Los logaritmos son un invento matemático de princpios del $\text{siglo XVII}$ creados para agilizar la multiplicación. Sin embargo, no se empezaron a usar inmediatamente, al menos no hasta que Henry Briggs ($1561-1630$) simplificó el trabajo de John Napier of Merchiston ($1550-1617$), el inventor de los logaritmos neperianos. ¿Qué usaban antes? Hacer cuentas en un ábaco o a mano ya estaban presentes desde la Edad Media, pero no eran especialmente rápidas, o al menos para cálculos ágiles. Entonces, ¿qué utilizaban los ingenieros de Felipe II, Isabel I, Guillermo de Orange, o Soleimán el Magnífico para multiplicar llevando muchos números, de varias cifras, rápidamente y de una manera efectiva?
Los teoremas (o fórmulas) de seno y coseno de ángulo suma y diferencia son, en su formulación usual, matricial y compleja (que nos dicen que girar un ángulo de $\varphi_1 \pm \varphi_2$ es equivalente a girar primero $\varphi_1$ y luego $\pm\varphi_2$ ): $$ \sin(\varphi_1 \pm \varphi_2) = \sin\varphi_1\cos\varphi_2 \pm \cos\varphi_1\sin\varphi_2 \\ \cos(\varphi_1 \pm \varphi_2) = \cos\varphi_1\cos\varphi_2 \mp \sin\varphi_1\sin\varphi_2 \\ \begin{pmatrix} \cos(\varphi_1 + \varphi_2) & -\sin(\varphi_1 + \varphi_2) \\ \sin(\varphi_1 + \varphi_2) & \cos(\varphi_1 + \varphi_2) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\varphi_2 & -\sin\varphi_2 \\ \sin\varphi_2 & \cos\varphi_2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos\varphi_1 & -\sin\varphi_1 \\ \sin\varphi_1 & \cos\varphi_1 \\ \end{pmatrix} \\ e^{\pm \text{í}\varphi_2} e^{\text{í}\varphi_1}=\text{cís}(\pm\varphi_2)\text{cís}(\varphi_1) = \big(\cos\varphi_2\pm\text{í}\sin\varphi_2\big)\big(\cos\varphi_1+\text{í}\sin\varphi_1\big) = \cos(\varphi_1\pm\varphi_2)+\text{í}\sin(\varphi_1\pm\varphi_2)=\text{cís}(\varphi_1\pm\varphi_2)= e^{ \text{í}(\varphi_1\pm\varphi_2)} $$ Estas fórmulaS nos permiten relacionar razones trigonométricas de un ángulo descompuesto en suma o diferencia de otros dos, $\varphi_1 \pm \varphi_2$ , como una suma/difererencia de un producto de las razones trigonométricas de dichos ángulos componentes, es decir, de $\varphi_1$ y $\varphi_2$ .
Manipulando estas fórmulas llegamos a las fórmulas de Werner y de Simpson para la prostaféresis, que son identidades que permiten escribir un producto de trigonométricas en una suma o diferencia de trigonométricas.
Las fórmulas de Werner (de producto a suma), llamadas así por el astrónomo, matemático y geógrafo alemán Johannes Werner ( $1468-1522$ ), son: $$ \begin{matrix} 2 & \cos \varphi_1 & \cos \varphi_2 & = & +\cos(\varphi_1 - \varphi_2) & + \cos(\varphi_1 + \varphi_2) \\ 2 & \sin \varphi_1 & \sin \varphi_2 & = & +\cos(\varphi_1 - \varphi_2) & - \cos(\varphi_1 + \varphi_2) \\ 2 & \sin \varphi_1 & \cos \varphi_2 & = & +\sin(\varphi_1 - \varphi_2) & + \sin(\varphi_1 + \varphi_2) \\ 2 & \cos \varphi_1 & \sin \varphi_2 & = & -\sin(\varphi_1 - \varphi_2) & + \sin(\varphi_1 + \varphi_2) \end{matrix} $$ (Realmente las dos últimas son la misma.) La primera la descubrió el egipcio Ibn Yunus ( $c.950-1009$ ) [realmente dos de sus métodos para determinar el tiempo de altitud solar o de estrellas eran equivalentes a esa identidad trigonométrica], pero hubo que esperar al Renacimiento cuando el relojero y matemático suizo Jost Bürgi ( $1552-1632$ ) redescubriera la primera, y hallase la segunda. Bürgi ideó un algoritmo, Kunstweg («camino del arte» en alemán) para calcular senos [y cosenos] en su libro Canon Sinuum ( $1586$ ) con una precisión arbitraria de cualquier ángulo. Como curiosidad este sería uno de los inicios/predecesores del cálculo en diferencias (la variente “discreta” del cálculo diferencial). ¿Para qué podía querer incluso $6$ cifras decimales de un seno? Porque ideó (o más bien generalizó y popularizó) un algoritmo para multiplicar números que hacía uso de razones trigonométricas: la prostaféresis.
La propia palabra prostaféresis es un oxímoron: viene del latín prosthaphaeresis , y este del griego προσθαφαίρεσις (prosthaphaíresis), que es una combinación de πρόσθεσις (prósthesis «suma») derivado de προστίθημι/πρός τίθημι (prostíthēmi/prós títhēmi «yo sumo/yo coloco adelante»), y de ἀφαίρεσις (aphaíresis «resta») derivado de ἀφαιρέω/ἀπό αἱρέω (aphairéō/apó hairéō «yo resto/yo quito, yo retiro»). El algoritmo prostaferético se llama así porque suma y resta a la vez, dos pasos en el proceso.
¿Cómo funciona la algoritmia? Vamos a usar la Identidad de Ibn Yunus - Bürgi, producto de cosenos como suma de cosenos de ángulo diferencia y suma, $2 \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 = +\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + \cos(\varphi_1 + \varphi_2) $ . Supongamos que tenemos dos números, $x$ e $y$ , y queremos hallar su producto, $x\cdot y$ . Primero hay que reescalar los números hasta que pertenezcan al intervalo $[0,1]$ . ¿Cómo? Basta con dividir entre $10$ tantas veces como sea necesario ( $\lceil\lg(x)\rceil$ y $\lceil\lg(y)\rceil$ veces respectivamente), llamémoslos $x^\star$ y $y^\star$ . Ahora se halla los ángulos $\varphi_1$ y $\varphi_2$ tales que $\displaystyle \left. \begin{matrix} \cos(\varphi_1) & = & x^\star \\ \cos(\varphi_2) & = & y^\star \\ \hline \end{matrix} \right\} $ (los arcos [en la circunferencia goniométrica] $\varphi_1$ y $\varphi_2$ cuyos cosenos valen $x^\star$ e $y^\star$ respectivamente, es decir, $\arccos(x^\star)$ y $\arccos(y^\star)$ respectivamente). ¿Cómo? Con una mera búsqueda inversa en una tabla de razones trigonométricas (de ahí la necesidad de tener tablas muy precisas). Ahora con los ángulos $\varphi_1$ y $\varphi_2$ , calculamos (a mano normalmente) el ángulo diferencia, $\varphi_1-\varphi_2$ , y el suma, $\varphi_1+\varphi_2$ . Entonces volvemos a usar las tablas de las razones trigonométricas, ahora con una búsqueda directa, para hallar $\cos(\varphi_1+\varphi_2)$ y para $\cos(\varphi_1-\varphi_2)$ . Ya solo hay que calcular la semisuma de estos valores (media), es decir, $\displaystyle \frac{\cos(\varphi_1-\varphi_2)+\cos(\varphi_1+\varphi_2)}{2}$ . ¿Ya hemos terminado? Casi. Hemos calculado el producto , $x^\star\cdot y^\star$ , de dos números reescalados, de $x^\star$ y de $y^\star$ , por lo que hay que deescalarlos de vuelta, “cambiando de posición la coma decimal” ( $\lceil\lg(x)\rceil + \lceil\lg(y)\rceil$ veces ). Es decir, un esquema de lo que hemos hecho es: $$ \begin{matrix} \{x,y\} & \longrightarrow & x\cdot y \\ \underset{\text{Reescala}}{\Downarrow} & & \underset{\text{Deescala}}{\Uparrow} \\ \{x^\star,y^\star\} & \overset{\text{Prostaféresis}}{\implies} & x^\star\cdot y^\star \end{matrix} $$ ¿Por qué se usaba este algoritmo si parece enrevesado? Parece mucho más enrevesado de lo que realmente es: lo más complicado es dividir entre $2$ ,y luego hacer dos sumas y una resta (puede que llevando todas), mientras que la multiplición sí que sería llevando y habría que sumar llevando los sucesivos productos intermedios (tantos como cifras tenga el factor multiplicador).
Una vez que uno adquiere cierta soltura es muy directo y fácil de aplicar, la única limitación es cómo de buenas sean las tablas de razones trigonométricas de donde se saquen los resultados (aunque hay formas de mejorar el resultado aun no teniendo unas muy buenas). La prostaféresis como algoritmo más o menos generalizado surgió $c.1589$ (Bürgi explicó posteriormente cómo funcionaba su Kunstweg en su Fundamentum Astronomiae de $1592$ ) y tuvo reconomiento durante un cuarto de siglo (y siguió en uso pero no tanto) hasta que en $1614$ John Napier publicó su tabla de logaritmos y para agilizar aún más este proceso (ya que solo habría que hacer una mera suma y era más intuitivo). Sin embargo, tanto Bürgi, padre de la prostaféresis y quien descubrió los logaritmos (pero no publicó su descubrimiento), como Napier, inventor de los logaritmos neperianos, llegaron al concepto de aritmética logarítmica tras ser expertos de aritmética prostaferética.
Por último, las “identidades inversas” que se usaron en menor medida, las fórmulas de Simpson para la prostaféresis (de suma a producto), por el matemático inglés Thomas Simpson ( $1710-1761$ ). $$ \begin{matrix} \sin\theta_1 & \pm & \sin \theta_2 & = &+2 &\displaystyle \sin \left(\frac{\theta_1 \pm \theta_2}{2} \right) &\displaystyle \cos \left(\frac{\theta_1 \mp \theta_2}{2} \right) \\ \cos \theta_1 & + & \cos \theta_2 & = &+2&\displaystyle \cos \left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) &\displaystyle \cos \left(\frac{\theta_1 - \theta_2}{2} \right) \\ \cos \theta_1 & - & \cos \theta_2& = & -2 &\displaystyle \sin \left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) &\displaystyle \sin \left(\frac{\theta_1 - \theta_2}{2} \right) \end{matrix}$$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Los teoremas (o fórmulas) de seno y coseno de ángulo suma y diferencia son, en su formulación usual, matricial y compleja (que nos dicen que girar un ángulo de $\varphi_1 \pm \varphi_2$ es equivalente a girar primero $\varphi_1$ y luego $\pm\varphi_2$ ): $$ \sin(\varphi_1 \pm \varphi_2) = \sin\varphi_1\cos\varphi_2 \pm \cos\varphi_1\sin\varphi_2 \\ \cos(\varphi_1 \pm \varphi_2) = \cos\varphi_1\cos\varphi_2 \mp \sin\varphi_1\sin\varphi_2 \\ \begin{pmatrix} \cos(\varphi_1 + \varphi_2) & -\sin(\varphi_1 + \varphi_2) \\ \sin(\varphi_1 + \varphi_2) & \cos(\varphi_1 + \varphi_2) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\varphi_2 & -\sin\varphi_2 \\ \sin\varphi_2 & \cos\varphi_2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos\varphi_1 & -\sin\varphi_1 \\ \sin\varphi_1 & \cos\varphi_1 \\ \end{pmatrix} \\ e^{\pm \text{í}\varphi_2} e^{\text{í}\varphi_1}=\text{cís}(\pm\varphi_2)\text{cís}(\varphi_1) = \big(\cos\varphi_2\pm\text{í}\sin\varphi_2\big)\big(\cos\varphi_1+\text{í}\sin\varphi_1\big) = \cos(\varphi_1\pm\varphi_2)+\text{í}\sin(\varphi_1\pm\varphi_2)=\text{cís}(\varphi_1\pm\varphi_2)= e^{ \text{í}(\varphi_1\pm\varphi_2)} $$ Estas fórmulaS nos permiten relacionar razones trigonométricas de un ángulo descompuesto en suma o diferencia de otros dos, $\varphi_1 \pm \varphi_2$ , como una suma/difererencia de un producto de las razones trigonométricas de dichos ángulos componentes, es decir, de $\varphi_1$ y $\varphi_2$ .
Manipulando estas fórmulas llegamos a las fórmulas de Werner y de Simpson para la prostaféresis, que son identidades que permiten escribir un producto de trigonométricas en una suma o diferencia de trigonométricas.
Las fórmulas de Werner (de producto a suma), llamadas así por el astrónomo, matemático y geógrafo alemán Johannes Werner ( $1468-1522$ ), son: $$ \begin{matrix} 2 & \cos \varphi_1 & \cos \varphi_2 & = & +\cos(\varphi_1 - \varphi_2) & + \cos(\varphi_1 + \varphi_2) \\ 2 & \sin \varphi_1 & \sin \varphi_2 & = & +\cos(\varphi_1 - \varphi_2) & - \cos(\varphi_1 + \varphi_2) \\ 2 & \sin \varphi_1 & \cos \varphi_2 & = & +\sin(\varphi_1 - \varphi_2) & + \sin(\varphi_1 + \varphi_2) \\ 2 & \cos \varphi_1 & \sin \varphi_2 & = & -\sin(\varphi_1 - \varphi_2) & + \sin(\varphi_1 + \varphi_2) \end{matrix} $$ (Realmente las dos últimas son la misma.) La primera la descubrió el egipcio Ibn Yunus ( $c.950-1009$ ) [realmente dos de sus métodos para determinar el tiempo de altitud solar o de estrellas eran equivalentes a esa identidad trigonométrica], pero hubo que esperar al Renacimiento cuando el relojero y matemático suizo Jost Bürgi ( $1552-1632$ ) redescubriera la primera, y hallase la segunda. Bürgi ideó un algoritmo, Kunstweg («camino del arte» en alemán) para calcular senos [y cosenos] en su libro Canon Sinuum ( $1586$ ) con una precisión arbitraria de cualquier ángulo. Como curiosidad este sería uno de los inicios/predecesores del cálculo en diferencias (la variente “discreta” del cálculo diferencial). ¿Para qué podía querer incluso $6$ cifras decimales de un seno? Porque ideó (o más bien generalizó y popularizó) un algoritmo para multiplicar números que hacía uso de razones trigonométricas: la prostaféresis.
La propia palabra prostaféresis es un oxímoron: viene del latín prosthaphaeresis , y este del griego προσθαφαίρεσις (prosthaphaíresis), que es una combinación de πρόσθεσις (prósthesis «suma») derivado de προστίθημι/πρός τίθημι (prostíthēmi/prós títhēmi «yo sumo/yo coloco adelante»), y de ἀφαίρεσις (aphaíresis «resta») derivado de ἀφαιρέω/ἀπό αἱρέω (aphairéō/apó hairéō «yo resto/yo quito, yo retiro»). El algoritmo prostaferético se llama así porque suma y resta a la vez, dos pasos en el proceso.
¿Cómo funciona la algoritmia? Vamos a usar la Identidad de Ibn Yunus - Bürgi, producto de cosenos como suma de cosenos de ángulo diferencia y suma, $2 \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 = +\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + \cos(\varphi_1 + \varphi_2) $ . Supongamos que tenemos dos números, $x$ e $y$ , y queremos hallar su producto, $x\cdot y$ . Primero hay que reescalar los números hasta que pertenezcan al intervalo $[0,1]$ . ¿Cómo? Basta con dividir entre $10$ tantas veces como sea necesario ( $\lceil\lg(x)\rceil$ y $\lceil\lg(y)\rceil$ veces respectivamente), llamémoslos $x^\star$ y $y^\star$ . Ahora se halla los ángulos $\varphi_1$ y $\varphi_2$ tales que $\displaystyle \left. \begin{matrix} \cos(\varphi_1) & = & x^\star \\ \cos(\varphi_2) & = & y^\star \\ \hline \end{matrix} \right\} $ (los arcos [en la circunferencia goniométrica] $\varphi_1$ y $\varphi_2$ cuyos cosenos valen $x^\star$ e $y^\star$ respectivamente, es decir, $\arccos(x^\star)$ y $\arccos(y^\star)$ respectivamente). ¿Cómo? Con una mera búsqueda inversa en una tabla de razones trigonométricas (de ahí la necesidad de tener tablas muy precisas). Ahora con los ángulos $\varphi_1$ y $\varphi_2$ , calculamos (a mano normalmente) el ángulo diferencia, $\varphi_1-\varphi_2$ , y el suma, $\varphi_1+\varphi_2$ . Entonces volvemos a usar las tablas de las razones trigonométricas, ahora con una búsqueda directa, para hallar $\cos(\varphi_1+\varphi_2)$ y para $\cos(\varphi_1-\varphi_2)$ . Ya solo hay que calcular la semisuma de estos valores (media), es decir, $\displaystyle \frac{\cos(\varphi_1-\varphi_2)+\cos(\varphi_1+\varphi_2)}{2}$ . ¿Ya hemos terminado? Casi. Hemos calculado el producto , $x^\star\cdot y^\star$ , de dos números reescalados, de $x^\star$ y de $y^\star$ , por lo que hay que deescalarlos de vuelta, “cambiando de posición la coma decimal” ( $\lceil\lg(x)\rceil + \lceil\lg(y)\rceil$ veces ). Es decir, un esquema de lo que hemos hecho es: $$ \begin{matrix} \{x,y\} & \longrightarrow & x\cdot y \\ \underset{\text{Reescala}}{\Downarrow} & & \underset{\text{Deescala}}{\Uparrow} \\ \{x^\star,y^\star\} & \overset{\text{Prostaféresis}}{\implies} & x^\star\cdot y^\star \end{matrix} $$ ¿Por qué se usaba este algoritmo si parece enrevesado? Parece mucho más enrevesado de lo que realmente es: lo más complicado es dividir entre $2$ ,y luego hacer dos sumas y una resta (puede que llevando todas), mientras que la multiplición sí que sería llevando y habría que sumar llevando los sucesivos productos intermedios (tantos como cifras tenga el factor multiplicador).
Una vez que uno adquiere cierta soltura es muy directo y fácil de aplicar, la única limitación es cómo de buenas sean las tablas de razones trigonométricas de donde se saquen los resultados (aunque hay formas de mejorar el resultado aun no teniendo unas muy buenas). La prostaféresis como algoritmo más o menos generalizado surgió $c.1589$ (Bürgi explicó posteriormente cómo funcionaba su Kunstweg en su Fundamentum Astronomiae de $1592$ ) y tuvo reconomiento durante un cuarto de siglo (y siguió en uso pero no tanto) hasta que en $1614$ John Napier publicó su tabla de logaritmos y para agilizar aún más este proceso (ya que solo habría que hacer una mera suma y era más intuitivo). Sin embargo, tanto Bürgi, padre de la prostaféresis y quien descubrió los logaritmos (pero no publicó su descubrimiento), como Napier, inventor de los logaritmos neperianos, llegaron al concepto de aritmética logarítmica tras ser expertos de aritmética prostaferética.
Por último, las “identidades inversas” que se usaron en menor medida, las fórmulas de Simpson para la prostaféresis (de suma a producto), por el matemático inglés Thomas Simpson ( $1710-1761$ ). $$ \begin{matrix} \sin\theta_1 & \pm & \sin \theta_2 & = &+2 &\displaystyle \sin \left(\frac{\theta_1 \pm \theta_2}{2} \right) &\displaystyle \cos \left(\frac{\theta_1 \mp \theta_2}{2} \right) \\ \cos \theta_1 & + & \cos \theta_2 & = &+2&\displaystyle \cos \left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) &\displaystyle \cos \left(\frac{\theta_1 - \theta_2}{2} \right) \\ \cos \theta_1 & - & \cos \theta_2& = & -2 &\displaystyle \sin \left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \right) &\displaystyle \sin \left(\frac{\theta_1 - \theta_2}{2} \right) \end{matrix}$$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
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