Estamos en el año 2021 después de Jesucristo. Toda Europa está ocupada por el sistema decimal… ¿Toda? ¡No! Una aldea poblada por irreductibles galos resiste, todavía y como siempre, al invasor. [...]
Recordemos primero que uno y uno son dos independientemente de la lengua en la que nos comuniquemos y del sistema de numeración que usemos. Uno y uno son dos siempre y lo son independientemente de y en este artículo. Otra cosa es cómo representemos “1” o “2” y cómo veamos las asociaciones de los números a la hora de ordenarlos y organizarlos (decena, docena, quincena, veintena,...) El otro día un profesor mío, resolviendo un problema en el que descomponíamos un número según su expresión decimal, dijo -¿Por qué usamos el sistema decimal? [Extendió sus manos] Porque tenemos diez dedos.
Esta afirmación, obviando amputados y polidáctiles, es cierta aunque subjetiva a la cultura: realmente en español uno tiene 20 dedos, pero en inglés los pulgares (thumbs) no se consideran dedos de la mano (fingers) que distinguen claramente de los dedos de los pies (toes). Entonces, ¿por qué no usan o bien un sistema de numeración binario (\{0,1\}) o bien uno octal (\{0,1,2,3,4,5,6,7\})? Es más, si usamos un sistema decimal, 10 , ¿por qué usamos uno duodecimal, 12 , para contar huevos y agujas? Es decir, ¿por qué usamos docenas y gruesas (docenas de docenas) y no todo en la misma base? Es una pregunta difícil. En Tagalo (lengua mayoritaria en Filipinas), por ejemplo, se utilizan los números en español para las horas y temas de dinero, mientras que usan los numerales prehispánicos para el resto de cosas. Incluso, hay lenguas en Papúa Nueva Guinea que usan un sistema de numeración ternaria, 3 , para contar ciertos objetos, mientras que utilizan uno cuaternario, 4 , para otros.
Veamos tres culturas con sistemas de numeración vigesimal, 20 : la azteca (nativa del valle de México-Anáhuac), la maya (nativa de la Península del Yucatán), ambas de Mesoamérica, y los celtas galos, de la Galia. Los galos usaban un sistema de numeración vigesimal, que pervivió a la conquista romana. Es más, todavía se pueden ver vestigios en francés (aunque en Bélgica y Suiza han desaparecido las formas vigesimales por otras decimales). Veamos una comparación:
\begin{matrix} \text{Número} & \text{Azteca (Náhuatl Clásico)} & \text{Maya yucateco} & \text{Francés} \\ 0 & - & - & \text{zéro} \\ 1 & \text{ce} & \text{hun} & \text{un} \\ 2 & \text{ōme} & \text{ka’ah} & \text{deux} \\ 3 & \text{ēyi} & \text{óox} & \text{trois} \\ 4 & \text{nāhui} & \text{kan} & \text{quatre} \\ 5 & \text{mācuīlli} & \text{ho’} & \text{cinq} \\ 6 & \text{chicuace} (5 \& 1) & \text{wak} & \text{six} \\ 7 & \text{chicōme} (5 \& 2) & \text{uk} & \text{sept} \\ 8 & \text{chicuēyi} (5 \& 3) & \text{waxak} & \text{huit} \\ 9 & \text{chiucnāhui} (5 \& 4) & \text{bolon} & \text{neuf} \\ 10 & \text{mahtlāctli} & \text{lahun} & \text{dix} \\ 11 & \text{mahtlāctli once} (10 \& 1) & \text{buluk} (9\& 2) & \text{onze} \\ 12 & \text{mahtlāctli omōme} (10 \& 2) & \text{lahkaʼa} (10\& 2) & \text{douze} \\ 13 & \text{mahtlāctli omēyi} (10 \& 3) & \text{óox lahun} (3\& 10) & \text{treize} \\ 14 & \text{mahtlāctli onnāhui} (10 \& 4) & \text{kan lahun} (4\& 10) & \text{quatorze} \\ 15 & \text{caxtōlli} & \text{ho’ lahun} (5\& 10) & \text{quinze} \\ 16 & \text{caxtōlli once} (15 \& 1) & \text{wak lahun} (6\& 10) & \text{seize} \\ 17 & \text{caxtōlli} (15 \& 2) & \text{uk lahun} (7\& 10) & \text{dix-sept (10 & 7)} \\ 18 & \text{caxtōlli omōme} (15 \& 3) & \text{waxak lahun} (8\& 10) & \text{dix-huit (10 & 8)} \\ 19 & \text{caxtōlli onnāhui} (15 \& 4) & \text{bolon lahun} (9\& 10) & \text{dix-neuf (10 & 9)} \\ 20 & \text{cempōhualli} (1\cdot 20^1) & \text{hun kʼáal} (1\cdot 20^1) & \text{vingt} \\ 40 & \text{ōmpōhualli} (2\cdot 20^1) & \text{ka’ kʼáal} (2\cdot 20^1) & \text{quarante} \textit{(*deux vins)} \\ 60 & \text{ēyipōhualli} (3\cdot 20^1) & \text{óox kʼáal} (3\cdot 20^1) & \text{soixante} \textit{(*trois vins)} \\ 80 & \text{nāppōhualli}(4\cdot 20^1) & \text{kan kʼáal} (4\cdot 20^1) & \text{quatre-vingts} (4\cdot 20^1) \\ 100=10^2 & \text{mācuīlpōhualli} (5\cdot 20^1) & \text{ho’ kʼáal} (5\cdot 20^1) & \text{cent} \\ 400= 20^2 & \text{centzontli} (1\cdot 20^2) & \text{hun bak} (1\cdot 20^2) & \text{quatre-cents} \\ 8.000= 20^3 & \text{cenxiquipilli} (1\cdot 20^3) & \text{hun pik} (1\cdot 20^3) & \text{huit-mil} \\ 160.000= 20^4 & \text{cempōhualxiquipilli} (1\cdot 20^1\cdot 20^3) & \text{hun calab} (1\cdot 20^4) & \text{cent soixante mille} \\ 3.200.000 = 20^5 & \text{centzonxiquipilli} (1\cdot 20^2\cdot 20^3) & \text{hun kinchil} (1\cdot 20^5) & \text{trois millions deux cent mille} \\ 64.000.000= 20^6 & \text{cexiquipilxiquipilli} (1\cdot 20^3\cdot20^3 ) & \text{hun alau} (1\cdot 20^6) & \text{soixante quatre millions} \\ 1.280.000.000= 20^7 & \textit{centzontltzonxiquipilli} (1\cdot 20^2\cdot20^{2+3}) & \text{hun hablat} (1\cdot 20^7) & \text{un milliard deux cent quatre-vingts millions} \\ \end{matrix} La palabra en nahuált para 20^6 lo he visto como cempōhualtzonxiquipilli, 1\cdot 20^1\cdot20^{2+3} , o como cexiquipilxiquipilli , 1\cdot 20^3\cdot20^3 . Se forma similar en español se tiene diez (10^1), cien (10^2), mil (10^3), diez mil (10^4), cien mil (10^5), millón (10^6), y algunos que ya suben drásticamente de órdenes de magnitud como millardo (10^9), billón (10^{12}), billardo (10^{15}), trillón (10^{18}), …
La lengua y la cultura afecta a cómo nos comunicamos, por ejemplo en lengua azteca «ciempiés» es “centzommāyeh” que significa «el que tiene 400 brazos/manos».
El sistema de numeración vigesimal necesita 20 cifras diferentes para representar cualquier número (de ahí su nombre), que normalmente usa \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\} . Lo bueno de tener un sistema de numeración vigesimal es que se suelen necesitar menos cantidad de cifras que en uno decimal para representar el mismo número (y que 20 tiene más divisores que 10, por lo que entre otras cosas uno puede dividir 20 entre 4 con resto 0 , pero no puede hacer lo mismo con 10, es decir, con base 20 uno puede sibdividir en grupos de 4 y con base 10 , no ), por ejemplo 2021=2\cdot10^3+0\cdot10^2+2\cdot10^1+1\cdot10^0=5\cdot20^2+1\cdot20^1+1\cdot20^0 , por lo que {2021}_{10}={511}_{20} (ambos números representan la misma cantidad, solo en diferente base de numeración, por ejemplo en binario sería {11.111.100.101}_2) .
Poder elegir una base correcta es muy útil según la situación, por ejemplo un veinteavo en base decimal es {0\text{'}05}_{10} , mientras que en base vigesimal es {0\text{'}1}_{20} (con la mitad de cifras tras la coma). Es más, un medio en sistema de numeración decimal es {0\text{'}5}_{10} , en sistema vigesimal {0\text{'}A}_{20} , y en sistema ternario {0\text{'}\overline{1}}_{3} (que es periódico) , mientras que un tercio es en sistema de numeración decimal es {0\text{'}\overline{3}}_{10} , en sistema vigesimal {0\text{'}\overline{6D}}_{20} , y en sistema ternario {0\text{'}1}_{3} (que no es periódico).
Elegir un sistema de numeración u otro al final viene a raíz de ver cuál es más útil a la hora de hacer ciertas cuantas, sobre todo divisiones. Normalmente se buscan números con muchos divisores pero no muy grandes (se suele por lo general evitar números primos medianos o grandes como 11,13,17,19,\cdots ya que solo son divisibles entre 1 y sí mismos). Veamos algunos ejemplos: \begin{matrix} D(2) & = & \{1,2\} \\ D(3) & = & \{1,3\} \\ D(10) & = & \{1,2,5,10\} \\ D(12) & = & \{1,2,3,4,6,12\} \\ D(20) & = & \{1,2,4,5,10,20\} \\ D(60) & = & \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} \\ D(100) & = & \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100\} \\ D(240) & = & \{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240\} \\ D(252) & = & \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252\} \\ D(960) & = & \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 160, 192, 240, 320, 480, 960\} \\ D(1.000) & = & \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1.000\} \\ D(1.008) & = & \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 112, 126, 144, 168, 252, 336, 504, 1.008\} \\ \end{matrix} Para ponerlo un poco en contexto los ordenadores usan el binario, aunque algunos en los inicios usaron el ternario; el sistema decimal es al que estamos habituados, y en menor medida el duodecimal; el vigesimal tiene dos divisores más que el decimal y es sobre el que va este artículo. Los babilonios usaban el sistema sexagesimal (de ahí que los minutos y segundos vayan de 60 en 60); el de 240 y 960 se usaba más o menos en Gran Bretaña hasta 1971 cuando la libra estaba dividida en 240 peniques (a través de una libra 20 chelines, y un chelín 12 peniques) o en 960 farthings (un penique 4 farthings). Hasta el \text{siglo XIX} a veces también se usaban las guineas (al cambio una guinea 21 chelines, es decir, una libra y un chelín), tal que una guinea eran 252 peniques o 1.008 farthings. Dada las diferentes formas en las que se podía subdividir era muy útil, aunque no tan trivial poder pasar de una subunidad a una supraunidad (a no ser que el sistema de numeración que tuviesen para representar esos números también siguiera ese esquema). En parte por ello en 1971 se decimalizó la libra esterñona pasando a 1£=100p .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Recordemos primero que uno y uno son dos independientemente de la lengua en la que nos comuniquemos y del sistema de numeración que usemos. Uno y uno son dos siempre y lo son independientemente de y en este artículo. Otra cosa es cómo representemos “1” o “2” y cómo veamos las asociaciones de los números a la hora de ordenarlos y organizarlos (decena, docena, quincena, veintena,...) El otro día un profesor mío, resolviendo un problema en el que descomponíamos un número según su expresión decimal, dijo -¿Por qué usamos el sistema decimal? [Extendió sus manos] Porque tenemos diez dedos.
Esta afirmación, obviando amputados y polidáctiles, es cierta aunque subjetiva a la cultura: realmente en español uno tiene 20 dedos, pero en inglés los pulgares (thumbs) no se consideran dedos de la mano (fingers) que distinguen claramente de los dedos de los pies (toes). Entonces, ¿por qué no usan o bien un sistema de numeración binario (\{0,1\}) o bien uno octal (\{0,1,2,3,4,5,6,7\})? Es más, si usamos un sistema decimal, 10 , ¿por qué usamos uno duodecimal, 12 , para contar huevos y agujas? Es decir, ¿por qué usamos docenas y gruesas (docenas de docenas) y no todo en la misma base? Es una pregunta difícil. En Tagalo (lengua mayoritaria en Filipinas), por ejemplo, se utilizan los números en español para las horas y temas de dinero, mientras que usan los numerales prehispánicos para el resto de cosas. Incluso, hay lenguas en Papúa Nueva Guinea que usan un sistema de numeración ternaria, 3 , para contar ciertos objetos, mientras que utilizan uno cuaternario, 4 , para otros.
Veamos tres culturas con sistemas de numeración vigesimal, 20 : la azteca (nativa del valle de México-Anáhuac), la maya (nativa de la Península del Yucatán), ambas de Mesoamérica, y los celtas galos, de la Galia. Los galos usaban un sistema de numeración vigesimal, que pervivió a la conquista romana. Es más, todavía se pueden ver vestigios en francés (aunque en Bélgica y Suiza han desaparecido las formas vigesimales por otras decimales). Veamos una comparación:
\begin{matrix} \text{Número} & \text{Azteca (Náhuatl Clásico)} & \text{Maya yucateco} & \text{Francés} \\ 0 & - & - & \text{zéro} \\ 1 & \text{ce} & \text{hun} & \text{un} \\ 2 & \text{ōme} & \text{ka’ah} & \text{deux} \\ 3 & \text{ēyi} & \text{óox} & \text{trois} \\ 4 & \text{nāhui} & \text{kan} & \text{quatre} \\ 5 & \text{mācuīlli} & \text{ho’} & \text{cinq} \\ 6 & \text{chicuace} (5 \& 1) & \text{wak} & \text{six} \\ 7 & \text{chicōme} (5 \& 2) & \text{uk} & \text{sept} \\ 8 & \text{chicuēyi} (5 \& 3) & \text{waxak} & \text{huit} \\ 9 & \text{chiucnāhui} (5 \& 4) & \text{bolon} & \text{neuf} \\ 10 & \text{mahtlāctli} & \text{lahun} & \text{dix} \\ 11 & \text{mahtlāctli once} (10 \& 1) & \text{buluk} (9\& 2) & \text{onze} \\ 12 & \text{mahtlāctli omōme} (10 \& 2) & \text{lahkaʼa} (10\& 2) & \text{douze} \\ 13 & \text{mahtlāctli omēyi} (10 \& 3) & \text{óox lahun} (3\& 10) & \text{treize} \\ 14 & \text{mahtlāctli onnāhui} (10 \& 4) & \text{kan lahun} (4\& 10) & \text{quatorze} \\ 15 & \text{caxtōlli} & \text{ho’ lahun} (5\& 10) & \text{quinze} \\ 16 & \text{caxtōlli once} (15 \& 1) & \text{wak lahun} (6\& 10) & \text{seize} \\ 17 & \text{caxtōlli} (15 \& 2) & \text{uk lahun} (7\& 10) & \text{dix-sept (10 & 7)} \\ 18 & \text{caxtōlli omōme} (15 \& 3) & \text{waxak lahun} (8\& 10) & \text{dix-huit (10 & 8)} \\ 19 & \text{caxtōlli onnāhui} (15 \& 4) & \text{bolon lahun} (9\& 10) & \text{dix-neuf (10 & 9)} \\ 20 & \text{cempōhualli} (1\cdot 20^1) & \text{hun kʼáal} (1\cdot 20^1) & \text{vingt} \\ 40 & \text{ōmpōhualli} (2\cdot 20^1) & \text{ka’ kʼáal} (2\cdot 20^1) & \text{quarante} \textit{(*deux vins)} \\ 60 & \text{ēyipōhualli} (3\cdot 20^1) & \text{óox kʼáal} (3\cdot 20^1) & \text{soixante} \textit{(*trois vins)} \\ 80 & \text{nāppōhualli}(4\cdot 20^1) & \text{kan kʼáal} (4\cdot 20^1) & \text{quatre-vingts} (4\cdot 20^1) \\ 100=10^2 & \text{mācuīlpōhualli} (5\cdot 20^1) & \text{ho’ kʼáal} (5\cdot 20^1) & \text{cent} \\ 400= 20^2 & \text{centzontli} (1\cdot 20^2) & \text{hun bak} (1\cdot 20^2) & \text{quatre-cents} \\ 8.000= 20^3 & \text{cenxiquipilli} (1\cdot 20^3) & \text{hun pik} (1\cdot 20^3) & \text{huit-mil} \\ 160.000= 20^4 & \text{cempōhualxiquipilli} (1\cdot 20^1\cdot 20^3) & \text{hun calab} (1\cdot 20^4) & \text{cent soixante mille} \\ 3.200.000 = 20^5 & \text{centzonxiquipilli} (1\cdot 20^2\cdot 20^3) & \text{hun kinchil} (1\cdot 20^5) & \text{trois millions deux cent mille} \\ 64.000.000= 20^6 & \text{cexiquipilxiquipilli} (1\cdot 20^3\cdot20^3 ) & \text{hun alau} (1\cdot 20^6) & \text{soixante quatre millions} \\ 1.280.000.000= 20^7 & \textit{centzontltzonxiquipilli} (1\cdot 20^2\cdot20^{2+3}) & \text{hun hablat} (1\cdot 20^7) & \text{un milliard deux cent quatre-vingts millions} \\ \end{matrix} La palabra en nahuált para 20^6 lo he visto como cempōhualtzonxiquipilli, 1\cdot 20^1\cdot20^{2+3} , o como cexiquipilxiquipilli , 1\cdot 20^3\cdot20^3 . Se forma similar en español se tiene diez (10^1), cien (10^2), mil (10^3), diez mil (10^4), cien mil (10^5), millón (10^6), y algunos que ya suben drásticamente de órdenes de magnitud como millardo (10^9), billón (10^{12}), billardo (10^{15}), trillón (10^{18}), …
La lengua y la cultura afecta a cómo nos comunicamos, por ejemplo en lengua azteca «ciempiés» es “centzommāyeh” que significa «el que tiene 400 brazos/manos».
El sistema de numeración vigesimal necesita 20 cifras diferentes para representar cualquier número (de ahí su nombre), que normalmente usa \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\} . Lo bueno de tener un sistema de numeración vigesimal es que se suelen necesitar menos cantidad de cifras que en uno decimal para representar el mismo número (y que 20 tiene más divisores que 10, por lo que entre otras cosas uno puede dividir 20 entre 4 con resto 0 , pero no puede hacer lo mismo con 10, es decir, con base 20 uno puede sibdividir en grupos de 4 y con base 10 , no ), por ejemplo 2021=2\cdot10^3+0\cdot10^2+2\cdot10^1+1\cdot10^0=5\cdot20^2+1\cdot20^1+1\cdot20^0 , por lo que {2021}_{10}={511}_{20} (ambos números representan la misma cantidad, solo en diferente base de numeración, por ejemplo en binario sería {11.111.100.101}_2) .
Poder elegir una base correcta es muy útil según la situación, por ejemplo un veinteavo en base decimal es {0\text{'}05}_{10} , mientras que en base vigesimal es {0\text{'}1}_{20} (con la mitad de cifras tras la coma). Es más, un medio en sistema de numeración decimal es {0\text{'}5}_{10} , en sistema vigesimal {0\text{'}A}_{20} , y en sistema ternario {0\text{'}\overline{1}}_{3} (que es periódico) , mientras que un tercio es en sistema de numeración decimal es {0\text{'}\overline{3}}_{10} , en sistema vigesimal {0\text{'}\overline{6D}}_{20} , y en sistema ternario {0\text{'}1}_{3} (que no es periódico).
Elegir un sistema de numeración u otro al final viene a raíz de ver cuál es más útil a la hora de hacer ciertas cuantas, sobre todo divisiones. Normalmente se buscan números con muchos divisores pero no muy grandes (se suele por lo general evitar números primos medianos o grandes como 11,13,17,19,\cdots ya que solo son divisibles entre 1 y sí mismos). Veamos algunos ejemplos: \begin{matrix} D(2) & = & \{1,2\} \\ D(3) & = & \{1,3\} \\ D(10) & = & \{1,2,5,10\} \\ D(12) & = & \{1,2,3,4,6,12\} \\ D(20) & = & \{1,2,4,5,10,20\} \\ D(60) & = & \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} \\ D(100) & = & \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100\} \\ D(240) & = & \{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240\} \\ D(252) & = & \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252\} \\ D(960) & = & \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 160, 192, 240, 320, 480, 960\} \\ D(1.000) & = & \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1.000\} \\ D(1.008) & = & \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 112, 126, 144, 168, 252, 336, 504, 1.008\} \\ \end{matrix} Para ponerlo un poco en contexto los ordenadores usan el binario, aunque algunos en los inicios usaron el ternario; el sistema decimal es al que estamos habituados, y en menor medida el duodecimal; el vigesimal tiene dos divisores más que el decimal y es sobre el que va este artículo. Los babilonios usaban el sistema sexagesimal (de ahí que los minutos y segundos vayan de 60 en 60); el de 240 y 960 se usaba más o menos en Gran Bretaña hasta 1971 cuando la libra estaba dividida en 240 peniques (a través de una libra 20 chelines, y un chelín 12 peniques) o en 960 farthings (un penique 4 farthings). Hasta el \text{siglo XIX} a veces también se usaban las guineas (al cambio una guinea 21 chelines, es decir, una libra y un chelín), tal que una guinea eran 252 peniques o 1.008 farthings. Dada las diferentes formas en las que se podía subdividir era muy útil, aunque no tan trivial poder pasar de una subunidad a una supraunidad (a no ser que el sistema de numeración que tuviesen para representar esos números también siguiera ese esquema). En parte por ello en 1971 se decimalizó la libra esterñona pasando a 1£=100p .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
No hay comentarios:
Publicar un comentario