Estamos en el año $2021$ después de Jesucristo. Toda Europa está ocupada por el sistema decimal… ¿Toda? ¡No! Una aldea poblada por irreductibles galos resiste, todavía y como siempre, al invasor. [...]
Recordemos primero que uno y uno son dos independientemente de la lengua en la que nos comuniquemos y del sistema de numeración que usemos. Uno y uno son dos siempre y lo son independientemente de y en este artículo. Otra cosa es cómo representemos “$1$” o “$2$” y cómo veamos las asociaciones de los números a la hora de ordenarlos y organizarlos (decena, docena, quincena, veintena,...) El otro día un profesor mío, resolviendo un problema en el que descomponíamos un número según su expresión decimal, dijo -¿Por qué usamos el sistema decimal? [Extendió sus manos] Porque tenemos diez dedos.
Esta afirmación, obviando amputados y polidáctiles, es cierta aunque subjetiva a la cultura: realmente en español uno tiene $20$ dedos, pero en inglés los pulgares (thumbs) no se consideran dedos de la mano (fingers) que distinguen claramente de los dedos de los pies (toes). Entonces, ¿por qué no usan o bien un sistema de numeración binario ($\{0,1\}$) o bien uno octal ($\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$)? Es más, si usamos un sistema decimal, $10$ , ¿por qué usamos uno duodecimal, $12$ , para contar huevos y agujas? Es decir, ¿por qué usamos docenas y gruesas (docenas de docenas) y no todo en la misma base? Es una pregunta difícil. En Tagalo (lengua mayoritaria en Filipinas), por ejemplo, se utilizan los números en español para las horas y temas de dinero, mientras que usan los numerales prehispánicos para el resto de cosas. Incluso, hay lenguas en Papúa Nueva Guinea que usan un sistema de numeración ternaria, $3$ , para contar ciertos objetos, mientras que utilizan uno cuaternario, $4$ , para otros.
Veamos tres culturas con sistemas de numeración vigesimal, $20$ : la azteca (nativa del valle de México-Anáhuac), la maya (nativa de la Península del Yucatán), ambas de Mesoamérica, y los celtas galos, de la Galia. Los galos usaban un sistema de numeración vigesimal, que pervivió a la conquista romana. Es más, todavía se pueden ver vestigios en francés (aunque en Bélgica y Suiza han desaparecido las formas vigesimales por otras decimales). Veamos una comparación:
$$ \begin{matrix} \text{Número} & \text{Azteca (Náhuatl Clásico)} & \text{Maya yucateco} & \text{Francés} \\ 0 & - & - & \text{zéro} \\ 1 & \text{ce} & \text{hun} & \text{un} \\ 2 & \text{ōme} & \text{ka’ah} & \text{deux} \\ 3 & \text{ēyi} & \text{óox} & \text{trois} \\ 4 & \text{nāhui} & \text{kan} & \text{quatre} \\ 5 & \text{mācuīlli} & \text{ho’} & \text{cinq} \\ 6 & \text{chicuace} (5 \& 1) & \text{wak} & \text{six} \\ 7 & \text{chicōme} (5 \& 2) & \text{uk} & \text{sept} \\ 8 & \text{chicuēyi} (5 \& 3) & \text{waxak} & \text{huit} \\ 9 & \text{chiucnāhui} (5 \& 4) & \text{bolon} & \text{neuf} \\ 10 & \text{mahtlāctli} & \text{lahun} & \text{dix} \\ 11 & \text{mahtlāctli once} (10 \& 1) & \text{buluk} (9\& 2) & \text{onze} \\ 12 & \text{mahtlāctli omōme} (10 \& 2) & \text{lahkaʼa} (10\& 2) & \text{douze} \\ 13 & \text{mahtlāctli omēyi} (10 \& 3) & \text{óox lahun} (3\& 10) & \text{treize} \\ 14 & \text{mahtlāctli onnāhui} (10 \& 4) & \text{kan lahun} (4\& 10) & \text{quatorze} \\ 15 & \text{caxtōlli} & \text{ho’ lahun} (5\& 10) & \text{quinze} \\ 16 & \text{caxtōlli once} (15 \& 1) & \text{wak lahun} (6\& 10) & \text{seize} \\ 17 & \text{caxtōlli} (15 \& 2) & \text{uk lahun} (7\& 10) & \text{dix-sept (10 & 7)} \\ 18 & \text{caxtōlli omōme} (15 \& 3) & \text{waxak lahun} (8\& 10) & \text{dix-huit (10 & 8)} \\ 19 & \text{caxtōlli onnāhui} (15 \& 4) & \text{bolon lahun} (9\& 10) & \text{dix-neuf (10 & 9)} \\ 20 & \text{cempōhualli} (1\cdot 20^1) & \text{hun kʼáal} (1\cdot 20^1) & \text{vingt} \\ 40 & \text{ōmpōhualli} (2\cdot 20^1) & \text{ka’ kʼáal} (2\cdot 20^1) & \text{quarante} \textit{(*deux vins)} \\ 60 & \text{ēyipōhualli} (3\cdot 20^1) & \text{óox kʼáal} (3\cdot 20^1) & \text{soixante} \textit{(*trois vins)} \\ 80 & \text{nāppōhualli}(4\cdot 20^1) & \text{kan kʼáal} (4\cdot 20^1) & \text{quatre-vingts} (4\cdot 20^1) \\ 100=10^2 & \text{mācuīlpōhualli} (5\cdot 20^1) & \text{ho’ kʼáal} (5\cdot 20^1) & \text{cent} \\ 400= 20^2 & \text{centzontli} (1\cdot 20^2) & \text{hun bak} (1\cdot 20^2) & \text{quatre-cents} \\ 8.000= 20^3 & \text{cenxiquipilli} (1\cdot 20^3) & \text{hun pik} (1\cdot 20^3) & \text{huit-mil} \\ 160.000= 20^4 & \text{cempōhualxiquipilli} (1\cdot 20^1\cdot 20^3) & \text{hun calab} (1\cdot 20^4) & \text{cent soixante mille} \\ 3.200.000 = 20^5 & \text{centzonxiquipilli} (1\cdot 20^2\cdot 20^3) & \text{hun kinchil} (1\cdot 20^5) & \text{trois millions deux cent mille} \\ 64.000.000= 20^6 & \text{cexiquipilxiquipilli} (1\cdot 20^3\cdot20^3 ) & \text{hun alau} (1\cdot 20^6) & \text{soixante quatre millions} \\ 1.280.000.000= 20^7 & \textit{centzontltzonxiquipilli} (1\cdot 20^2\cdot20^{2+3}) & \text{hun hablat} (1\cdot 20^7) & \text{un milliard deux cent quatre-vingts millions} \\ \end{matrix} $$ La palabra en nahuált para $20^6$ lo he visto como cempōhualtzonxiquipilli, $1\cdot 20^1\cdot20^{2+3}$ , o como cexiquipilxiquipilli , $1\cdot 20^3\cdot20^3$ . Se forma similar en español se tiene diez ($10^1$), cien ($10^2$), mil ($10^3$), diez mil ($10^4$), cien mil ($10^5$), millón ($10^6$), y algunos que ya suben drásticamente de órdenes de magnitud como millardo ($10^9$), billón ($10^{12}$), billardo ($10^{15}$), trillón ($10^{18}$), …
La lengua y la cultura afecta a cómo nos comunicamos, por ejemplo en lengua azteca «ciempiés» es “centzommāyeh” que significa «el que tiene $400$ brazos/manos».
El sistema de numeración vigesimal necesita $20$ cifras diferentes para representar cualquier número (de ahí su nombre), que normalmente usa $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}$ . Lo bueno de tener un sistema de numeración vigesimal es que se suelen necesitar menos cantidad de cifras que en uno decimal para representar el mismo número (y que $20$ tiene más divisores que $10$, por lo que entre otras cosas uno puede dividir $20$ entre $4$ con resto $0$ , pero no puede hacer lo mismo con $10$, es decir, con base $20$ uno puede sibdividir en grupos de $4$ y con base $10$ , no ), por ejemplo $2021=2\cdot10^3+0\cdot10^2+2\cdot10^1+1\cdot10^0=5\cdot20^2+1\cdot20^1+1\cdot20^0$ , por lo que ${2021}_{10}={511}_{20}$ (ambos números representan la misma cantidad, solo en diferente base de numeración, por ejemplo en binario sería ${11.111.100.101}_2$) .
Poder elegir una base correcta es muy útil según la situación, por ejemplo un veinteavo en base decimal es ${0\text{'}05}_{10}$ , mientras que en base vigesimal es ${0\text{'}1}_{20}$ (con la mitad de cifras tras la coma). Es más, un medio en sistema de numeración decimal es ${0\text{'}5}_{10}$ , en sistema vigesimal ${0\text{'}A}_{20}$ , y en sistema ternario ${0\text{'}\overline{1}}_{3}$ (que es periódico) , mientras que un tercio es en sistema de numeración decimal es ${0\text{'}\overline{3}}_{10}$ , en sistema vigesimal ${0\text{'}\overline{6D}}_{20}$ , y en sistema ternario ${0\text{'}1}_{3}$ (que no es periódico).
Elegir un sistema de numeración u otro al final viene a raíz de ver cuál es más útil a la hora de hacer ciertas cuantas, sobre todo divisiones. Normalmente se buscan números con muchos divisores pero no muy grandes (se suele por lo general evitar números primos medianos o grandes como $11,13,17,19,\cdots$ ya que solo son divisibles entre $1$ y sí mismos). Veamos algunos ejemplos: $$ \begin{matrix} D(2) & = & \{1,2\} \\ D(3) & = & \{1,3\} \\ D(10) & = & \{1,2,5,10\} \\ D(12) & = & \{1,2,3,4,6,12\} \\ D(20) & = & \{1,2,4,5,10,20\} \\ D(60) & = & \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} \\ D(100) & = & \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100\} \\ D(240) & = & \{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240\} \\ D(252) & = & \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252\} \\ D(960) & = & \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 160, 192, 240, 320, 480, 960\} \\ D(1.000) & = & \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1.000\} \\ D(1.008) & = & \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 112, 126, 144, 168, 252, 336, 504, 1.008\} \\ \end{matrix} $$ Para ponerlo un poco en contexto los ordenadores usan el binario, aunque algunos en los inicios usaron el ternario; el sistema decimal es al que estamos habituados, y en menor medida el duodecimal; el vigesimal tiene dos divisores más que el decimal y es sobre el que va este artículo. Los babilonios usaban el sistema sexagesimal (de ahí que los minutos y segundos vayan de $60$ en $60$); el de $240$ y $960$ se usaba más o menos en Gran Bretaña hasta $1971$ cuando la libra estaba dividida en $240$ peniques (a través de una libra $20$ chelines, y un chelín $12$ peniques) o en $960$ farthings (un penique $4$ farthings). Hasta el $\text{siglo XIX}$ a veces también se usaban las guineas (al cambio una guinea $21$ chelines, es decir, una libra y un chelín), tal que una guinea eran $252$ peniques o $1.008$ farthings. Dada las diferentes formas en las que se podía subdividir era muy útil, aunque no tan trivial poder pasar de una subunidad a una supraunidad (a no ser que el sistema de numeración que tuviesen para representar esos números también siguiera ese esquema). En parte por ello en $1971$ se decimalizó la libra esterñona pasando a $1$£$=100$p .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
Recordemos primero que uno y uno son dos independientemente de la lengua en la que nos comuniquemos y del sistema de numeración que usemos. Uno y uno son dos siempre y lo son independientemente de y en este artículo. Otra cosa es cómo representemos “$1$” o “$2$” y cómo veamos las asociaciones de los números a la hora de ordenarlos y organizarlos (decena, docena, quincena, veintena,...) El otro día un profesor mío, resolviendo un problema en el que descomponíamos un número según su expresión decimal, dijo -¿Por qué usamos el sistema decimal? [Extendió sus manos] Porque tenemos diez dedos.
Esta afirmación, obviando amputados y polidáctiles, es cierta aunque subjetiva a la cultura: realmente en español uno tiene $20$ dedos, pero en inglés los pulgares (thumbs) no se consideran dedos de la mano (fingers) que distinguen claramente de los dedos de los pies (toes). Entonces, ¿por qué no usan o bien un sistema de numeración binario ($\{0,1\}$) o bien uno octal ($\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$)? Es más, si usamos un sistema decimal, $10$ , ¿por qué usamos uno duodecimal, $12$ , para contar huevos y agujas? Es decir, ¿por qué usamos docenas y gruesas (docenas de docenas) y no todo en la misma base? Es una pregunta difícil. En Tagalo (lengua mayoritaria en Filipinas), por ejemplo, se utilizan los números en español para las horas y temas de dinero, mientras que usan los numerales prehispánicos para el resto de cosas. Incluso, hay lenguas en Papúa Nueva Guinea que usan un sistema de numeración ternaria, $3$ , para contar ciertos objetos, mientras que utilizan uno cuaternario, $4$ , para otros.
Veamos tres culturas con sistemas de numeración vigesimal, $20$ : la azteca (nativa del valle de México-Anáhuac), la maya (nativa de la Península del Yucatán), ambas de Mesoamérica, y los celtas galos, de la Galia. Los galos usaban un sistema de numeración vigesimal, que pervivió a la conquista romana. Es más, todavía se pueden ver vestigios en francés (aunque en Bélgica y Suiza han desaparecido las formas vigesimales por otras decimales). Veamos una comparación:
$$ \begin{matrix} \text{Número} & \text{Azteca (Náhuatl Clásico)} & \text{Maya yucateco} & \text{Francés} \\ 0 & - & - & \text{zéro} \\ 1 & \text{ce} & \text{hun} & \text{un} \\ 2 & \text{ōme} & \text{ka’ah} & \text{deux} \\ 3 & \text{ēyi} & \text{óox} & \text{trois} \\ 4 & \text{nāhui} & \text{kan} & \text{quatre} \\ 5 & \text{mācuīlli} & \text{ho’} & \text{cinq} \\ 6 & \text{chicuace} (5 \& 1) & \text{wak} & \text{six} \\ 7 & \text{chicōme} (5 \& 2) & \text{uk} & \text{sept} \\ 8 & \text{chicuēyi} (5 \& 3) & \text{waxak} & \text{huit} \\ 9 & \text{chiucnāhui} (5 \& 4) & \text{bolon} & \text{neuf} \\ 10 & \text{mahtlāctli} & \text{lahun} & \text{dix} \\ 11 & \text{mahtlāctli once} (10 \& 1) & \text{buluk} (9\& 2) & \text{onze} \\ 12 & \text{mahtlāctli omōme} (10 \& 2) & \text{lahkaʼa} (10\& 2) & \text{douze} \\ 13 & \text{mahtlāctli omēyi} (10 \& 3) & \text{óox lahun} (3\& 10) & \text{treize} \\ 14 & \text{mahtlāctli onnāhui} (10 \& 4) & \text{kan lahun} (4\& 10) & \text{quatorze} \\ 15 & \text{caxtōlli} & \text{ho’ lahun} (5\& 10) & \text{quinze} \\ 16 & \text{caxtōlli once} (15 \& 1) & \text{wak lahun} (6\& 10) & \text{seize} \\ 17 & \text{caxtōlli} (15 \& 2) & \text{uk lahun} (7\& 10) & \text{dix-sept (10 & 7)} \\ 18 & \text{caxtōlli omōme} (15 \& 3) & \text{waxak lahun} (8\& 10) & \text{dix-huit (10 & 8)} \\ 19 & \text{caxtōlli onnāhui} (15 \& 4) & \text{bolon lahun} (9\& 10) & \text{dix-neuf (10 & 9)} \\ 20 & \text{cempōhualli} (1\cdot 20^1) & \text{hun kʼáal} (1\cdot 20^1) & \text{vingt} \\ 40 & \text{ōmpōhualli} (2\cdot 20^1) & \text{ka’ kʼáal} (2\cdot 20^1) & \text{quarante} \textit{(*deux vins)} \\ 60 & \text{ēyipōhualli} (3\cdot 20^1) & \text{óox kʼáal} (3\cdot 20^1) & \text{soixante} \textit{(*trois vins)} \\ 80 & \text{nāppōhualli}(4\cdot 20^1) & \text{kan kʼáal} (4\cdot 20^1) & \text{quatre-vingts} (4\cdot 20^1) \\ 100=10^2 & \text{mācuīlpōhualli} (5\cdot 20^1) & \text{ho’ kʼáal} (5\cdot 20^1) & \text{cent} \\ 400= 20^2 & \text{centzontli} (1\cdot 20^2) & \text{hun bak} (1\cdot 20^2) & \text{quatre-cents} \\ 8.000= 20^3 & \text{cenxiquipilli} (1\cdot 20^3) & \text{hun pik} (1\cdot 20^3) & \text{huit-mil} \\ 160.000= 20^4 & \text{cempōhualxiquipilli} (1\cdot 20^1\cdot 20^3) & \text{hun calab} (1\cdot 20^4) & \text{cent soixante mille} \\ 3.200.000 = 20^5 & \text{centzonxiquipilli} (1\cdot 20^2\cdot 20^3) & \text{hun kinchil} (1\cdot 20^5) & \text{trois millions deux cent mille} \\ 64.000.000= 20^6 & \text{cexiquipilxiquipilli} (1\cdot 20^3\cdot20^3 ) & \text{hun alau} (1\cdot 20^6) & \text{soixante quatre millions} \\ 1.280.000.000= 20^7 & \textit{centzontltzonxiquipilli} (1\cdot 20^2\cdot20^{2+3}) & \text{hun hablat} (1\cdot 20^7) & \text{un milliard deux cent quatre-vingts millions} \\ \end{matrix} $$ La palabra en nahuált para $20^6$ lo he visto como cempōhualtzonxiquipilli, $1\cdot 20^1\cdot20^{2+3}$ , o como cexiquipilxiquipilli , $1\cdot 20^3\cdot20^3$ . Se forma similar en español se tiene diez ($10^1$), cien ($10^2$), mil ($10^3$), diez mil ($10^4$), cien mil ($10^5$), millón ($10^6$), y algunos que ya suben drásticamente de órdenes de magnitud como millardo ($10^9$), billón ($10^{12}$), billardo ($10^{15}$), trillón ($10^{18}$), …
La lengua y la cultura afecta a cómo nos comunicamos, por ejemplo en lengua azteca «ciempiés» es “centzommāyeh” que significa «el que tiene $400$ brazos/manos».
El sistema de numeración vigesimal necesita $20$ cifras diferentes para representar cualquier número (de ahí su nombre), que normalmente usa $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}$ . Lo bueno de tener un sistema de numeración vigesimal es que se suelen necesitar menos cantidad de cifras que en uno decimal para representar el mismo número (y que $20$ tiene más divisores que $10$, por lo que entre otras cosas uno puede dividir $20$ entre $4$ con resto $0$ , pero no puede hacer lo mismo con $10$, es decir, con base $20$ uno puede sibdividir en grupos de $4$ y con base $10$ , no ), por ejemplo $2021=2\cdot10^3+0\cdot10^2+2\cdot10^1+1\cdot10^0=5\cdot20^2+1\cdot20^1+1\cdot20^0$ , por lo que ${2021}_{10}={511}_{20}$ (ambos números representan la misma cantidad, solo en diferente base de numeración, por ejemplo en binario sería ${11.111.100.101}_2$) .
Poder elegir una base correcta es muy útil según la situación, por ejemplo un veinteavo en base decimal es ${0\text{'}05}_{10}$ , mientras que en base vigesimal es ${0\text{'}1}_{20}$ (con la mitad de cifras tras la coma). Es más, un medio en sistema de numeración decimal es ${0\text{'}5}_{10}$ , en sistema vigesimal ${0\text{'}A}_{20}$ , y en sistema ternario ${0\text{'}\overline{1}}_{3}$ (que es periódico) , mientras que un tercio es en sistema de numeración decimal es ${0\text{'}\overline{3}}_{10}$ , en sistema vigesimal ${0\text{'}\overline{6D}}_{20}$ , y en sistema ternario ${0\text{'}1}_{3}$ (que no es periódico).
Elegir un sistema de numeración u otro al final viene a raíz de ver cuál es más útil a la hora de hacer ciertas cuantas, sobre todo divisiones. Normalmente se buscan números con muchos divisores pero no muy grandes (se suele por lo general evitar números primos medianos o grandes como $11,13,17,19,\cdots$ ya que solo son divisibles entre $1$ y sí mismos). Veamos algunos ejemplos: $$ \begin{matrix} D(2) & = & \{1,2\} \\ D(3) & = & \{1,3\} \\ D(10) & = & \{1,2,5,10\} \\ D(12) & = & \{1,2,3,4,6,12\} \\ D(20) & = & \{1,2,4,5,10,20\} \\ D(60) & = & \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\} \\ D(100) & = & \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100\} \\ D(240) & = & \{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,20,24,30,40,48,60,80,120,240\} \\ D(252) & = & \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252\} \\ D(960) & = & \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96, 120, 160, 192, 240, 320, 480, 960\} \\ D(1.000) & = & \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1.000\} \\ D(1.008) & = & \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 48, 56, 63, 72, 84, 112, 126, 144, 168, 252, 336, 504, 1.008\} \\ \end{matrix} $$ Para ponerlo un poco en contexto los ordenadores usan el binario, aunque algunos en los inicios usaron el ternario; el sistema decimal es al que estamos habituados, y en menor medida el duodecimal; el vigesimal tiene dos divisores más que el decimal y es sobre el que va este artículo. Los babilonios usaban el sistema sexagesimal (de ahí que los minutos y segundos vayan de $60$ en $60$); el de $240$ y $960$ se usaba más o menos en Gran Bretaña hasta $1971$ cuando la libra estaba dividida en $240$ peniques (a través de una libra $20$ chelines, y un chelín $12$ peniques) o en $960$ farthings (un penique $4$ farthings). Hasta el $\text{siglo XIX}$ a veces también se usaban las guineas (al cambio una guinea $21$ chelines, es decir, una libra y un chelín), tal que una guinea eran $252$ peniques o $1.008$ farthings. Dada las diferentes formas en las que se podía subdividir era muy útil, aunque no tan trivial poder pasar de una subunidad a una supraunidad (a no ser que el sistema de numeración que tuviesen para representar esos números también siguiera ese esquema). En parte por ello en $1971$ se decimalizó la libra esterñona pasando a $1$£$=100$p .
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.
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