del griego antiguo ὍἜΔ «ὅπερ ἔδει δεῖξαι» (hóper édei deîxai) “precisamente lo que se requería demostrar”. Estas siglas son sin duda las más utilizadas al acabar cualquier demostración, aunque a veces se sustituye por un cuadrado [o bien sin colorear o negro]. En español se puede ver cómo se traduce QED por «queda entonces/estrictamente demostrado», y puede llegar a aparecer CQD (como queríamos/se quería demostrar).

QEF – son las siglas en latín para «quod erat faciendum», que significan literalmente “aquello que se iba a hacer”. Realmente es un calco del griego antiguo ὍἜΠ «ὅπερ ἔδει ποιῆσαι » (hóper édei poiē̂sai) “precisamente lo que se requería fabricar”. Estas siglas se utilizan cuando ya se haya creado algún elemento que se requería, o sobre cómo construir algo (por ejemplo en Los Elementos de Euclides en la I Proposición sobre cómo construir un triángulo equilátero, o en el Th. Extracción de base sobre cómo hallar alguna base).

QEI – son las siglas en latín para «quod erat inveniendum», que significan literalmente “aquello que se iba a encontrar”.

Estas siglas se utilizan cuando el trabajo necesite encontrar unos elementos que satisfagan ciertas condiciones, más que probar algo como tal. Por ejemplo, para demostrar que una función no es continua bastaría con hallar algún punto donde la función no es continua.

QEA – son las siglas en latín para «quod est absurdum», que significan literalmente “aquello que es absurdo”.

Estas siglas se utilizan en reducciones al absurdo, justo cuando se llegue a la contradicción con la que se demuestra la proposición. Estas siglas las usó Barrow, el mentor de Newton.

A decir verdad casi todas ellas han caído en el olvido, excepto quizá las dos primeras, pero aun así han perdido importancia. No por ello no hay que dejar de usarlas, o no saber qué son.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(463) - Teorema de Morley para las trisectrices. Centros de Morley

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que involucra la trisección de ángulos, algo perseguido por los griegos mediante regla y compás, que siglos después se comprobó que era imposible.

Frank Morley, un matemático estadounidense de finales del siglo XIX, y principios del XX, descubrió este teorema en 1899. Según él mismo, los antiguos griegos ya tenían conocimiento, o al menos sospechaban, este resultado, pero no consta en ningún texto, ni la proposición en sí, ni la demostración.

Seguramente no se llegó a plantear el problema anterior hasta que no se entendió cómo trisecar un ángulo, en especial con regla y compás. Nótese que el problema general de la trisección de un ángulo no se resolvió hasta 1837 por Pierre Wantzel, y unos años después, 1846 por Évariste Galois.

 

El triángulo original en anaranjado, y el triángulo de Morley en rojo.

El Teorema establece que: “Las intersecciones de las trisecciones de un triángulo son los vértices de un triángulo equilátero”.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Morley.

Nótese que las trisectrices son las cevianas que dividen en tres partes iguales un ángulo.

Veamos ahora dos Centros de Kimberling asociados a este teorema.

El centro del triángulo de Morley, se llama I Centro de Morley y se le conoce como X(356) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de Morley (circunferencia de Morley). Curiosamente ningún centro de Kimberling está en esta circunferencia.

I Centro de Morley - X(356)
[Nótese la circunferencia de Morley en azul]

La intersección de las cevianas que unen los vértices con sendos vértices opuestos del triángulo de Morley (pasando entre medias de las trisectrices) se llama II Centro de Morley, o a veces como I Centro e Morley-Taylor-Marr, y se le conoce como X(357) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

El II Centro de Morley es el centro de perspectiva respeto al triángulo original del I Centro de Morley.

 

II Centro de Morley / I Centro de Morley-Taylor-Marr - X(357)

Este teorema es una joya casi perdida y olvidada y que demuestra que a veces resultados increíblemente bellos parten de premisas simplonas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(461) - Teorema de Napoleón. Centros de Napoleón

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: un teorema de geometría que se le atribuye Napoleón Bonaparte, ni más ni menos.

Realmente no se sabe si de verdad fue Napoleón en persona quien lo descubrió. Se sabía que tenía buenos conocimientos de la geometría para la época, pero se duda si los suficientes para haberlo descubierto. Tampoco sería el primer francés que paga a un matemático para presentar los trabajos de aquel como propio [L’Hôpital].

La primera vez que se tiene mención a este teorema fue en una recopilación de exámenes de Dublín, de fl.1824, que apareció en el examen de geometría para obtener la “medalla de oro” en el examen general de la Universidad de Dublín en octubre de 1820. Volvió a aparecer en 1825 en el “Ladies' Diary” obteniendo una mayor difusión.

Sin embargo, es altamente improbable que Napoleón dedujera este teorema, en especial en estas fechas pues estaba recluido en la Isla de Santa Helena, en medio del Atlántico Sur hasta su muerte en mayo de 1821.

El triángulo original en rojo, los triángulos equiláteros trazados en verde, y el triángulo de Napoleón en azul.

El Teorema establece que: “Al trazar triángulos equiláteros sobre cada lado de  cualquier triángulo, sendos centros [de los nuevos triángulos] definen a su vez un nuevo triángulo equilátero”.

Es más, no importa si se trazan los [triángulos] equiláteros hacia “dentro” o hacia “fuera”, siempre que sea en el mismo sentido.

El triángulo equilátero resultante se le suele llamar triángulo de Napoleón

Además, como un corolario de la desigualdad de Weitzenböck, el área del triángulo original es menor o igual que el promedio de las áreas de los triángulos equiláteros [la igualdad se da si, y solo si, el triángulo original también es equilátero].

Si se define ceviana de Napoleón como cada segmento que une un vértice del triángulo original con el centro del triángulo equilátero opuesto, las tres cevianas de Napoleón intersecan en un centro asociado al triángulo original, conocido como punto de Napoleón.

Si los triángulos equiláteros se habían trazado externamente, dicho centro se llama I Punto de Napoleón, y se le conoce como X(17) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

I Punto de Napoleón - X(17)

Si los triángulos equiláteros se habían trazado internamente, dicho centro se llama II Punto de Napoleón, y se le conoce como X(18) en la ETC [Encyclopaedia of Triangle Centres].

II Punto de Napoleón - X(18)
[Nótese que se ha simplificado el número de elementos con respecto a la anterior figura para visualizarlo mejor]

Este teorema es un caso particular del teorema de Petr-Douglas-Neumann y del teorema de Napoleón-Barlotti. Probablemente este teorema no tenga tantas aplicaciones como otros en geometría, ni sea tan amplio como sus generalizaciones, pero eso no le quita de ser un resultado verdaderamente sorprendente. 

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(457) - La trigonometría olvidada

En el día de hoy traemos una entrega bastante curiosa: la trigonometría que se usó hasta casi el siglo XX, pero ha caído en desuso.

Antes de empezar, hay una pregunta que hay que resolver: ¿qué significa [etimológicamente] la función seno?Seno proviene del latín sinus “pecho, bahía”, traducción del árabe جَيْب (jayb) “pecho”, que es a su vez una mala interpretación de جب (jb), (en árabe se omite la notación para vocales). La palabra que se quería traducir era realmente جِيبَ (jība) “seno”, del sánscrito ज्या (jyā) “seno, cuerda [geométrica], cuerda de arco” a través del término similar जीव (jīva) “seno, cuerda, vida, existencia”.

El término coseno significa “seno del [ángulo] complementario”. Tanta coincidencia no era casualidad. Nótese que, en grados:

• $$\sin(0^\circ) = \cos(90^\circ) = 0 \qquad 0^\circ + 90^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \qquad 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2\;}}{2} \qquad 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(60^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3\;}}{2} \qquad 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ $$
• $$\sin(90^\circ) = \cos(0^\circ) = 1 \qquad 90^\circ + 0^\circ = 90^\circ $$

Volviendo a lo que atañe, si uno toma un libro impreso cuando las calculadoras no eran tan asequibles o útiles, verá que al final, había tablas con números. Varias de ellas correspondían a los valores del seno y del coseno según diferentes ángulos. Sin embargo, no eran las únicas funciones trigonométricas (sin hablar de la tangente, secante, cosecante y cotangente). De hecho se podían hasta cuatro funciones trigonométricas íntimamente relacionadas con el seno y el coseno: verseno, coverseno, vercoseno y covercoseno. Verseno y coverseno Coverseno y covercoseno
Etimológicamente verseno significa “seno volteado”, y en la analogía de un arquero con su arma [la cuerda reposada del arco es $2\sin(\theta)$ , el radio es la mitad de la cuerda tensa, y el arco goniométrico es la madera del arco] el verseno es la flecha que se dispara. Por eso a veces se le llamaba sagitta “saeta, flecha” en latín. (La etimología del resto de razones trigonométricas se deduce arriba.) Con la aparición de calculadoras más fiables, y comunes, la necesidad de definir nuevas razones trigonométricas ha desaparecido llevándose consigo esta joya perdida de la trigonometría. ¿Quién se acuerda ya de las tablas de antilogaritmos?

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.