En
el día de hoy traemos una entrada un poco corta, algo ya mencionado en el artículo de la trigonometría olvidada. ¿Qué son los antilogaritmos, y
cologaritmos?
Básicamente
son dos funciones auxiliares para el cálculo de logaritmos definidas a partir
de composición de funciones elementales con funciones estrictamente logarítmicas.
El
antilogaritmo(antilogarithm) es una función cuya composición con la función logaritmo da la
función original, es decir, es la función inversa al logaritmo: la exponencial.
Comparación antilogaritmo - logaritmo
El
cologaritmo (cologarithm)es una función cuya suma con la función logaritmo da la función
idénticamente nula, es decir, es menos la función logaritmo.
Comparación cologaritmo - logaritmo
¿Se
podrían definir anticologaritmo y coantilogartimo?
El anticologaritmo(anticologarithm) fuera la función inversa del opuesto del logaritmo, es decir, la exponencial
con exponente cambiado de signo.
El coantilogartimo(coantilogarithm) fuera el opuesto de la función inversa al logaritmo, es decir, menos la función
exponencial.
Comparación coantilogaritmo - anticologaritmo
Tabla
de simetrías
Logb
CoLogb
AntiLogb
CoAntiLogb
AntiCoLogb
Logb
(sí misma)
y = 0
y = +x
CoLogb
y = 0
(sí misma)
y = -x
y = +x
AntiLogb
y = +x
(sí misma)
y = 0
x = 0
CoAntiLogb
y = -x
y = 0
(sí misma)
y = -1/b x
AntiCoLogb
y = +x
x = 0
y = -1/b x
(sí misma)
Esta es una
perla olvidada de las matemáticas dejada de lado ya que ahora ya no es necesario recurrir a
tablas para saber cuáles son los valores de logaritmos, y como las funciones verseno,
vercoseno, coverseno, covercoseno, exsecante, y excosecante,
ya nadie se acuerda de ellas.
En el día de
hoy traemos una entrada que en un principio no estaba planificada: hemos hecho
dos (sobre la derivada y la integral) para poder entender mejor la última (sobre
la diferintegral y la derivada fraccionaria), pero investigando sobre el
cálculo fraccional, descubrimos el cálculo fractal.
Debemos a
Newton y Leibniz la invención del cálculo clásico a finales del siglo XVII y
principios del XVIII. Sin embargo no ha sido hasta finales del siglo XIX cuando
el cálculo no-newtoniano empezó a coger impulso (en especial el cálculo
fraccionario),y en particular hemos
tenido que esperar hasta la década de 1970 para el cálculo fractal.
En el cálculo
newtoniano los cocientes de incrementos siempre eran con un número entero
de puntos, es decir, se comparaba un incremento entero de la función con otro
incremento entero de la variable.
El cálculo
fraccionario expandió esta idea a números racionales en un principio, y
luego, aplicando el mismo método, a números irracionales y complejos-no-reales.
El cálculo
fractal se propuso: ¿es necesario que los incrementos de la función sean
del mismo orden que los de la variable?
¿Qué significa
esto para las funciones más simples?
Ya habíamos
visto que la derivada clásica de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de
afines] eran a su vez polinomios de menor grado, sinusoides con desfase
perpendicular, o exponenciales respectivamente.
A su vez habíamos
visto que la derivada fraccional de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de
afines] eran a su vez radicaciones, sinusoides con desfase oblicuo, o
exponenciales respectivamente
Sin embargo,
para el cálculo fractal la derivada fractal de polinomios, sinusoides, o
exponenciales [de afines] son el producto de una radicación por un polinomio [clásico]
de menor grado, un polinomio trigonométrico del mismo grado pero con desfase, o
exponenciales respectivamente.
A diferencia
del cálculo fraccionario, el cálculo fractal mantiene la regla de la cadena de
una forma muy directa, que relaciona la derivada fractal con la derivada
clásica.
Aunque todo
esto pueda parecer muy bonito en papel, pero sin ninguna aplicación real, el cálculo fractal es muy importante en ciertas ramas como en mecánica
de fluidos donde acuíferos, medios porosos, o turbulencias presentan las
propiedades fractales, que no siguen necesariamente una geometría euclídea.
El cálculo
fractal es el que se tiene que usar en geometría no-euclídea, y sus aplicaciones,
como el estudio del espacio-tiempo, donde las nociones tan simples como la velocidad tienen que ser redefinidas.
En las últimas
entradas no he usado una terminología muy estricta: ya hemos visto qué es una
derivada, y qué es una integral (en ambos casos a grandes rasgos). Derivadas
e integrales son dos operadores inversos entre sí. Ahora bien, se define operador
diferintegral como la combinación del operador diferencial e integral.
El operador
diferintegral es un operador lineal, es decir, la diferintegral de la suma de
unos escalares por sendas funciones es la suma de los escalares por sendas
diferintegrales aplicadas a dichas funciones.
Se puede
definir un endomorfismo entre el conjunto de funciones diferintegrales.
Ahora vamos a
responder a la pregunta que nos incumbe. Todo estudiante de matemáticas sabrá lo
fácil de encontrar la fórmula recursiva tras n derivadas para
polinomios, y para seno, coseno, y exponencial de funciones afines. Dicha
fórmula se puede generalizar para un n no natural, y luego para un n
no entero. Entonces, ¿qué significa la n-ésima diferintegral para un
n no entero?
Considerémoslo
para n = ½ , la media derivada.
La ½-ésima-derivada
no es la mitad de la derivada, sino una nueva función asociada a la
función original cuya ½-ésima-derivada es la I-derivada. Aplicar el operador +½-ésima-diferintegral
dos veces consecutivas da como resultado la I-derivada.
Si la
I-derivada indicaba la monotonía, y la II-derivada, la curvatura. ¿Qué
información proporciona la α-ésima derivada? Esa es una pregunta que no
consigo resolver, pero sí que he averiguado lo siguiente:
Si la +α-ésima
diferintegral da una determinada cualidad o propiedad (del tipo monotonía o
curvatura por ejemplo) respecto a la función original, la función original dice
también dicha propiedad respecto a la (0–α)-ésima diferintegral,
la +I-diferintegral dice también dicha propiedad respecto a la (1–α)-ésima
diferintegral, …
¿Para qué son útiles
las ½-ésima-derivadas, o las ½-ésima-integrales? Por ejemplo, deducir el tiempo que tarda un
objeto en la braquistócrona (el problema de la tautócrona), se reduce a
resolver una ½-ésima-integral, tras haber calculado antes una ½-ésima-derivada.
Nótese que no
solo se puede definir la ½-ésima-derivada, sino para cualquier número racional,
real, y complejo incluso. Por ejemplo, se puede hallar la π-ésima-derivada
de xπ, que da π!= Γ(π+1). Aun si se toma í:= √–1 ,
se puede hasta definir el operador í-diferintegral tal que tras
aplicarlo –í veces da la integral
de la función original.
p-ésima derivada de 1/2 x^2 con 0<p<2 .
Esta entrega ha
sido bastante dura de leer, y de comprender, y recomiendo al lector haberse
leído las dos anteriores para intentar apreciar la belleza, y rareza, de una de las cosas más comunes en matemáticas, pero que pasan muy desapercibidas.
En
el día de hoy traemos una entrega donde queremos explicar qué es una
diferintegral, pero para ello ya hemos explicado que es una derivada, y ahora
toca saber qué es una integral.
La última
semana habíamos visto qué significaba la n-ésima derivada con n = –1 : era
una nueva función (función primitiva) cuya derivada es la función original, es
decir, hablando mal y pronto, derivar e integrar son operaciones inversas
entre sí. Hemos respondido a la pregunta ¿qué significa la función original
para la integral?, pero necesitamos responder ¿qué significa la primitivapara la función original?
La integral en
un intervalo nos da el área neta de la función con respecto al eje de
abscisas (eje X). ¿Qué diferencia hay entre área total y área neta? El área
neta establece un signo a las áreas según estén por “encima” (positivas) o por “debajo”
(negativas) del eje, mientras que el área total es toda el área recubierta, sin
importar su posición relativa al eje.
Cabe resaltar que
hay dos “tipos” de integrales: integrales definidas, que dan como resultado un
número que representa el área neta entre la función y el eje en un intervalo, e
integrales indefinidas, que hacen referencia a la fórmula matemática que da los
valores de integrales definidas.
Ya vimos cómo una función tiene solo una I-derivada asociada, pero no
tiene una única integral indefinida asociada, sino un conjunto de funciones que varía en una
constante. ¿Por qué? Sumar una constante a una función no influye su tasa de
variación, y por tanto tampoco su derivada. Ergo un endomorfismo entre funciones
integrables nunca será inyectivo.
Debemos a
grandes matemáticos como Darboux, Riemann, o Lebesgue teorías rigurosas sobre
cómo hallar integrales definidas.
Ya hemos visto
qué significan la n-ésima derivada para un n natural, lo
extendimos para n = 0 , y para n estrictamente entero hemos visto
que hay que integrar n veces. En la próxima entrega intentaremos cerrar
esta serie para dar un significado a la n-ésima derivada para un n
genérico.
En
el día de hoy traemos una entrega donde queremos explicar qué es una
diferintegral, pero para ello hay que explicar antes que es una derivada, y qué
es una integral.
Supongamos
que tenemos una función que queremos evaluar cómo varía en un
intervalo. Bastaría con evaluar la pendiente entre los extremos de dicho intervalo, es decir, hallar su tasa de variación
media.
Sin
embargo, esto solo nos daría cómo varía globalmente en dicho intervalo, es
decir, si en general crece (pendiente positiva), o en general decrece (pendiente
negativa). Si queremos saber qué pasa en cada punto, qué valor tendrá dicha
función en el punto inmediatamentesiguiente
a un punto dado, hay que considerar qué pasa a la pendiente al tender el
intervalo a un único punto:
Se calcula su tasa de variación instantánea, más conocida
como derivada. Esta nueva función es muy especial, y está asociada a la función original (tan especial que si una función tuviese dos derivadas, esas dos
derivadas fueran idénticas).
Nótese
que tasa de variación instantánea es un oxímoron (para que haya una
variación se necesita un tiempo donde transcurra), y además conlleva al cálculo
de un límite de la forma 0÷0 .
Si
se deriva la derivada, se obtiene una función llamada II-derivada de
la función original.
Si se deriva esta nueva función ahora, se obtiene la III-derivada de la función original...
Si se deriva n veces, se obtiene la n-ésima
derivada de la función original.
Nótese que la p-ésima
derivada de la q-ésima derivada es la (p+q)-ésima derivada, o equivalentemente, es la q-ésima derivada de la p-ésima derivada.
La I-derivada nos da la información de los intervalos de monotonía (crecimiento, y
decrecimiento) sobre la función original.
La II-derivada nos da la información de
los intervalos de curvatura (concavidad, y convexidad) sobre la función
original.
¿Qué significa la n-ésima
derivada con n = 0 ? Es una función que se ha derivado un total de 0
veces, es decir, una función que no se ha hecho nada, la función original.
¿Qué
significa la n-ésima derivada para n = –1 entonces? Por una regla
que hemos visto antes, si derivamos esta función, da la función original, es
decir, es una nueva función cuya derivada es la función original. Aquí hace falta
introducir la idea de integrales, que se verá en la próxima entrega.
En el día de
hoy traemos la entrada probablemente más esperada del año: el ENEM en Valladolid.
¿Qué es el ENEM?
ENEM son las siglas de Encuentro Nacional de Estudiantes de Matemáticas.
Es un congreso anual sobre matemáticas, y este año es en Valladolid.
¿Cuándo y dónde
es? Se celebra entre el lunes 20 y el sábado 25 de julio de
2020, en Valladolid.
¿Para quiénes
está enfocado? Principalmente para estudiantes de matemáticas, o matemáticas y
estadística, aunque también hay compañeros de matemáticas e informática,
matemáticas y física, o ingeniería matemática.
¿Qué hay que
hacer para asistir? El sábado 15 de febrero sale ya el formulario de inscripción. Hay diferentes modalidades al respecto: algunas van desde solo ir al congreso y una cena de gala final, y otras hasta pensión y comida ambas incluidas. http://enem.anem.es/inscripcion/
¿Qué me puedo esperar del ENEM? Profesores de varias partes de España darán charlas de 1
hora aproximadamente. Se intenta cubrir el mayor número de áreas en las charlas
(álgebra, cálculo numérico, análisis, geometría, …). Sin embargo, no todo serán
charlas, sino que también habrá más actividades, como cafés y visitas por Valladolid.
¿Por qué
debería ir? Valladolid venció a otras ciudades como Barcelona para que se
celebrara aquí la XXI edición del ENEM. Todo matemático ha de vivir alguna vez
en su vida un ENEM.
Todos nosotros hemos visto alguna vez la típica animación del reproductor de DVDs en el que aparece un icono rebotando por la pantalla. Además, hace tiempo que está por internet el meme en el que todo el mundo espera a que el icono golpee justo en una esquina. Este meme tiene origen en un episodio de The Office emitido en 2007, pero resurgió hace un año cuando se volvió viral el siguiente vídeo.
Ahora bien, ¿tan raro es este suceso? Primero, veamos las condiciones en las que trabajamos.
Esta animación siempre consiste en una figura que se mueve con un ángulo de 45º.
Las dimensiones de un monitor, puesto que está compuesto de píxeles, son enteras. ($a, b \in \mathbb{Z}$)
Por el mismo motivo, las coordenadas iniciales del icono, también son enteras. ($a_0, b_0 \in \mathbb{Z}$)
Primero, podemos tratar el icono como un punto sin pérdida de generalidad (este sería el centro de la figura, matemáticamente se representaría igual, pero reduciendo las dimensiones del monitor).
A la hora de afrontar este problema he encontrado conveniente representar los rebotes como una prolongación de la trayectoria del logo. Es decir, si hacemos revotar algo en una superficie plana quedaría así:
Así pues, podemos representar todos los rebotes a base de dividir el plano en rectángulos de la forma del monitor y hacer pasar una recta por estos rectángulos. Pero aún mejor sería, si fueran cuadrados, porque entonces podríamos usar las coordenadas cartesianas. Así que "comprimimos" los ejes para que cada rectángulo represente un espacio 1x1, de este modo, las esquinas del monitor serían los puntos con coordenadas enteras.
De este modo el problema ya parece más fácil de analizar. Tan solo tenemos que determinar si una recta pasa por algún punto de coordenadas enteras, siendo esa recta la ecuación de la trayectoria del icono, que sacamos conociendo un punto (usamos $\frac{b_0}{b}$ y $\frac{a_0}{a}$ porque recordemos que usamos las coordenadas "comprimidas" entre 0 y 1) y la pendiente ($\frac{a}{b}$ debido a esa transformación de los ejes):
Como $a,b,a_0,b_0 \in \mathbb{Z}$ podemos usar la identidad de Bezout para sacar los puntos con coordenadas enteras. En particular, la primera de ellas, que es la que nos interesa, la llamaremos $x_0, y_0 \in \mathbb{Z}$ que representarían el punto de esa cuadrícula imaginaria donde el CD impacta contra la esquina.
Por tanto, el icono chocará con una esquina $\Longleftrightarrow \gcd{(a, b)} \mid b_0 - a_0$
En el caso particular de que haya empezado en el $(0,0)$, podemos ver que es seguro que tarde o temprano impactará contra otra esquina.
Ahora, algunas otras cosas interesantes, ¿va a tardar mucho? o ¿contra qué esquina chocará?. Para esto, pongamos un ejemplo:
Supongamos que el monitor es un monitor estándar, 1920x1080, y que parte del $(0,0)$. Esta sería la representación. Las distintas soluciones enteras de la ecuación se han rodeado (la primera es $(9, 16)$):
Para ver cuántos rebotes da antes de chocarse contra el vértice basta con contar cuántas veces corta la recta la cuadrícula antes de la primera solución. Esto es $16 + 9 - 2 = 23$ rebotes, el choque con el vértice sería el número $24$.
De forma general, el número de rebotes será: $x_0 + y_0 - 2$.
Para ver en qué esquina chocará, tendremos en cuenta cuál es la orientación del monitor en cada cuadrado, según se haya invertido en vertical (amarillo), horizontal (rojo), ambas (naranja), o ninguna (azul).
Este patrón se repite por todo el plano, así que para saber en qué esquina golpeará, podemos tratar los puntos módulo 2.
$x_0 (mod 2)$
$0$
$1$
$y_0 (mod 2)$
$0$
$\swarrow$
$\searrow$
$1$
$\nwarrow$
$\nearrow$
Además, analizando las soluciones enteras de la ecuación módulo dos, es
fácil darse cuenta de que en caso de que impacte contra alguna esquina,
impactará con exactamente dos esquinas distintas.
Comprobando en la tabla, podemos ver que, en el caso particular de antes, impactará en la esquina inferior derecha y después volverá a impactar con la esquina inferior izquierda, de donde salió en un principio.
Como vemos, es un problema que no tiene ninguna dificultad a la hora de analizarlo, y que solo requiere un mínimo de geometría y la identidad de Bezout.
