(881) - ¿Cuál es la altura máxima de una montaña de arena?

Supongamos que estamos en el campo o en la playa, y empezamos a hacer un montículo de arena. A todos nos ha pasado que, sobre todo cuando la arena está más seca, al verter arena esta se desliza por la pendiente aumentando la base de la montaña de arena, pero no su altura.

Dado un radio $r$ de la montaña de arena, ¿cuál es la altura máxima que puede tener? La respuesta está en la física. Hay que considerar que cada grano de arena de masa $m$ en la pendiente de ángulo $\theta$ sufre una fuerza (gravedad) que lo empuja pendiente abajo. Esta fuerza es $mg\sin\theta$ . Sin embargo, al estar en contacto con la propia pendiente de arena, hay una fuerza de fricción que se resiste al movimiento, de magnitud $\mu mg\cos\theta$ , donde $\mu$ es el coeficiente de fricción. El ángulo crítico donde esto ocurre es cuando cada grano de arena está en equilibrio estático, es decir, cuando ambas son iguales, $mg\sin\theta_\text{crit} = \mu_S mg\cos\theta$ , por lo que $\mu_S = \tan\theta_\text{crit}$ , donde $\mu_S$ es el coeficiente de fricción estática.

Por pura trigonometría, la reñación entre el ángulo, la altura $h$ y el radio $r$ viene dado por: $$ \mu_S = \tan\theta_\text{crit} = \frac{h}{r} \implies h = \mu_S\, r $$ Es decir, la altura máxima es directamente proporcional al radio.

Lo que implica un volumen de: $$ V = \frac{1}{3}\pi\mu_S\, r^3 $$ Y un área de: $$ A = \pi r^2 \left( 1+\sqrt{1+{\mu_S}^2\;}\; \right) $$ Donde se puede aproximar según los valores de $\mu_S$ $$ A = \pi r^2 \left( 2+\frac{{\mu_S}^2}{2}+\cdots \right) \qquad \mu_S\to0 \\ A = \pi r^2 ( 1+\mu_S + \cdots ) \qquad \mu_S\to\infty $$ El límite $\mu_S\to0$ corresponde a donde todo grano de arena se cae y la montaña son dos círculos puestos uno encima de otro (altura y volumen $0$), mientras que el límite $\mu_S\to\infty$ corresponde a que la fricción es tal que ningún grano de arena cae, y la montaña es un cilindro infinito.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(877) - La Identidad de Euler con funciones integrales

La última vez veíamos la identidad de Euler con cuaterniones. Veámosla hoy con funciones integrales. Primero recordemos cómo es en su forma usual. $$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$ Tomemos esta versión para poder trabajar $$ e^{-\mathrm{í}t}=\cos t - \mathrm{í}\sin t $$ Dividamos ahora entre el argumento e integremos en el intervalo $[z,\infty)$ tal que: $$ \int_z^\infty \frac{e^{\mathrm{í}t}}{\mathrm{í}t} \mathrm{í}\;\mathrm{d}t = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$ Ahora haciendo un pequeño cambio de variable: $$ \int_{\mathrm{í}z}^\infty \frac{e^{-s}}{s} \;\mathrm{d}s = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$ Por lo que se tiene la Identidad de Euler: $$ \operatorname{E}_1(\mathrm{í}z) = -\operatorname{ci}(z) + \mathrm{í} \operatorname{si}(z) $$ Donde se tienen que: $$ \operatorname{E}_1(z)\overset{\mathrm{def}}{=} \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{ci}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{si}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t$$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(863) - La Identidad de Euler con cuaterniones

Creo que todo el mundo es familiar con la idendidad de Euler en algunas de sus formas: $$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$ Hace poco encontré cómo expresarla para cuaterniones. Los cuateriones se deben a Sir William Rowan Hamilton ($1805-1865$), también el padre de la mecánica hamiltoniana. Los orígenes de los cuaterniones y su evolución al álgebra y cálculo vectorial se contará en otro momento. Veamos cómo los podemos expresar. $$ q\in\mathbb{H} \qquad q = a + b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k} \qquad (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$$ Además satisfacen la curiosa relación multiplicatica (al ser no conmutativos) $$ \mathrm{íj} = -\mathrm{jí} = \mathrm{k} \qquad \mathrm{ík} = -\mathrm{kí} = -\mathrm{j} \qquad \mathrm{jk} = -\mathrm{kj} = \mathrm{í} $$ Donde $$ \mathrm{í}^2 = \mathrm{j}^2 = \mathrm{k}^2 = -1 $$ Ahora si definimos lo siguiente se tiene que: $$ \beta = \sqrt{b^2+c^2+d^2\;} \qquad \textbf{i} = \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\beta} = \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}} \implies q = a + \beta\,\textbf{i} $$ Donde $\textbf{i}$ funciona como si fuese la $\mathrm{í}\in\mathbb{C}$ , es decir, $\textbf{i}^2=-1$ . Entonces se tiene: $$ e^q = e^{a+\beta\,\textbf{i}} = e^a (\cos\beta + \textbf{i}\sin\beta) = e^a \left(\cos\sqrt{b^2+c^2+d^2\;} + \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}}\sin\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}\right)$$ Sin embargo, dado $q = a + b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}$ Hamilton llamaba $a$ la parte escalar y el resto como la parte vectorial (de ahí el nombre y orgien que ya veremos). Por lo que puede ser útil reescribir como: $$ q = a + \vec{B}\cdot\vec{\imath} \qquad \vec{B} = \Im(q) = (b,c,d)\in\mathbb{R}^3 \qquad \vec{\imath} = (\mathrm{í},\mathrm{j},\mathrm{k}) \qquad (\vec{B}\cdot\vec{\imath})^2 = B^2 \imath^2 = - B^2 $$ Simplemente ahora se tiene que: $$ e^q = e^{a+\vec{B}\cdot\vec{\imath}} = e^a \left(\cos B + \frac{\vec{B}\cdot\vec{\imath}}{B}\sin B\right)$$ Estas identidades nos permiten escribir algunas curiosas: $$ \mathrm{í}^\mathrm{í} = \mathrm{j}^\mathrm{j} = \mathrm{k}^\mathrm{k} = e^{-\frac{\pi}{2}} \qquad \mathrm{í}^\mathrm{j} = \mathrm{k} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(859) - Tuberculosis y el taxi 1729

Cada vez que leo algo del aclamado Srinivasa Ramanujan y de su colaboración con Hardy y con Littlewood, en especial en su cita todo entero positivo era uno de sus amigos personales, me veo más abrumado por su genialidad.

Simplemente no hay otra palabra parecida que se le acerque. Ha habido (y habrá muchos más) matemáticos, físicos, químicos, ingenieros... cuyas mentes funcionan a un nivel muy superior al del resto y cuyo pensamiento inquisitivo se hacen preguntas que nos llevan allende los límites de nuestro propio conocimiento. Sin embargo, Ramanujan era todo un caso aparte y asombroso en sí. Cuando decían que los números eran sus amigos íntimos, era cierto. Ramanujan escribió a Hardy y este le invitó a Cambridge en $1914$ . Para cuando llegó, Hardy ya tenía una recopilación de unos $120$ teoremas de Ramanujan, algunos de los cuales no se conocían. La increíble mente de este matemático indio siempre me asombró.
Veamos algunos ejemplos: $$ \frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2\;}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{n!^4} \frac{26390n+1103}{396^{4n}} $$ Una acotación para la función factorial: $$ \sqrt[6]{8x^3+4x^2+x+\frac{1}{100}\;} \leqslant \frac{x!}{\displaystyle \sqrt{\pi\;}\left(\frac{x}{e}\right)^x} \leqslant \sqrt[6]{8x^3+4x^2+x+\frac{1}{30}\;} \qquad x\geqslant 1 $$ Un comportamiento de la función partición: $$ p(n) \sim_\infty \frac{1}{4n\sqrt{3\;}} e^{\displaystyle \pi \sqrt{\frac{2n}{3}\;} } $$ La constante de Ramanujan–Soldner, que se define tal que: $$ \mu\in\mathbb{R} / \int_0^\mu \frac{1}{\ln t}\;\mathrm{d}t=0 $$ La precisión de estas fórmulas, como tantas otras de Ramnujan son meramente soprendentes. Pedimos al lector que investigue al tema o si quiere pasar una tarde amena, que vea alguna de las películas sobre su vida.
Sin embargo, el joven Ramanujan murió de tubercolisis a los $32$ años de vida en $1920$ . El año anterior, cuando Hardy le fue a visitar comentó que la matrícula del taxi que había cogido era un número bastante aburrido, el $1729$ , a lo que este le respondió que era el menor número que se podía poner como suma de dos cubos positivos de dos maneras distintas, es decir: $$ 1729= 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(857) - Demostración por contradicción. Reducción al absurdo

Esto es meramente una adenda extra a la última entrada. Una reducción por absurdo es un tipo de demostrar el contrarecíproco. Por ejemplo supongamos que tenemos que demostrar $p\to q$ . Partimos de $p$ y no sabemos, hasta que no lo demostremos, nada sobre $q$ , ni siquiera si es verdad o falso, así pues pues se parte de la hiótesis $p$ y además se supone algo que niega lo que queremos demostrar, $\neg q$ y tras razonamientos lógicos se llega a que $\neg q \to \neg p$ . Sin embargo, a pesar de que no hemos tenido ningun error en la lógica, hemos visto que $\neg p$ , que es absurdo (pues algo no puede ser algo y no serlo a la ver, es decir, $p$ y $\neq p$).

Uno de los ejemplos má clásicos es dmostrar que $\sqrt{2}$ es un número irracional. Se empieza suponiendo que no lo es, sino que se puede escribir de la forma $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ , para algunos $a,b\in\mathbb{N}$ y los tomamos de tal forma que sean primos entre sí. De lo anterior se deduce que $a^2=2b^2$ , pero si $a^2$ es un cuadrado perfecto y un número par, necesariamente es uno de la lista $4,16,36,64,100,\cdots$ , lo que implica que $a$ también era par y lo podemos escribir de la forma $a=2p$ ,por lo que $4p^2=2b^2 \implies 2p^2=b^2$ y vemos a su vez que $b^2$ es a su vez par y un cuadrado perfecto, repitiendo el proceso indefinidamente (lo que implicaría que tanto $a$ como $b$ son productos de una potencia de $2$ ). Sin embargo, habíamos dicho que eran coprimos, lo que contradice nuestra hipótesis, resultando entonces en que $\sqrt{2}$ es un número irracional.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(853) - El truco para duplicar los resultados. Contrarrecíproco

En cualquier curso introductorio de lógica se introduce la tabla de la verdad y los diferentes modus. En el día de hoy, hablaremos del modus tollendo tollens, es decir, el modo que al negar, niega.

La idea es que si tenemos una proposición lógica, $p \to q$ , y se niega la consecuencia (tesis), $\neg q$ , entonces implica que se tiene la negación de la hipótesis, $\neg p$ , es decir: $$\frac{p \to q, \neg q}{\therefore \neg p}$$ Otra forma de escribirlo es: $$\big((p \to q) \land \neg q\big) \to \neg p$$
Un ejemplo para ver esto es con el aserto si llueve, el suelo se moja, que es equivalente a decir si el suelo no está mojado, no ha llovido. Nótese que si decir el suelo está mojado, entonces ha llovido es completamente erróneo ya que la premisa puede ser debida a otro suceso (han regado por ejemplo).

La idea es que para cada proposición o enunciado matemático del tipo $p\to q$ , recordemos que es equivalente a decir $(\lnot q) \to (\lnot p)$ , lo que a la hora de hacer demostraciones es muy útil, ya que muchos como estudiantes a veces nos hemos olvidado de ello. Un ejemplo de un teorema cuya demostración solo se conoce por contrarrecíproco es el Teorema de Steiner-Lehmus que establece que un triángulo tiene dos bisectrices de la misma longitud si y solo si es isósceles.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(839) - El mejor físico-matemático medieval. Nicolás de Oresme

Si hay un escolástico que me ha captado la atención en los últimos meses es Nicole d'Oresme (nació c.$1320-1325$ en Fleury-sur-Orne, Normandía y murió el $11$ de julio de $1382$ en Lisieux, Normandía). Veamos qué hizo este clero del siglo XIV.

Consideremos cuánto vale la suma de la serie armónica, es decir, la suma de infinitos términos de los inversos de los números naturales ($1,2,3,4,5,\cdots$). Él empieza acotando inferiormente cada sumando por el inverso de una potencia de $2$, aquella que sea la mejor cota ($1,2,4,8,16,32,64,\cdots$) $$ \begin{matrix} 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{3} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{5} & + & \displaystyle\frac{1}{6} & + & \displaystyle\frac{1}{7} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{9} & + & \cdots \\= & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \\ 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{16} & + & \cdots \end{matrix}$$ De aquí se ve cómo, sumando ciertos términos de la cota, aparecen infinitas veces el sumando $\frac{1}{2}$ . En particular se tiene: $$ \sum_{n=1}^{2^N}\frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2} \implies \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} > 1 + \frac{\log_2k}{2}$$ Por lo que dedujo que la serie armónica divergía. Es más, siglos después se demostró que la serie armónica tenía el mismo crecimiento que el logaritmo neperiano: $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim_\infty \ln(n) + \gamma$$ Donde $\displaystyle \gamma = \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right) \;\mathrm{d}x$ es la constante de Euler-Mascheroni.

También se le atribuye la demostración del Teorema de la velocidad media, cuyo redescubrimiento y popularización se debe a Galileo. El teorema dice: un objeto en un movimiento uniformemente acelerado recorre en un intervalo el mismo espacio que recorrería un objeto con velocidad uniforme, cuya velocidad es la velocidad media del primero. Pongamos esto con notación algebraica con dos ecuaciones que nos son muy conocidas $$ d = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \qquad d=\bar{v}t$$ Donde $d$ es el espacio recorrido, $v_0$ es la velocidad inicial en $t=0$, $t$ es el tiempo, $a$ es la aceleración constante, $\bar{v}$ es la velocidad media del móvil y $v=v(t)$ es la velocidad final. Usando las siguientes identidades es trivial probarlo algebraicamente: $$ \bar{v}=\frac{v_0+v}{2} \qquad v=v_0+at $$ Sin embargo, Nicolas de Oresme lo hizo de una manera puramente geométrica y con razonamientos, ya que se tardaría siglos en desarrollar el álgebra para escribirlo.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.