(683) - Polinomios logarítmicos y series logarítmicas

Supongamos que tenemos un número $x$ y queremos saber de qué número $t$ es su logaritmo [natural], $x=\ln(t)$ : sería tan fácil como hallar $t=e^x$ . Sin embargo, supongamos que tenemos una calculadora muy básica que solo suma, resta, divide y multiplica; no tiene necesariamente potencias y el número $e$ ni está, la típica calculadora en cotabilidad. ¿Cómo hallaríamos la solución? La solución viene dado por una serie de polinomios logarítmicos (donde podemos obtener el grado de aproximación que queramos con una suma parcial): $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ln^n(x) = x \qquad \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\ln^n(x) = \frac{1}{x}$$ Es más, siguiendo este resultado, uno puede ver cómo expresar cualquier polinomio “clásico” de grado $N$ , $P_N(x)$ , con coeficientes $\big(a_k\big)_{k=0}^N$ , como un polinomio logarítmico_$$P_N(x) = \sum_{k=0}^N a_k x^k = \sum_{k=0}^N a_k \sum_{n=0}^\infty \frac{k^n}{n!}\ln^n(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\ln^n(x)}{n!}\sum_{k=0}^N a_k k^n$$ ¿Cómo se obtienen estas relaciones? Muchas se sacan usando series de Taylor y sustituyendo $x\mapsto\ln(t)$ . Por ejemplo si tomamos la del coseno y seno hiperbólicos:
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n)!}\ln^{2n}(x) = \frac{x^2+1}{2x} \qquad \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)!}\ln^{2n+1}(x) = \frac{x^2-1}{2x}$$Es más, siquiendo este razonamiento uno puede hallar una expresión cerrada en términos únicamente de logaritmos del logaritmo integral: $\displaystyle \operatorname{li} \overset{\text{def}}{=}―\hspace{-11.5pt}\int_0^x \frac{1}{\ln t} \;\text{d}t$ a través de la expresión $\operatorname{li}(x)\triangleq\operatorname{Ei}\big(\ln(x)\big)$ , de una función íntimamente relacionada, la exponencial integral $\displaystyle \operatorname{Ei}(x) \overset{\text{def}}{=}―\hspace{-11.5pt}\int_{-\infty}^x\frac{e^t}{t}\;\text{d}t$ : $$\operatorname{li}(x) = \gamma+\ln\!\big|\!\ln(x)\big| + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \, n!}\ln^n(x)$$ Uno puede ver fácilmente que lo que hemos estado haciendo hasta hora es buscar expresiones “bomitas” que tengan alguna exponencial de por medio, y haciendo un cambio de variable tontorrón obtenemos expresiones en términos que nos interesan, es decir, pasamos de series polinómicas en $ \mathbb{R}[x]$ tras un cambio de variable a series polinómicas logarítmicamente en $ \mathbb{R}\big[\ln(t)\big] \cong \mathbb{R}[x]/(t-e^x) \cong \mathbb{R}[x]/\big(\ln(t)-x\big) $ . Es más, $\big\{ \ln^k(t) \big\}_{k=0}^N$ conforman una base de $\mathbb{C}_N\big[\ln(t)\big]$ para cualquier $N$ .
Además esto es tan importante que en notación asitótica si uno pone una virgulilla, $ \widetilde{\mathcal{O}} , \widetilde{ {\scriptstyle \mathcal{O}} }, \widetilde{\Omega},\cdots$ , significa que no está acotado por dicha función como tal sino como dicha función por la $\alpha$-ésima potencia del logaritmo de dicha función para algún $\alpha$ , es decir: $$g(x) \in \widetilde{\mathcal{O}}\Big(f(x)\Big) \!\overset{\;\Delta}{\iff} g(x) \in \mathcal{O}\Big(f(x)\,\ln^\alpha\!\!\big(f(x)\big)\Big) \\ g(x) \in \widetilde{{\scriptstyle \mathcal{O}}}\Big(f(x)\Big) \!\overset{\;\Delta}{\iff} g(x) \in {\scriptstyle \mathcal{O}}\Big(f(x)\,\ln^\alpha\!\!\big(f(x)\big)\Big) \\ g(x) \in \widetilde{\Omega}\Big(f(x)\Big) \!\overset{\;\Delta}{\iff} g(x) \in \Omega\Big(f(x)\,\ln^\alpha\!\!\big(f(x)\big)\Big)$$ Veamos dos ejemplos

1. El algoritmo bitonic sort tiene un coste operacional de $\widetilde{\mathcal{O}}(n)$ , en particular, de $\mathcal{O}\Big(n\ln^2(n)\Big)$ .
2. El estimador de medianas repetidas (Spiegel): por fuerza bruta tiene un coste operativo de $\mathcal{O}(n^2) \subsetneq \widetilde{\mathcal{O}}(n^2)$ ; usando téctinas sofisticadas, $\mathcal{O}\big(n \ln^2(n)\big) \subsetneq \widetilde{\mathcal{O}}(n)$ ; en tiempo esperado randomizado, $\mathcal{O}\big(n \ln(n)\big) \subsetneq \widetilde{\mathcal{O}}(n)$ ; pero en un algoritmo on-line con un tiempo de actualización $\mathcal{O}\big(n\big) \subsetneq \widetilde{\mathcal{O}}(n)$ .

Un alumno de matemáticas ya se estará preguntando cómo aplicar esto y a raíz de qué sale este artículo. El Teorema de Aproximación polinómica de Weierstraß nos asegura que para una función continua $f(x)$ en el compacto $I=[a,b]\subset\mathbb{R}$ existe una sucesión de polinomios “clásicos” $ \big\{P_n(x)\big\}_{n=1}^\infty$ que converge uniformemente en $I$ hacia $f(x)$ (se pueden tomar una subsucesión de estos polinomios “clásicos” para que sean de grado ascendente estrictamente) . En particular, dado $\varepsilon > 0$ , existe un polinomio “clásico” $P(x)$ tal que: $$\Big|f(x) − P(x)\Big| < \varepsilon \qquad \forall x\in I=[a,b]$$ Es decir, que si repetimos el cambio de variable $x\mapsto\ln(t)$ , y denotando $\varphi(t) = f\big(\ln(t)\big) = \big(f\circ\ln\big)(t) $ $$\Big|\varphi(t) − P\big(\ln(t)\big)\Big| < \varepsilon \qquad \forall t\in J=e^I=\big[e^a,e^b\big] \iff \ln(t)\in I$$ El razonamiento que hemos hecho aquí es muy similar al que se suele hacer para introducir los polinomios trigonométricos, sin embargo, en estos últimos se sustituía la $n$-ésima potencia por el $n$-ésimo armónico (ya que el $n$-ésima potencia se podía escribir como una suma de los $k$-ésimos armónicos con $k=1,\cdots,n$ y es más fácil entender y trabajar con una onda como suma de armónicos) . Con los logaritmos no podemos hacer lo mismo ya que $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$ por lo que tenemos que $ \big\{ \ln(kt) \big\}_{k=1}^N \cong \{1\} \cup\hspace{ -6.5pt }\raise-.25ex{\shortmid}\hspace{3pt} \{\ln t\}$ . Como último comentario hay ciertas propiedades compartidas: tanto la serie de Taylor de un polinomio “clásico” como la serie de Fourier de un polinomio trigonométrico tienen un número finito de términos, asimismo con un polinomio logarítmico con su expansión logarítmica. Sin embargo, si bien la derivada y/o la integral de un polinomio “clásico” y de un polinomio trigonométrico siguen siendo un polinomio “clásico” y de un polinomio trigonométrico (respectivamente), no se conserva para polinomios logarítmicos: $$ \frac{\text{d}}{\text{d}x} \ln^N(x) = N\frac{\ln^{N-1}(x)}{x} \qquad \int \ln^N(x)\;\text{d}x = x\sum_{k=0}^N (-1)^{N-k} \frac{N!}{k!}\ln^k(x)$$ Las series logarítmicas tienen un estudio en el intervalo $t\in\left[\frac{1}{e},e\right]\implies\ln(t)\in[-1,1]$ muy útil y fácilmente manejable (tipos de convergencia): $$\Bigg| \sum_{n=0}^\infty \lambda_n \ln^n(x) \Bigg| \leqslant \sum_{n=0}^\infty \Big|\lambda_n \ln^n(x) \Big| \leqslant \sum_{n=0}^\infty |\lambda_n |$$ Como curiosidad, se puede expresar la exponencial, $e^t$ , como una doble serie logarítmica. Es más, si una función tiene desarrollo de Taylor, se puede expresar como una serie logarítmica: $$e^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!} \ln^k(t)$$

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.