(757) - Cuando Gauss usó la Estadística para la Física y creó una nueva rama de la Mecánica

Es innegable que Sir Isaac Newton ($1643-1727$) revolucionó la Física con la publicación de su Principia Mathematica en $1687$ donde no solo introdujo la Ley de gravitación universal, sino que además introdujo tres axiomas que hoy día se conocen como las (tres) leyes de Newton, los postulados de la Mecánica newtoniana. Cabe resaltar la Ley Fundamental de la Dinámica (II Ley), que se suele presentar como $\vec{F}=m\vec{a}$ , o al decir que la aceleración es la segunda derivada respecto al tiempo de la posición, $\vec{F}=m\ddot{\vec{r}}$ , o sea, $\displaystyle \ddot{\vec{r}}=\frac{\vec{F}}{m}$ .
Toda la mecánica newtoniana trata sobre fuerzas y cómo afectan a las partículas. Sin embargo, desde finales del $\text{siglo XVIII}$ hay varias reformulaciones de la mecánica (clásica) que trabajan en su mayoría las energías en vez de las fuerzas, por ejemplo de mecánica lagrangiana (de $1788$ , donde se introducen coordenadas generalizadas), la hamiltoniana (de $1833$ , donde introduce además momentos conjugados), la routhiana (de $1855/1877$ , que es una mezcla de la dos últimas), y la que vino con la ecuación de movimiento de Gibbs-Appel (de $1879/1900$).
Sin embargo, Gauss ($1777-1855$) propuso aplicar su procedimiento de mínimos cuadrados (descubierto independientemente por él en $1809$ y por Legendre en $1805$) a una versión de la II Ley de Newton, en su artículo de $1829$ Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik (Sobre una nueva constitución universal de la Mecánica). Lo llamó Prinzip des kleinsten Zwanges, es decir, Principio de la mínima restricción (obligación).
Supongamos que tenemos un sistema de $n$ partículas que sabemos sendas posiciones y velocidades en un instante determinado (el inicial e.g.), $\big\{\vec{r}_i(t_0),\dot{\vec{r}}_i(t_0)\big\}_{i=1}^n$ , sendas masas $m_i$ sobre las que se aplican sendas fuerzas (conocidas) $\vec{F}_i$ . En un sistema sin restricciones en virtud de la II Ley de Newton, se tendrá que $\displaystyle\ddot{\vec{r}}_i=\frac{\vec{F}_i}{m_i}$ . Gauss definía la restricción $Z$ como: $$ Z\Big(\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) \overset{\text{def}}{=}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i \left(\ddot{\vec{r}}_i-\frac{\vec{F}_i}{m_i}\right)^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2m_i} (m_i\ddot{\vec{r}}_i-\vec{F}_i)^2 \geqslant 0$$ Gauss lo describió como el principio dinámico más fundamental, ya que establece que la verdadera aceleración instantánea de cada una de las $n$ partículas del sistema es puntualmente el argumento que minimiza dicha restricción $Z$ , es decir, $\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\ = \operatorname{arg\,min} Z$ . Nótese que $Z\Big(\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) = Z\big(\ddot{\vec{r}}_1,\cdots,\ddot{\vec{r}}_n\big)$ es la función restricción de un conjunto de aceleraciones $\big\{\ddot{\vec{r}}_i\big\}_{i=1}^n$ , la cual hay que minimizar . Si el sistema no está sujeto a una restricción, entonces $Z=0$ y evoluciona siguiendo las ecuaciones del movimiento de Newton.

Realmente el Principio de Gauss de la mínima restricción no utiliza mínimos cuadrados ordinarios (OLS por sus siglas en inglés), ya que supondría que todas las $n$ aceleraciones tienen la misma importancia en $Z$ (todos los $n$ sumadnos realmente), sino que hace uso de mínimos cuadrados ponderados (WLS por sus siglas en inglés), cuya ponderación individual es la masa $m_i$ . El caso particular de que todas las masas fuesen iguales sí que sería OLS.

Nótese que la solución minimizante es un total de $n$ vectores tridimensionales, por lo que buscamos un total de $3n$ argumentos que minimizan la restricción $Z$ , por ende puede ser un proceso computacionalmente costoso para sistemas de muchas partículas. Si se quiere resolver numéricamente, sin hacer uso de la solución general de mínimos cuadrados, se puede usar el algortimo de bassinhopping y tomando como iterante inicial la secuencia $\displaystyle \left\{\frac{\vec{F}_i}{m_i}\right\}_{i=1}^n$ , o una pequeña perturbación cercana a ella .

Sin embargo, a veces es preferible hacer un cambio de variables, en especial en un sistema restringido, por lo que consideraremos las nuevas variables $\vec{\rho}_i = \sqrt{m_i\,}\,\vec{r}_i$ , y $\displaystyle \vec{\phi}_i =\frac{1}{\sqrt{m_i\;}}\,\vec{F}_i$ , por ende la II Ley de Newton queda ahora como $\vec{\phi} \triangleq \ddot{\vec{\rho}}$ . Las coordenadas $\{\vec{\rho}_i\}_{i=1}^n$ , posiciones de Jacobi, están relacionadas con la métrica de Jacobi, por lo que este sistema de coordenadas se suele llamar sistema de referencia de Jacobi (Evans and Morriss, $1990$). La restricción $Z\Big(\big\{\ddot{\vec{\rho}}_i\big\}_{i=1}^n\Big)$ es (ahora sí OLS): $$ Z\Big(\big\{\ddot{\vec{\rho}}_i\big\}_{i=1}^n\Big) \triangleq\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \big(\ddot{\vec{\rho}}_i-\vec{\phi}_i\big)^2\geqslant 0$$ El Principio de Gauss de la mínima restricción establece que las trayectorias que realmente se siguen son las que se desvían tan poco como sea posible, en el sentido de mínimos cuadrados (ordinarios o ponderados), respecto de las trayectorias newtonianas sin-restricción. Hertz se refirió a la función $Z$ como el cuadrado de la curvatura.

Realmente el Principio de Gauss de la mínima restricción se puede generalizar: en vez de usar mínimos cuadrados, usar otro tipo de regresión con el mismo fin, hallar las trayectorias con restricción que menos se desvíen en el sentido de dicha regresión respecto de las trayectorias newtonianas sin-restricción.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(751) - Racionales en trigonometría de racionales. Teorema de Niven-Hadwiger

La pregunta de hoy es bien simple: ¿Qué ángulos que son un número racional de vueltas tienen como seno, coseno o tangente también un número racional?Este resultado se concoce como Teorema de Niven ($1915-1999$) de $1956$, pero el matemático Hadwiger ($1908-1981$) ya hizo una demostración en $1948$.
Una primera idea descartable es argumentando como las funciones trigonométricas se pueden expresar como series, pero la serie de racionales no es necesariamente racional ( el ejemplo más claro $\displaystyle \frac{1}{n!}\in\mathbb{Q}$ pero $\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \not\in\mathbb{Q}$ ).

Otra idea sería considerar los polinomios de Chebyshov de I especie [Чебышёв - Čebyšëv], polinomios de coeficientes enteros, $T_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $T_N\big(\cos(\theta)\big)=\cos(N\theta)$ . Sin embargo, este método solo nos dice que $\cos(2\pi\theta)\in\mathbb{Q} \implies \cos(2\pi N\theta)\in\mathbb{Q}$ , es decir, si el coseno es racional, el coseno de múltiplos de ángulo también lo es. No podemos decir lo mismo de los de II especie $U_N(x)\in\big(\mathbb{Z}[x]\big)_N $ , que satisfacen la relación: $\sin(\theta)U_{N-1}\big(\cos(\theta)\big)=\sin(N\theta)$ .

La idea es buscar los conjuntos maximales $\varnothing\subset Q_{0,r},Q_{1,r}\subset\mathbb{Q}$ donde $Q_{1,r}\overset{\text{def}}{=}\operatorname{r}(2\pi Q_{0,r})$ para alguna razón trigonométrica $\operatorname{r}$ , es decir, hallar los ángulos racionales, $\varphi\in\mathbb{Q}$ , tales que alguna razón trigonométrica es racional, $\operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ .
Si $\varphi\in Q_{0,r}\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in\mathbb{Q}$ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es "racional de Niven", su razón trigonométrica también es racional.
Si $\varphi\in(\mathbb{Q}\setminus Q_{0,r})\subsetneq\mathbb{Q} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$, es decir que si el ángulo $\varphi$ es racional pero no "[racional] de Niven", su razón trigonométrica es estrictamente irracional.
Si $\varphi\in (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\subsetneq\mathbb{R} \implies \operatorname{r}(2\pi\varphi)\in \big((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\bigcup \hspace{ -7pt }\raise-.5ex{\scriptsize | } \hspace{3pt} (\mathbb{Q}\setminus Q_{1,r})\big) \triangleq (\mathbb{R}\setminus Q_{1,r}) $ , es decir que si el ángulo $\varphi$ es irracional, su razón trigonométrica también es o bien irracional o bien racional.

Si para algún ángulo el seno o coseno es $\displaystyle \frac{p}{q}$ donde $0\leqslant |p| \leqslant |q| $ y $p,q\in\mathbb{Z}$ , entonces el otro es $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{q^2-p^2\;}}{q}$ . La pregunta es entonces $\sqrt{q^2-p^2\;}\overset{\text{?}}{\in}\mathbb{N}$ . Esta pregunta es equivalente a preguntar si existe una terna pitagórica con hipotenusa $|q|$ y un cateto $|p|$ . Al final resulta ser que los únicos que seno y coseno son racionales son las soluciones triviales.

Veamos los pocos valores que satisfacen la relación en $\displaystyle 0\leqslant \theta\leqslant \frac{\pi}{2}$ (en otros cuadrantes solo hay que tener en cuenta las relaciones de los demás cuadrantes con el primero):

Para el seno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,\frac{1}{2},1$ .

Para el coseno se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,\frac{1}{2},1$ .

Para la tangente se tiene $\displaystyle 0,\frac{\pi}{4}$ que valen respectivamente $\displaystyle  0,1$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(743) - Resolver ecuaciones diferenciales numéricamente en Excel

A finales de septiembre estaba ayudando a un novato de física con un ejercicio de tiro parabólico, pero con amortiguamiento por la fricción con el aire. Como él no sabía programar nada, le hice una pequeña simulación en Excel (sí Excel, ¿qué pasa?) para poder cambiar los parámetros al instante. Quiero exponer aquí cómo lo hice. Aviso que este método no es muy bueno numéricamente, en particular porque Excel no está pensado para resolver ecuaciones diferenciales. Esto es rápido, para tener una idea preliminar, no para tener exactitud. Para ver cómo funciona, hay que repasar algunos conceptos:
Recordemos la definición de derivada [analítica]: $$ f^{(1)}(x) \overset{\text{def}}{=} \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Si en vez de tomar el límite, se toma un $h$ suficientemente pequeño, podemos calcular lo que se llama en computación derivada numérica (una aproximación numérica de la derivada analítica). Esto nos permite aproximar la función $f$ en un punto $x+h$ si sabemos $f(x)$ y $f^{(1)}(x)$ : $$ f^{(1)}(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \implies f(x+h) \approx f(x) + f^{(1)}(x)\cdot h$$ Es decir, podemos aproximar (casi) cualquier función $f(t)$ por una recta tangente en $t=a$ , $T_1\big(f,a\big)(t)$ , con el error que decrece hasta hacerse nulo en $t=a$ . $$ f(t) = T_1\big(f,a\big)(t)+{\scriptstyle \mathcal{ O } }\big( (t-a)^1\big) \qquad T_1\big(f,a\big)(t) = f(a)+ f^{(1)}(a)\cdot (t-a)$$ En la resolución numérica se suele discretizar la función (aunque no sea discreta) en intervalos de longitud pequeña, $[x_{n-1},x_n]$ . Vamos a tomar la longitud de cada uno de estos intervalo igual (nodos equiespaciados) de longitud $h$ . Cuanto más cercano a $0$ sea $h$ , mejor la aproximación, pero más cálculos son necesarios. Llamemos $y_n$ a la función $f(x)$ evaluada en el $n-$ésimo nodo $x_n$ , $f(x_n)$ , y denotemos por ${y_n}^{(k)}$ a la $k-$ésima derivada de la función $f(x)$ evaluada en el $n-$ésimo nodo $x_n$ , $f^{(k)}(x_n)$ . Es decir: $$ \begin{matrix} h & = & x_n-x_{n-1} & = & \Delta x_n \\ y_n & = & f(x_n) \\ {y_n}^{(k)} & = & f^{(k)}(x_n) & & k\in\mathbb{N} \end{matrix} $$ Es decir, cuando solo se tiene la primera derivada: $$ y_{n+1} = y_n + {y_n}^{(1)} h $$ Si tenemos una función que conocemos ambas derivadas (como por ejemplo la posición $r$ con su velocidad inicial $v_0$ y su aceleración $a$ que $\displaystyle r = r_0 + v_0t+\frac{a}{2}t^2 $ ) se tiene que: $$y_{n+1} = y_n +{y_n}^{(1)} h + \frac{{y_n}^{(2)}}{2}h^2 = y_n + h\left( {y_n}^{(1)} + \frac{{y_n}^{(2)}}{2}h\right) $$ Al final lo que estamos haciendo es aproximar las sucesivas derivadas $\displaystyle \frac{\text{d}^{(n)}y}{\text{d}x^{(n)}}$ como diferencia finitas $\displaystyle \frac{\Delta^{[n]} y}{\Delta x^n}$ , hacer una expansión de Taylor localmente en cada punto, $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\frac{\text{d}^{(n)}y}{\text{d}x^{(n)}}\Delta x^n$ , y parar tras $(N+1)$ sumandos cuando consideramos que nuestro error $\varepsilon_N$ es suficientemente pequeño (disminuye cuanto menor sea $\Delta x = h$ ): $$ \frac{\text{d}y}{\text{d}x} \bumpeq \frac{\Delta y}{\Delta x} \implies \frac{\text{d}^{(n)}y}{\text{d}x^{(n)}} \bumpeq \frac{\Delta^{[n]} y}{\Delta x^n} \implies \frac{1}{n!}\Delta^{[n]} y \bumpeq \frac{1}{n!}\frac{\text{d}^{(n)}y}{\text{d}x^{(n)}}\Delta x^n \\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\Delta^{[n]}y = \sum_{k=0}^N \frac{1}{k!}\Delta^{[k]}y +\varepsilon_N$$ Por ejemplo para resolver el péndulo simple, de ecuación $\ddot{\theta} + {\omega_0}^2 \sin(\theta)=0 \implies \ddot{\theta} =-{\omega_0}^2 \sin(\theta) $ . En la primera columna ponemos nuestra variable indepeniente, $t$ , con $A1=0$ y $A2=A1+h$ donde $h$ lo hemos definido antes y es un valor fijo. Para que sea más útil, como Excel permite hacer gráficas de $32.000$ puntos, arrastramos $A2$ hasta $A32000$ . Necesitamos una condiciones iniciales de posición y velocidad que esas las ponemos en $B1$ y $C1$ respectivamente. Repitiendo la notación de antes se tiene que (con $Bn=y_n$ , $Cn={y_n}^{(1)}$ , $Dn={y_n}^{(2)}$ ) : $$ \begin{matrix} {y_n}^{(2)} = -{\omega_0}^2 \sin(y_n) \\ {y_{n+1}}^{(1)} = {y_n}^{(1)} + {y_n}^{(2)}h \\ \displaystyle y_{n+1} = y_n + h\Big( {y_n}^{(1)} + {y_n}^{(2)} \frac{h}{2}\Big) \\ \end{matrix}$$ Este método, aunque efectivo, es poco práctico. Se podría haber usado la integración de Verlet, que es mucho más preciso y no hace falta calcular la primera derivada en todo punto: $$ \begin{matrix} \displaystyle y_1 = y_0+{y_n}^{(1)}h+\frac{{y_n}^{(2)}}{2}h^2 \\ y_{n+1} = 2y_n-y_{n-1}+{y_n}^{(2)}h^2 \qquad n\geqslant 1\\ \end{matrix}$$

Péndulo simple, $\ddot{\theta} + {\omega_0}^2 \sin(\theta)=0$ , y péndulo amortiguado $\ddot{\theta} + \gamma \dot{\theta} + {\omega_0}^2 \sin(\theta)=0$ con mismas condiciones iniciales $\theta_0=2,6$ y $\dot{\theta}_0=0,5$ y con $\gamma=0,25$

Este método es útil a la hora de dar propiedades cualitativas, y no tanto cuantitativas, de la solución y para entender qué pasa con la misma (en el ejemplo del péndulo amortiguado que cuanto mayor sea $\gamma$ , más deprisa tiende a ser idénticamente nula).

  Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(739) - GIFs descargables: Integral de Lebesgue y su Teorema del Valor Medio

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales de Lebesgue.

Integrales superior e inferior de Lebesgue

Suma inferior de Lebesgue

Suma superior de Lebesgue

Recordemos que habíamos acuñado los conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue como $\displaystyle E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} $ con $\displaystyle E_n \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$ (cada conjunto está en $\Omega$ , por lo que su unión también), entonces se tiene la desigualdad tipo Chebyshov:

$$\displaystyle \inf\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} {y_n}^p\, \mu(E_n)\right) \gneq \int\limits_E|f|^p\;\mathrm{d}\mu \geqslant \sup\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} {y_{n-1}}^p\, \mu(E_n) \right)$$
Integral asociada de Lebesgue

Recordemos que habíamos acuñado los conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue (o conjuntos elementales asociados de Lebesgue) como $\displaystyle E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\}$ con $\displaystyle E_n \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$ (cada conjunto está en $\Omega$ , por lo que su unión también) , entonces se tiene la desigualdad tipo Chebyshov: $$\displaystyle \Bigg|\int\limits_E f\;\mathrm{d}\mu-\sum_{n\in\mathbb{N}_0}y_n\, \mu(E_n)\Bigg|\lneq \varepsilon\, \mu(E) $$

Integral asociada de Lebesgue

Integral asociada de Lebesgue - variando la secuencia de los $y_n$

Teorema del valor medio integral (formulación para la integral de Lebesgue):
¿Cómo se puede entender el teorema del valor medio?

Geométricamente es una reinterpretación de las áreas de los sucesivos rectángulos: dada una sucesión de rectángulos con sendas bases y alturas, el valor medio integral es hallar la altura de un rectángulo equivalente que tiene por base la suma de las bases y por área la suma de las áreas.

Analíticamente es hallar el valor de la función idénticamente constante (hallar el valor $\eta_y$ de la función escalonada $\eta_y\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E}(x)$ ) tal que tenga la misma integral en $E$ que la función $f(x)$ .
En las desigualdades se vuelve para las integrales superiores e inferiores de Lebesgue: $$ \inf\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}{y_n}^p\right) \gneq \frac{1}{\mu(E)}\int\limits_E|f|^p\;\mathrm{d}\mu \geqslant \sup\left( \sum_{n\in\mathbb{N}_0} \frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}{y_{n-1}}^p \right) $$ En las desigualdades se vuelve para la integral asociada de Lebesgue: $$\Bigg|\frac{1}{\mu(E)}\int\limits_E f\;\mathrm{d}\mu-\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{\mu(E_n)}{\mu(E)}y_n \Bigg|\lneq \varepsilon $$ En virtud de la propiedad de Darboux (teorema del valor intermedio), realmente de un análogo para sucesiones, podemos asegurar que el valor medio $\eta_y$ está entre dos términos sucesivos de la sucesión creciente $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}_0}$ .


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(733) - Integral Asociada de Lebesgue. Mejor que Riemann (con GIFs descargables) (3/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales de Riemann, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos $I_k = [x_{k-1},x_k] $ que pertenecen a la partición $\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral de Riemann
La suma asociada de Riemann, $\sigma(f,\mathcal{P}_n,T)$ , es la suma de las áreas de los rectángulos-verticales que aproximan la función $f$ en cada subintervalo $I_k$ . En cada subintervalo $I_k$ se considera un nodo $t_k$ tal que el valor de la función $f$ evaluada en dicho nodo, $f(t_k)$, sea una buena aproximación de la altura media de la función en dicho subintervalo. Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ . Se denota por $T$ a la colección de todos los nodos $t_k$ , es decir, $T=\left\{t_k \; /\; k=1,\cdots,n\right\}$ , mientras que el par $(\mathcal{P}_n,T)$ a veces se escribe como $\dot{\mathcal{P}}_n$ . $$ \begin{matrix} \displaystyle \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \implies \displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\mathcal{P}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\mathcal{P}_n,T) \\ \displaystyle \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n f(t_k)\Delta x_k \implies \displaystyle \int_a^b f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \lim_{\|\dot{\mathcal{P}}_n\hspace{1pt}\|\to 0}\!\!\! \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) \end{matrix} $$

Nótese que según $n$ aumenta, llega un momento que (al menos visualmente) son indistinguibles 

Integral de Riemann - variando los nodos
Aquí vemos variando el nodo $t_k$ en cada subintervalo $I_k$ (tomando cada uno con la misma definición respecto a los extremos del subintervalo). Así pues pasamos de una suma de Riemann por la izquierda ( $\lambda=0$ ) a una del punto medio ( $\lambda=0.5$ ) y finalmente a una por la derecha ( $\lambda=1$ ). $$ \lambda_k\in[0,1] \,/\, t_k \overset{\text{def}}{=} (1-\lambda_k)x_{k-1}+\lambda_k x_k\in I_k \in \mathcal{P}_n\big([a,b]\big) \implies \sigma(f,\dot{\mathcal{P}}_n) = \sum_{k=1}^n f\big((1-\lambda)x_{k-1}+\lambda x_k\big) \Delta x_k $$

Integral asociada de Lebesgue

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Riemann-Lebesgue (conjuntos elementales asociados de Lebesgue) y desagamos el valor absoluto suponiendo que $f(x)\geqslant 0$: $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; 0\leqslant\big|f(x)-y_n\big|\lneq\varepsilon \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega $$ Es decir, $$ y_n-\varepsilon\lneq f(x) \lneq y_n+\varepsilon \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir la cotas $y_n\pm\varepsilon$ como funciones escalonadas $ (y_n\pm\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que valen exactamente $y_n\pm\varepsilon$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. $$ (y_n-\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)\lneq f(x) \lneq (y_n+\varepsilon)\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \iff \bigg| f(x)-y_n\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \bigg| \lneq \varepsilon\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$$ Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$ (y_n-\varepsilon)\mu(E_n) \lneq \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x) \lneq (y_n+\varepsilon)\mu(E_n) \implies \Bigg| \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x)-y_n\mu(E_n) \Bigg| \lneq \varepsilon\mu(E_n)$$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$ \sum_{n=1} (y_n-\varepsilon)\mu(E_n) \lneq \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x) \lneq \sum_{n=1} (y_n+\varepsilon)\mu(E_n) \implies \Bigg| \int\limits_{E_n} \! f(x)\ \,\text{d}\mu(x)-\sum_{n=1}y_n\mu(E_n) \Bigg| \lneq \varepsilon\mu(E) $$ ¿Hemos terminado? Realmente sí. Hemos encontrado una función escalonada $\displaystyle \phi_n(x)\overset{\text{def}}{=} \sum_{n=1} y_n\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ que dista de $f(x)$ a lo sumo tan poco como queramos, $\varepsilon$ , y que sendas integrales también distan tan poco como queramos, $\varepsilon\mu(E)$ . A este valor (de la integral de $\phi_n(x)$) lo acuño como suma o integral asociada de Lebesgue.$$ \int\limits_{[a,b]} \! f(x) \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) $$

Integral asociada de Lebesgue

 
Refinando la secuencia de nodos de ordenadas o $\varepsilon$ se encuentra una aproximación mejor. 

Integral asociada de Lebesgue - variando la secuencia de los $y_n$

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(727) - Integral Superior de Lebesgue. Mejor que Darboux (con GIFs descargables) (2/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales superiores de Darboux, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos de la partición $I_k \overset{\text{def}}{=} [x_{k-1},x_k] \in\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral superior de Daboux
La suma superior de Darboux, $s(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales minimales que contienen la función $f$ . Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ .$$ \begin{matrix}\displaystyle S(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \sup_{x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k &\quad &\displaystyle 0 \leqslant \big|f(x)\big| \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \sum_{n=1} y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) = \phi_n(x) \\ \displaystyle \mkern2.5mu\underline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-15mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \inf_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{S(f,\mathcal{P}_n)\big\} &\quad &  \displaystyle \overline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\}\ \end{matrix} $$

Sumas superiores e inferiores de Darboux

Integral superior de Lebesgue 

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue y centrémonos en la primera desigualdad: $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$ Es decir, $$ y_n\gneq\big|f(x)\big| \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir $y_n$ como la función escalonada $ y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que vale exactamente $y_n$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$ y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \gneq \big|f(x)\big| \implies \int\limits_{E_n} \! \ y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq y_n\,\mu(E_n) \gneq \int\limits_{E_n} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) $$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$ \sum_{n=1} y_n\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \overset{\text{def}}{=} \phi_n(x) \gneq \big|f(x)\big| \implies \int\limits_{E} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \gneq \int\limits_{E} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) $$ ¿Hemos terminado? Casi. Hemos encontrado una cota superior, pero no la óptima, esa es su ínfimo, $\displaystyle \inf\Bigg\{\sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\}$ , que se puede hallar al ir refinando los conjuntos elementales. A este valor lo acuño como suma o integral superior de Lebesgue $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_n\,\mu(E_n) \Bigg\} $$

Suma superior de Lebesgue

Con estos mismos conjuntos se puede hallar fácilmente la integral en espacios $L^p$ de $|f|^p$ donde es: $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big|^p \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \inf_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\geqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! {\phi_n}^p(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} {y_n}^p\,\mu(E_n) \Bigg\} $$



Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(719) - Integral Inferior de Lebesgue. Mejor que Darboux (con GIFs descargables) (1/3)

Si bien es cierto que los dibujos no demuestran nada, como bien dice el refrán: una imagen dice más de $1.000$ palabras. Por ello he hecho estos GIFs animados que ayudan a entender visualmente las integrales inferiores de Darboux, y de Lebesgue. Definamos los subintervalos de la partición $I_k \overset{\text{def}}{=} [x_{k-1},x_k] \in\mathcal{P}\big([a,b]\big)$ .

Integral inferior de Daboux
La suma inferior de Darboux, $s(f,\mathcal{P}_n)$ , hace referencia a la suma de las áreas de los rectángulos-verticales maximales que están contenidos entre el eje de abscisas y la función $f$ . Según se aumenta el número de subintervalos $n$ , mejor se aproxima al valor del área bajo la función $f$ .$$ \begin{matrix}\displaystyle s(f,\mathcal{P}_n) \overset{\text{def}}{=} \sum_{k=1}^n \inf_{x\in I_k}\!\big\{f(x)\big\} \Delta x_k &\quad &\displaystyle 0 \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \sum_{n=1} y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) =  \phi_n(x) \underset{\mu\text{ae}}{\leqslant} \big|f(x)\big| \\ \displaystyle \mkern2.5mu\underline{\vphantom{\intop}\mkern15mu}\mkern-15mu\int_a^b \!\!\! f(x) \,\text{d}x \overset{\text{def}}{=} \sup_{\mathcal{P}_n\,\in\,\mathcal{P}}\!\big\{s(f,\mathcal{P}_n)\big\} &\quad &  \displaystyle \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\}\ \end{matrix} $$

Sumas superiores e inferiores de Darboux

Integral inferior de Lebesgue 

Recordemos los conjuntos que acuñé en la última entrada como conjuntos elementales de Darboux-Lebesgue y centrémonos en la segunda desigualdad: $$ E_n = \Big\{ x\in\Omega \;\big/\; y_n\gneq\big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \Big\} \subseteq\bigcup_{n=1} \hspace{ -10.125pt }\raise-1.2ex\hbox{|} \hspace{ 2.5mm }E_n \subseteq \Omega$$ Es decir, $$ \big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1} \quad \forall x\in E_n$$ Por lo que podemos reescribir $y_{n-1}$ como la función escalonada $ y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x)$ , que vale exactamente $y_{n-1}$ en $E_n$ y "fuera" no aporta nada. Aplicando la monotonía de la integral se tiene que: $$ \big|f(x)\big|\geqslant y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \implies \int\limits_{E_n} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \geqslant \int\limits_{E_n} \! \ y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq y_{n-1}\,\mu(E_n)$$ Esto es para un único $E_n$, por lo que si se considera la unión de todos los ubconjuntos, el supraconjunto $E$ , se tiene que: $$ \big|f(x)\big|\geqslant \sum_{n=1} y_{n-1}\,\chi\raise-.5ex\hbox{}_{E_n}(x) \overset{\text{def}}{=} \phi_n(x) \implies \int\limits_{E} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \geqslant \int\limits_{E} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n)$$ ¿Hemos terminado? Casi. Hemos encontrado una cota inferior, pero no la óptima, esa es su supremo, $\displaystyle \sup\Bigg\{\sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\}$ , que se puede hallar al ir refinando los conjuntos elementales. A este valor lo acuño como suma o integral inferior de Lebesgue $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big| \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! \phi_n(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} y_{n-1}\,\mu(E_n) \Bigg\} $$

Suma inferior de Lebesgue

Con estos mismos conjuntos se puede hallar fácilmente la integral en espacios $L^p$ de $|f|^p$ donde es: $$ \underline{\int}\limits_{[a,b]} \! \big|f(x)\big|^p \,\text{d}\mu(x) \overset{\text{def}}{=} \sup_{\phi_n \;\underset{\mu\text{ae}}{\leqslant}\; f}\Bigg\{\int\limits_{[a,b]} \! {\phi_n}^p(x) \,\text{d}\mu(x) \triangleq \sum_{n=1} {y_{n-1}}^p\,\mu(E_n) \Bigg\} $$



Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.