(383) Teorema de Poincaré-Perelman

Teorema de Poincaré-Perelman

Este artículo tratará sobre la antes llamada Conjetura de Poincaré, que tras ser demostrada por Grigori Perelman, pasó a llamarse Teorema de Poincaré-Perelman, que actualmente es el único Problema del Milenio resuelto, estos Problemas del Milenio son siete problemas matemáticos cuya resolución sería premiada, según anunció el Clay Mathematics Institute en el año 2000, con la suma de un millón de dólares cada uno (cabe mencionar que Perelman además de renunciar a este premio, también renunció a la Medalla Fields). En realidad, lo que Perelman ha demostrado no es la conjetura de Poincaré, sino un resultado más general del cual la conjetura es un caso particular: la conjetura de geometrización de Thurston. Dicho de otro modo, una vez demostrada la Conjetura de Geometrización de Thurston automáticamente habremos obtenido también la de Poincaré. La Conjetura de Geometrización fue propuesta en 1970 por el matemático William Paul Thurston ganador de una medalla Fields en 1982 por la impresionante envergadura matemática de sus trabajos sobre variedades de dimensión 2 y 3.

En realidad, la Conjetura de Thurston constituye un problema matemático mucho más ambicioso que el de Poincaré, ya que pretende alcanzar una descripción definitiva de cualquier superficie de dimensión 3 por medio de su descomposición en piezas de estructura geométrica más simple.

Primero haré dos breves referencias biográficas sobre Poincaré y Perelman.

Poincaré fue un matemático francés. Ingresó en el Polytechnique en 1873, continuó sus estudios en la Escuela de Minas bajo la tutela de C. Hermite, y se doctoró en matemáticas en 1879. Fue nombrado profesor de física matemática en La Sorbona (1881), puesto que mantuvo hasta su muerte. Antes de llegar a los treinta años desarrolló el concepto de funciones automórficas, que usó para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos.

Poincaré.

Grigori Perelman nació el 13 de junio de 1966 en Leningrado (actual San Petersburgo). Con catorce años ingresa en la Escuela 239 de Leningrado para jóvenes talentos. Un centro de élite como otros repartidos por la URSS, donde funcionaban numerosos círculos para niños: de matemáticas, de ajedrez, de deportes, de música...Perelman formó parte del equipo de la URSS en las Olimpiadas de Matemáticas obteniendo una medalla de oro. Estudió matemáticas en la Universidad de Leningrado, tras terminar sus estudios, ha realizado contribuciones históricas a la geometría riemanniana y a la topología geométrica, una de sus contribuciones más importantes fue la demostración de la conjetura que trataremos en este artículo.

La demostración puede verse en esta web.

Grigori Perelman.

El propio Poincaré intentó, sin éxito, resolver el caso n = 3. Ante la imposibilidad de llegar a una demostración rigurosa Poincaré planteó en 1904 la siguiente conjetura, que ha pasado a la historia como la Conjetura de Poincaré:

Toda 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S³

Si bien Poincaré solamente estudió el caso n = 3, los matemáticos posteriores consideraron la cuestión para cualquier n ≥ 3. En realidad, para n > 3 se sabe que el grupo fundamental no es suficiente para caracterizar las superficies compactas, y es necesario recurrir al concepto más general de variedades homotópicamente equivalentes. De esta manera, para n > 3 la Conjetura se enuncia del siguiente modo:

Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sⁿ

Para entender este enunciado, introduciré conceptos básicos de topología:

Variedad: es una generalización de curva y superficie a espacios de mayor dimensión. Una curva en el plano ² (recta, parábola…) es una 1-variedad, una superficie en ³ (esfera, cilindro…) es una 2-variedad, y así sucesivamente. Por tanto, una 3-variedad es un objeto matemático de ⁴ (sí, un espacio de 4 dimensiones).

Nota: en todos los casos se toman los bordes de la figura. Por ejemplo, cuando hablemos de la esfera estaremos considerando la superficie exterior, es decir, la parte interior no cuenta. No es una esfera maciza, es simplemente la parte externa.

Compacto: un recubrimiento abierto de un subconjunto A ⊆ X de un espacio topológico, es una familia de conjuntos abiertos {O_i}_i ∈ I de X, tales que su unión "cubre" a A:

Para todo recubrimiento C de un conjunto A, un sobrecubrimiento D es una subfamilia de C, D ⊆ C que sigue siendo un recubrimiento de A es decir, una subcolección de conjuntos de C que cubre a A.

Un espacio topológico X se dice compacto si, dado un recubrimiento abierto de X, existe un sobrecubrimiento finito del mismo.

Simplemente conexo: un espacio topológico X es simplemente conexo si es conexo por caminos y toda aplicación continua  que sea un lazo, es decir, que verifique  para algún punto p∈X  es contractíble de forma continua a dicho punto mediante una homotopía  tal que  y .
Nota: una homotopía en topología, concretamente en topología algebraica, son dos aplicaciones continuas de un espacio topológico en otro y se dice que estas son homotópicas.

Fig.0.

Los dos caminos en negrita que se muestran arriba son homotópicos en relación a sus extremos. Las líneas finas marcan isocontornos de una posible homotopía.

Nos podemos quedar con que esto significa que la variedad en cuestión no tiene agujeros. Un ejemplo para entender mejor esto: la 2-variedad S² (la esfera tal y como todos la conocemos) es simplemente conexa, pero la 2-variedad T (toro) no lo es, ya que tiene un agujero en medio (Fig.1).

Fig.1.Toro.

Homeomorfo: significa que se pueda plantear un homeomorfismo (aplicación continua y biyectiva cuya inversa es continua) entre ellos. Básicamente se dice que dos n-variedades son homeomorfas si son topológicamente iguales, es decir, si al estudiar ciertas propiedades en cada una de ellas resultan coincidir. Geométricamente podríamos decir que deformando una sin romperla podemos llegar a la otra. Por ejemplo, una circunferencia y una elipse (1-variedades) son homeomorfas, ya que puedo deformar cada una de ellas (sin romperlas) y transformarlas en la otra (Fig.2).

Fig.2. 

Ahora veamos una explicación geométrica. Lo explicaremos con 2-variedades, es decir, figuras en 3 dimensiones.

Simplemente conexo: supongamos una esfera, que es una 2-variedad (Fig.3).

Fig.3.Esfera.

Cogemos una cuerda, rodeamos la esfera con ella (por ejemplo, por el ecuador de la misma, aunque podría ser por cualquier otro sitio) y le hacemos un nudo corredizo. Este nudo se irá haciendo más pequeño hasta acabar siendo un punto Fig.4. Y esto pasa con cualquier curva cerrada situada en cualquier parte de la esfera.

Fig.4.

Supongamos que situamos la cuerda rodeando el toro en perpendicular a la figura. Si tiráramos de ella no pasaría lo mismo que en el caso anterior, seguiría siendo de la misma forma y del mismo tamaño, y lo mismo ocurriría si moviéramos la cuerda alrededor del toro.

Si rodeamos el toro en paralelo a la figura y tiramos de la cuerda sí conseguiremos deformarla, pero debido al agujero que el toro tiene en medio no podremos conseguir que la cuerda llegue a ser un punto, como en el caso anterior. Cuando llegáramos al borde interno no podríamos seguir. De esta forma podemos ver que efectivamente el toro es una 2-variedad que no es simplemente conexa.
En Fig.5 se visualizan las distintas formas de anudar explicadas anteriormente.

Fig.5.

Para n = 2 lo expuesto anteriormente nos dice que las 2-variedades esfera y toro no son homeomorfas. Es decir, que de las propiedades topológicas de una de ellas no podemos sacar información de las propiedades topológicas de la otra, debemos estudiar cada 2-variedad por separado.

Sin embargo, si tomamos un elipsoide:

Fig.6.Elipsoide.

Podemos ver que el experimento de la cuerda nos da los mismos resultados que los obtenidos con la esfera. Al ser también el elipsoide una 2-variedad compacta tenemos, por el teorema de Poincaré que la esfera S² y el elipsoide son homeomorfos. Esto también se puede ver intuitivamente en este caso, ya que por ejemplo podemos deformar el elipsoide (sin romperlo) y convertirlo en una esfera.

Finalmente, este teorema es importante debido a que decir que dos variedades son homeomorfas quiere decir que, son topológicamente iguales. El teorema nos permite que, comprobando que una 3-variedad es compacta y simplemente conexa sabremos muchísimas más cosas de ella, ya que las propiedades topológicas de S³ son conocidas, y al ser homeomorfas la otra 3-variedad hereda todas ellas.

Y aquí acaba el artículo que espero que le haya resultado satisfactorio.

Artículo escrito por Carlos Saravia.

(373) Ilustración del principio de dualidad

Dualidad

La geometría ha cautivado la mente humana desde que se tiene registro del pensamiento, y probablemente desde que ha habido pensamiento. La belleza de las formas geométricas y su omnipresencia en la naturaleza, como subterfugios de orden en un mundo de caos (dejando a parte procesos caóticos como el clima) ha sido objeto de culto y estudio por todas las culturas. Tras el paso de los milenios, el hombre ha encontrado (o inventado, o querido ver dónde no había nada... pero no deseamos entrar en esa discusión) objetos geométricos curiosísimos, siendo buen ejemplo de esto la botella de Klein o la trompeta de Gabriel. Sin embargo, no se necesitan tales abstracciones para sorprender a quien esté leyendo esto, basta con que tome papel, lápiz (y goma de borrar) y siga las siguientes indicaciones:

Dibujemos dos puntos, llamémoslos A y B. Esos dos puntos determinan una única recta c.

 

De acuerdo, aun no es muy sorprendente, o al menos se ha visto las veces suficientes como para que deje de sorprender, pero sigamos dibujando e ignoremos la referencia  a Hume que suscita lo anterior. Consideramos ahora las rectas a y b, estas rectas intersecan en un único punto C (suponemos que no hay rectas paralelas, volveremos sobre esto más adelante).

¿Aun no se ha sorprendido? Bueno, ante lector tan impertérrito habrá que sacar la artillería. Vamos con la configuración de Pappus de Alejandría,  matemático griego que vivió entre los siglos III y IV.

Consideramos dos rectas, pongamos que l y r, que intersecan en un punto O. Ahora tomamos los puntos, A, B, y C en r y A’, B’ y C’ en l. Trazamos las rectas que pasan por A y B’ y por B y A’; sea C1 su intersección. Hacemos lo mismo con las recta que pasa por A y C’, y con la que pasa por C y A’; sea C2 su intersección. Por último consideramos la recta que pasa por B y C’ y la que pasa por B’ y por C; sea C3 su intersección. Pues bien, el teorema de Pappus asegura que C1, C2 y C3 están alineados siguiendo una recta a la que llamaremos s. Nuevamente, estamos suponiendo que siempre hay intersección entre rectas.

 Hemos coloreado dos rectas para que se vea mejor, pero el lector puede seguir con su lápiz y su fiel goma de borrar. El uso de regla, aunque sensato, priva a nuestros dibujos del romanticismo que otorga el no saber si va a salir bien o no, por lo que no lo recomendamos.

Vamos con el último resultado antes de explicar qué estamos haciendo. Se recomienda usar regla, a pesar de la falta de romanticismo, la cual puede compensarse usando colorines para no perderse. Consideramos los puntos L y R. Sean a, b y c tres rectas que pasan por L y sean a’, b’ y c’ otras tres rectas que pasan por R. Sea c1 la recta que pasa por la intersección de a y b’ y por la intersección de b y a’. Sea c2 la recta que pasa por la intersección de a y c’ y por la intersección de c y a'. Por último, sea c3 la recta que pasa por la intersección de b y c’ y por la intersección de c y b’. Pues bien, estas tres rectas intersecan en un punto al que llamaremos S.

Pido ahora al lector que revise los enunciados 1 y 2, y asimismo los enunciados 3 y 4. Efectivamente, puede apreciarse una relación entre cada pareja. Hemos intercambiado puntos por rectas, uniones por intersecciones y los sentidos en las relaciones de contenecia. Al resultante de este intercambio se le llama “enunciado dual” y resulta ser cierto si y sólo si lo es el primero. No entraremos aquí en la demostración de que esto sea cierto, pero un lector curioso no debería tener problemas para encontrarla, por lo común de esta.

Por supuesto, en todos los enunciados hemos supuesto que dos rectas cualesquiera se cortan, esto es, que no hay paralelismo. La explicación de esto está en que la dualidad se enuncia en espacios proyectivos (para su definición véanse entradas anteriores), en los cuales dos rectas siempre se cortan.

Si alguien se ha quedado con ganas de más y quiere seguir dibujando enunciados y sus duales, el teorema de Desargues también admite una representación geométrica muy vistosa, y también está definido sobre el espacio proyectivo.

Diego Munuera Merayo.

(367) Las matemáticas de San Bourbaki 2017

Las matemáticas de San Bourbaki 2017

Recomiendo al lector que antes de comenzar a leer este artículo, si no conoce la tradición de San Bourbaki llevada a cabo por los matemáticos de la Universidad de Valladolid, visite este artículo de nuestro blog:

http://deltadetuepsilon.blogspot.com.es/2013/11/23-nicolas-bourbaki.html

Pues bien, una vez conocida la tradición, pasemos a hablar de las matemáticas contenidas en el logotipo de San Bourbaki 2017, he aquí el logo:

Estas hacen referencia a una acertada frase del Dr. Felipe Cano Torres, nacido en Valladolid, catedrático de matemática pura (geometría y topología) en la facultad de ciencias de la UVa . Esta frase dice que un buen matemático es aquel que tiene las 3 potencias del alma (concepto de San Agustín); siendo estas inteligencia, voluntad y memoria.

Primero, antes de hablar sobre el plano de Fano se define a la geometría proyectiva como la rama de la geometría que estudia los objetos lineales (puntos, líneas, planos, hiperplanos, etcétera) y cómo se intersecan. Estos objetos son estudiados en espacios que tiene más puntos que los espacios usuales y se denominan espacios proyectivos.

Se puede definir el plano proyectivo mediante cuatro axiomas de incidencia entre puntos y rectas:

(i) Dos puntos determinan una única recta.
(ii) En cada recta hay al menos tres puntos.
(iii) Hay tres puntos no alineados.

(iv) Dos rectas cualesquiera se cortan en un punto.

Si estos axiomas se cumplen para un conjunto de puntos en el que se señalan ciertos subconjuntos como las rectas y se define la relación de incidencia punto pertenece a recta, entonces tenemos un plano proyectivo.

Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntos finitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométrica más inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos. La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por Von Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores. Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952).

Gino Fano (1871-1952).

Es claro que, si un plano proyectivo finito está definido sobre un cuerpo, éste debe ser finito. Se demuestra entonces que, si el cuerpo tiene p elementos, el plano proyectivo tiene 1+p+p² puntos, y el mismo número 1+p+p² de rectas. De este modo, el plano proyectivo finito más pequeño está definido sobre el cuerpo de dos elementos, y resulta tener 7 puntos y 7 rectas (la circunferencia también es una de las rectas proyectivas). Este plano de siete puntos se representa mediante la configuración siguiente, que muestra las incidencias de puntos y rectas. Esta configuración se denomina plano de Fano, pues fue Gino Fano en 1892 quien primero consideró esta configuración y otras análogas en dimensión superior.

Plano de Fano.

Para terminar el artículo podemos observar en la parte inferior el nombre de Lord Vandermonde sustituyendo este a Lord Voldemort.

Alexandre-Théophile Vandermonde fué un matemático y violinista francés que trabajó con Bézout y Lavoisier, en la actualidad su nombre va principalmente asociado a la teoría de los determinantes en matemáticas, siendo una matriz de Vandermonde, en álgebra lineal, una matriz que presenta una progresión geométrica en cada fila. Los índices de la matriz de tamaño n×n están descritos por para todos los índices i y j variando de 1 a n

lo cual se puede describir explícitamente de la forma siguiente:

Pudiendo calcular el determinante de esta con la fórmula:

Y hasta aquí ha llegado el artículo que espero que haya sido del agrado del lector y ya solo me queda decir: ole, ole, San Bourbaki, ole, ole, nuestro santo.

Artículo escrito por Carlos Saravia.

(359) Enlace a una página de Matemáticas.

Para a quién le pueda interesar, el siguiente enlace nos lleva a una página con contenidos sobre geometría.

Se trata de la antesala de una película dividida en capítulos, película que contempla desde geometría elemental hasta ideas sobre la cuarta dimensión.

La película en su totalidad es larga (117 minutos) pero puede verse capítulo a capítulo. Incluso pueden verse algunos capítulos sueltos (en la página lo explican con mayor exactitud).


He aquí el enlace: http://www.dimensions-math.org/Dim_ES.htm


Diego Munuera Merayo.

(353) Bourbaki 2017

La Facultad de Ciencias ya no es un Lugar Seguro: Enemigos de las Matemáticas Preparaos. BOURBAKI 2017

      Otro año más nos encontramos saboreando las dulces mieles de Bourbaki. Esta fiesta acoge en su seno por cuadragésimo novena vez a todo tipo de matemáticos, algebristas o analistas, para un disfrute sin comparación.

      Se dice pronto, pero 49 años ya son muchos (en específico 7 al cuadrado) en los que nuestro santo ha ofrecido risas y alegría a los alumnos de la carrera, de los cuales, algunos elegidos por el santo han sido dignos de enseñar el dulce néctar los Álgebras (bueno, si trabajamos en el Espacio Proyectivo es mas amargo que un ajo sin pelar), la abstracción subyacente en la Topología o laboriosa tarea de la construcción de lo que hoy es conocido como Análisis Matemático. Estos profesores tienen muchas historias que contar y os traemos la historia de alguien muy querido por todos nosotros "Javichuelo".

                   Orígenes de Bourbaki

     Antes de desvelar todos los secretos que nos va a proporcionar nuestro entrevistado, aclaremos de dónde viene el nombre de Bourbaki. Muchas personas piensan que dicho nombre proviene de algo tan serio como "Bourbaki, el grupo francés encargado de formalizar toda la teoría matemática desde los trabajos realizados en la antigua Grecia hasta el siglo XX". Lo que no mucha gente sabe, es que el nombre de dicho grupo de matemáticos proviene del estudiante Raoul Husson que durante su último curso, se disfrazó del profesor Holmgren y expuso ante sus profesores la demostración del Teorema de Bourbaki, un resultado que lleno de imperceptibles incongruencias, dejaría atónitos a todos los asistentes.

                    Entrevista a Javier Jimenez Garrido

     Ahora os relataré las historias de Javier Jiménez Garrido. Para los que no le conozcan, es uno de los grandes profesores que imparten la asignatura de Cálculo Infinitesimal, sea la hora que sea te recibe en su despacho con su gran bote y por la propiedad estrella resuelve todas tus dudas en cualquier ejercicio.

    Nacido de padres científicos, empezó a sentir gran interés por las matemáticas desde joven. Creció, entró en la universidad, creo que no hace falta decir que entró en la carrera santificada por el gran Bourbaki, y el primer año ya se enamoró de esta festividad, tal sería su implicación, que en su segundo año de carrera tomaría el manto de Profeta "El iluminado por santo para sacar la fiesta adelante"; de hecho recuerda esta fiesta con gran cariño y la define como la función seno "sufre altos y bajos pero siempre es continua". Al preguntarle por el Bourbaki que recuerda con más cariño, la respuesta fue aquel en el que tomaba papel de veterano y sacó a relucir dos datos interesantes: En su año se instauró la barrilada que hoy en día se considera la más importante de la carrera de matemáticas, en efecto "La Barrilada de la Integral y la Derivada" y la anécdota de Asklepios.

                 Anécdota de Asklepios

   El Bourbaki correspondiente al tercero de carrera de Javier, fue un día muy lluvioso

y como no debe ser de otra manera, la quema del santo se debe realizar, queriéndose llevar

a cabo en los soportales en frente de Asklepios, la discoteca elegida para la festividad ese

año. Los porteros, se quedaron extrañados observando dicho acto, se les acercaron

y les dijeron: "Mirad chicos, sois muy raros así que no entráis". E indignados por haberse 

quedado sin discoteca la mitad de ellos no han vuelto a pisar por allí (Normal).

                   El Delta Prometido

     Como no, tendríamos que ofrecer un pequeño protagonismo a la obra de teatro que se llevará a cabo esta tarde a las 18:00 en la sala Hedy Lamarr de la Facultad de Telecomunicaciones. Obra escrita y dirigida por Antonio Casares y protagonizada por Beatriz Peñalba, ganadora de un BEAfta por su papel en "La Picha de Rienman a Caballo", haciendo el papel de Delta', Ruben Calvo alias "Weasly", internacionalmente conocido por su papel en "Movidas en los Mundos del Pelirrojo", interpretando a Épsilon' y un humilde servidor conocido por actos grotescos y abominables como "Travistiendo a M10 en la Picha de Rienman" o "El Tio de la Batamanta Rosa".

 Que Bourbaki Os Bendiga A Todos

(349) Páginas Internet sobre matemáticas

Simplemente un enlace

http://www.mathpages.com/home/

Aquí hay referenciadas muchas páginas asequibles de matemáticas.
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Otra página que tiene algunos libros de matemáticas:

http://www.e-booksdirectory.com/listing.php?category=3
 Es una página completamente legal con libros gratis en PDF y otros formatos.

(347) Al-Jwarizmi

Al-Jwarizmi y la Matemática árabe. 

En entradas anteriores hemos tratado sobre números arábigos, nombrando de pasada a Al Juarismi. Sin embargo, este personaje, de los más importantes para el desarrollo de las matemáticas, bien merece entrada propia.

Tristemente, no podemos dar muchos detalles sobre su nacimiento. No sabiendo si quiera dónde lo hizo; algunos historiadores lo creen natural de la región de Corasmia (la actual Uzbekistán, si se prefiere), mientras que otros aseguran que nació en Bagdad. Lo que sí sabemos es que vivió y trabajó en esta última ciudad a principios del siglo IX.

Dadas estas señas, alejémonos de Al Juarismi un momento, y pongámonos en situación sobre su época y entorno. Tras el fin del califato Omeya, la dinastía abasí erige su capital en Bagdad. Allí, invierten grandes recursos en acrecentar el nivel tecnológico y cultural. Se rescatan conocimientos antiguos de Mesopotamia, se traducen textos griegos sobre matemáticas y filosofía, e incluso se incorporan a la mezcla saberes de la India.

Bajo el reinado del califa Al-Mamun se forma la llamada “casa de la sabiduría”. Esta institución se dedicó a la recopilación y traducción de textos, así como a la investigación en matemáticas, astronomía, medicina, química y demás ciencias de la época. Fue, en definitiva, el mayor esplendor científico y cultural del mundo árabe, y uno de los mayores del mundo. Se cuenta incluso que los ejércitos árabes cambiaban prisioneros por libros con que llenar su biblioteca.

 

Tristemente, las hordas mongolas arrasaron Bagdad en 1258, destruyendo la biblioteca y condenando al olvido libros irremplazables.

Cabe mencionar, bajo el riesgo de irse demasiado por las ramas, que en torno a esa época se fundó nuestra universidad (para quien no lo sepa, este blog es parte de la universidad de Valladolid, en España), cuyo escudo lleva el emblema “sapientia aedificabit sibi domun”. Una traducción de esto viene a ser “la sabiduría se construyó una casa”, con que pudo reparar su pérdida de domicilio.

Dicho esto, podemos volver de una vez con Al-Juarismi:

Este matemático no destaca por descubrimientos notables, sino que por los libros que escribió. Como ya se ha dicho, en la casa de la sabiduría convergieron textos árabes, griegos e hindúes; textos que Al-Jwarizmi supo hilvanar para crear lo que hoy conocemos por álgebra. Antes de hablar sobre sus obras, recordemos que fue él quien introdujo los números hindúes (mal llamados arábigos) en las Matemáticas árabes, con lo que además de sus libros le debemos nuestros números.

Se cree que escribió más que eso, pero sólo se conservan 5 de sus obras. Estas tratan sobre aritmética, geografía y astronomía.

En sus tratados sobre aritmética explica métodos para efectuar divisiones, multiplicaciones y operaciones con fracciones, que entiende con base sexagesimal (debido, probablemente a la influencia sumeria). Además de todo esto, anuncia que va a hablar sobre cómo extraer raíces cuadradas, aunque esa parte de su obra no se ha conservado.

Sus obras sobre geografía y astronomía parecen influidas en gran medida por las de Ptolomeo.

 

Aun con todo, lo que marca la diferencia de sus libros con los de otros autores de la época es la cercanía y la naturalidad con que trata las matemáticas. No escribe para eruditos y estudiosos, al menos no sólo para ellos, sino que escribe algo que un comerciante pueda leer y emplear en sus negocios, o que a un agricultor le sirva para saber cómo construir un canal.

Lo mejor es ver esto mediante un ejemplo, y así de paso ligar con el estudio de su libro más importante: “El libro del álgebra”.

Pues bien, en esta obra, encargada directamente por el califa Al-Mamún (o al menos eso asegura la introducción),  explica métodos algebraicos para resolver ecuaciones. Las ecuaciones que aparecen son de primer y segundo grado; las ecuaciones de grados superiores eran conocidas por Al-Jwarizmi, pero no parecían ser de su interés.

Cabe destacar que la notación que emplea era un tanto primitiva, llamaba a lo que hoy entendemos por incógnita “la cosa”, resultando en frases tan divertidas como “cuadrado de la cosa igual a cosas” para referirse a “(x^2)=b*x”.

Además, las demostraciones son gráficas, mostrando influencia hindú y euclídea.

Y vamos por fin con el ejemplo prometido. Muchas de las ecuaciones que a aparecen en el libro vienen justificadas por problemas del día a día, usando como ejemplo agricultores que venden a por tanto dinero cada saco de trigo y quieren saber cuánto van a obtener por toda su cosecha. El libro incluso incorpora ejercicios propuestos para que practiquen sus lectores, y todos ellos vienen motivados por familias que reparten herencias, construcciones de canales, cálculo de tierras, y problemas mundanos de por el estilo.

Por supuesto, queda mucho más que decir sobre este personaje y su obra, sin embargo no quiero alargar esta entrada más de la cuenta, con que me decido a concluirla.

Diego Munuera Merayo.

(337) La identidad de Euler, la ecuación más bella del mundo

La identidad de Euler, la ecuación más bella del mundo

Hoy hablaremos de la ecuación que para muchos (me incluyo en este conjunto) es la ecuación más bella que existe, pero antes de eso hablaremos de su descubridor Leonhard Euler.

Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió en San Petersburgo. Considerado uno de los matemáticos más brillantes si no el que más, descubrió junto con su mentor Bernoulli su excepcional talento con los números que le llevaría a dedicarse a las matemáticas, aportando importantísimos descubrimientos a numerosos campos como el cálculo, la teoría de grafos, óptica y astronomía entre otros.

Retrato de Euler del año 1753 dibujado por Jakob Emanuel Handmann.

Pues bien pasemos a hablar de la identidad de Euler, que es esta elegante ecuación:

Primero presentaré todos los componentes de la ecuación uno a uno:

e: irracional y además es uno de los números más importantes del análisis matemático. Sus primeras cifras son 2,7182818284590452 que además cumple lo siguiente:

i: bastante relevante en álgebra, además como bien sabrás  i=√(-1) , pues bien, este número no está dentro de los números reales ℝ por lo tanto nos encontramos con un nuevo tipo de números, los números complejos, entendemos por estos como un par ordenado de números reales, que designaremos por (x, y). La primera componente x se llama parte real de un número complejo y la segunda componente y parte imaginaria.

π: al igual que e es un número irracional que tienen como valor aproximado 3,141592653589793238 y es la relación entre la longitud y diámetro de una circunferencia en geometría euclídea además de ser el número más importante de la geometría.

1: un número fundamental en matemáticas ya que a partir de él podemos formar todos los números, además de ser clave en aritmética ya que es el elemento neutro en la multiplicación.

0: también un pilar fundamental en aritmética, además de ser el elemento neutro en la suma.

Ahora pasaremos a la parte más maravillosa, su demostración, para ello usaremos las series de Taylor antes pasaré a explicar brevemente que es un polinomio de Taylor:

Cuando en el cálculo de límites usamos L´Hôpital o algunos infinitésimos, estamos sustituyendo el comportamiento de la función cerca del punto por el de su recta tangente. Esta aproximación que usamos coincide con la función en su valor y el valor de la derivada en el punto; los polinomios de Taylor que construiremos a continuación se toman para que coincida con la función en todas las derivadas.

Llamaremos polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a, y lo denotaremos por Pn,a, al polinomio:

Nota: los polinomios de Taylor en el punto a = 0, suelen denominarse polinomios de McLaurin.

Representación gráfica de la función exponencial de e y sus polinomios de Taylor

Ahora comencemos con la demostración partiendo de la expresión de la exponencial en forma de serie:

Si sustituimos x por z·i de tal manera que i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 se va repitiendo un ciclo de soluciones por lo tanto agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro obteniendo:

 

Sabiendo que sin(x) y cos(x) en las series de Taylor son de la siguiente forma:

Resulta que:

Pues bien, en esta última expresión si sustituimos z por π llegamos a:

Finalmente llevamos el -1 al lado izquierdo de la ecuación para llegar a esta bella expresión:

Pues aquí finaliza la demostración y este artículo que espero que haya sido de su agrado.

Artículo escrito por Carlos Saravia.

(331) La Comprensión Humana a Través de la Lógica (I): Introducción

La Comprensión Humana a Través de la Lógica (I): Introducción


          Antes de entrar de lleno en el artículo, ofrezcámosle un poco de protagonismo al concepto subyacente tras la palabra Lógica.

                Este término proviene del concepto griego del “Logos”, traducido normalmente a nuestro idioma como palabra, término que no le define con total precisión. No solo debemos entender el Logos como una unidad léxica cualquiera, sino que también debe ser comprendido como “Fuerza creadora de sólidas estructuras lingüísticas e intelectuales”.

                El concepto de lógica nació con Aristóteles en la Antigua Grecia en la disciplina que hoy se conoce como Lógica Aristotélica o de Silogismos. El filósofo pretendía crear una fuerte materia para la formación de razonamientos válidos, plasmando todos estos conocimientos en su obra Órganon. Sin embargo, la mayor profundización en este campo ha hecho que hoy en día esta disciplina más que milenaria únicamente posea valor histórico.

                Actualmente entendemos que la lógica es la ciencia formal que estudia los principios de las inferencias. A su vez podemos definir el concepto de inferencia como el conjunto de conclusiones que obtendremos mediante el análisis de premisas. Y para acabar, una premisa es aquella idea que podemos extraer en un entorno o situación. Pongamos una conversación como ejemplo para digerir todos estos conceptos mejor.

                Ejemplo:

                               - A: Mañana es martes.

                               - B: Pues los martes trabajo.

                               …

                Suponiendo que ni A ni B están mintiendo, si analizamos el fragmento de su conversación las premisas obtenidas son:

                               * Mañana es martes

                               * B trabaja los martes

                A partir de estas dos podemos concluir que B trabaja mañana. El formular un razonamiento a través de las premisas es la inferencia.

               

Establezcamos una distinción entre los tipos de premisas existentes, tal y como lo hacía Aristóteles en los silogismos, que nos ayudará a entender posteriormente con más claridad las inferencias:

-Premisa Particular: El núcleo existente en el sujeto de la premisa no es ni plural ni colectivo.

-Premisa General o Universal: El núcleo del sujeto es plural o colectivo. 

-Premisa Indefinida: Queda indeterminado cuántos elementos del sujeto se han visto afectados.

Ejemplos por Orden de Aparición:

1. El pino se ha quemado (Particular)

2. El pinar se ha quemado (Global)

3. Algunos pinos se han quemado (Indefinida)

Dado que las conclusiones también pueden ser entendidas como premisas si las tomamos como hipótesis de una inferencia, a partir de ahora no haremos distinción entre ellas y nos referiremos a ambas como Enunciados.

Continuando con el concepto de inferencia, la lógica divide a estas en tres grupos distintos:

- Inducción

- Deducción

- Abducción

Ahora brindaremos un breve desarrollo de cada una de ellas.

INDUCCIÓN:  Se trata de elaborar enunciados generales a través de varios enunciados particulares atendiendo a que, si varios elementos de un conjunto satisfacen una propiedad, entonces todo el conjunto va a satisfacer dicha propiedad. Un ejemplo de este tipo de razonamientos es el siguiente:

  - El cuervo 1 es negro.

- El cuervo 2 es negro.

…

- El cuervo n es negro.

à A partir de las n premisas inducimos que todos los cuervos son negros.

Sin embargo, epistemológicamente hablando (o en lo que a la búsqueda de razonamientos válidos se refiere), definimos el Problema de la Inducción.

 Dicho problema parte de la definición que dio Platón sobre el conocimiento como “Creencia verdadera y justificada”, sin embargo, no sería hasta el siglo XVIII cuando el filósofo y economista David Hume hablase abiertamente de este y desmontase los razonamientos inductivos mediante una simple analogía:

Hume y los cisnes:

Durante épocas pasadas, en Europa se denotaba la expresión Cisne Negro como un suceso imposible, no se conocían otros cisnes que no fueran los blancos y era razonable pensar que todas estas aves eran del mismo color, por lo que se tomó cierta dicha suposición.

Sin embargo, en 1697 el explorador Willem Hesselsz de Vlamingh encontró al cisne negro durante una de sus expediciones, negando rotundamente el postulado anterior.

Afirmó Hume gracias a este hallazgo lo siguiente:

“Ningún número de observaciones de cisnes blancos nos permite inferir que todos los cisnes son de dicho color, pero la observación de un único cisne negro nos basta para refutar el enunciado anterior”

Generalizando esta afirmación, vemos que esto es válido llevado a cualquier campo. Ahora bien, dado que la inducción es una útil herramienta para la generación de hipótesis, ¿alguna de las conclusiones que podemos obtener mediante este tipo de razonamientos puede ser considerada válida? Esto dependerá de la “Fuerza Inductiva” que definiremos como la consistencia que poseen los dichos razonamientos inductivos o, en otras palabras, cuán complicado sea el negarlos.

Gracias a la fuerza inductiva podremos dividir estas inferencias en dos tipos:

- Inducciones Fuertes: Aquellas que son complicadas de refutar o no se puede, pues su construcción se sostiene en una fuerte estructura booleana. Un ejemplo de estos son:

* El contraejemplo: Se trata de suponer cierta una propiedad para los elementos de un entorno, y ver que uno de ellos no lo cumple.

En el caso de los cisnes, el conjunto de todos los cisnes es el entorno, lo que suponemos es que todos los cisnes son blancos, encontramos al cisne negro y deducimos que No todos los cisnes son blancos.

Esta técnica se basa en una corriente filosófica perteneciente al campo de la epistemología llamada Falsacionismo, presentada por Karl Popper en su obra La lógica de la investigación científica. En ella se expone la tesis de que la investigación científica no avanza confirmando nuevas leyes, sino descartando aquellas que ocasionen un obstáculo para la experiencia. Cuando descartamos una de estas leyes decimos que ha sido falsada.

Veremos que las ideas falsacionalistas de Popper no siempre son la solución a nuestros problemas. La tesis de Quine-Duhem, también conocida como Holismo Confirmacional, prueba que no es posible demostrar, en ciertos casos, la falsedad de un enunciado. Retomaremos este tema una vez nos inmiscuyamos en lógica de proposiciones, pero adelantaremos que el contraejemplo en las matemáticas es un argumento irrefutable.

* La inducción matemática: Es una demostración muy utilizada para comprobar que los elementos de un conjunto bien ordenado satisfacen una propiedad hasta un elemento n+1, dónde n es un elemento del conjunto tomado sin pérdida de generalidad.

La primera referencia de este procedimiento la encontramos en el Parménides de Platón en el año 370 a.C. Sin embargo, no sería hasta el siglo XIX que llegase la formalización de la Inducción Matemática de la mano de George Boole, Augustus de Morgan, Charles Sanders Peirce, Giuseppe Peano y Richard Dedekind.

Este procedimiento consta de 3 partes:

1. Base Inductiva: Se trata de evaluar la propiedad para los primeros elementos del conjunto basándonos en el buen orden. Este paso posee gran importancia por dos motivos: Si no se tiene clara idea de que forma posee la propiedad, se puede inducir a través de los resultados (aunque esta primera inducción no demuestra que sea cierta para los elementos del conjunto) y es el comienzo de la Inducción Matemática.

2. Hipótesis de Inducción: Se supone cierta la propiedad para un valor xn perteneciente al conjunto, escogido sin pérdida de generalidad, donde n representa la posición del elemento en el conjunto según el buen orden.

3. Paso Inductivo: Se demuestra que la propiedad se cumple para xn+1, y por hipótesis, como xn ha sido escogido sin pérdida de generalidad, podemos tomar xn = xn0, donde xn0 es un valor evaluado en la base inductiva y para el cuál se cumple la propiedad, por tanto xn0+1 también la cumplirá.

Finalmente, mediante un razonamiento recursivo, como xn0+1 satisface la hipótesis, xn0+2 también cumplirá la propiedad y por recurrencia, todo valor que siga a xn0+2 satisface a esta.

Hemos de aclarar que, para muchos matemáticos, durante mucho tiempo las demostraciones realizadas mediante inducción no daban lugar a razonamientos válidos.

Ejemplo:

Vamos a intentar encontrar una fórmula que calcule la siguiente suma:

Si nos fijamos, este sumatorio hace referencia a los elementos del conjunto de los naturales, y este a su vez, es un conjunto dotado de buen orden.

Base de Inductiva:

Si n = 1: à La suma es igual a 1

Si n = 2: à La suma es igual a 3

Si n = 3: à La suma es igual a 6

...

Podemos observar que si continuamos con las sumas, los resultados parecen obedecer el siguiente patrón:

Observemos si nuestra hipótesis satisface las condiciones:

Hipótesis de Inducción:

Supongamos que para cierto k perteneciente al conjunto de los naturales se cumple que:

Paso Inductivo:

Probemos que se cumple para k+1:

Por Hipótesis de Inducción sabemos que:

Quedando la fórmula demostrada para todos los elementos del conjunto de los naturales.

No vamos a tratar sobre las Inducciones Débiles en este artículo, pues no proporcionan ningún tipo de argumento válido, y por lo tanto no deben ser inferencias contempladas en la lógica (un ejemplo de estos, es el famoso razonamiento que induce que “Todos los cisnes son blancos”).

Daremos por concluida la parte del artículo que trata sobre la Inducción para centrarnos en la nueva inferencia:

DEDUCCIÓN: La Deducción es aquella inferencia en la que, a partir de una Premisa Global o General, podemos deducir un razonamiento particular.

Ejemplo:

-Todos los cuervos son negros.

-Pepe tiene un cuervo.

à A partir de esta premisa deducimos que el cuervo de Pepe es negro.

Normalmente, para formalizar un razonamiento deductivo, utilizamos las “Reglas de Inferencia”, las cuales explicaremos con todo lujo de detalles en el siguiente artículo.

Únicamente haremos mención a una de ellas llamada Modus Ponendo Ponens, y dice así:

“Si la premisa A implica a la premisa B, y sabemos que la premisa A es cierta, entonces la premisa B también es cierta”

Mediante esta norma, veremos que las dos inducciones fuertes que hemos mostrado antes como ejemplo, también pueden ser vistas como deducciones.

Contraejemplo:

Podemos entender este método de inferencia mediante la aplicación del Modus Ponendo Ponens a las siguientes inferencias.

-Si un elemento del entorno no cumple la propiedad,

la propiedad no se cumple en el entorno.

-Existe un elemento del entorno que no cumple la propiedad.

à La propiedad no se cumple en el entorno.

Parece que falla un pequeño aspecto en este razonamiento, y es que mediante un enunciado particular hemos concluido otro global, y no hemos definido los razonamientos inductivos de esta manera. Veremos en el artículo siguiente, que con un paso al contrarrecíproco salvaremos este pequeño bache.

Inducción Matemática:

Tomemos la siguiente premisa:

-Si todos los elementos del conjunto cumplen una propiedad,

entonces el conjunto satisface dicha propiedad.

 Solo debemos comprobar que todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad, cosa que hemos demostrado con el razonamiento recursivo:

à Todos los elementos del conjunto satisfacen la propiedad.

Tomemos aquello que acabamos de concluir como una nueva premisa y deduzcamos finalmente mediante la regla de Modus Ponendo Ponens que:

-El conjunto cumple dicha propiedad.

Por ello podemos estar seguros de que una inducción fuerte puede ser tomada como un razonamiento válido, pues puede ser traducida en forma de deducción o inferida a través de las normas lógicas.

Por último, hablaremos de los razonamientos abductivos:

ABDUCCIÓN: No nos centraremos bastamente en este tipo de razonamientos, pues aleatoriamente pueden ser Falacias (Razonamientos falsos) o Tautologías (Razonamientos veraces).

La idea principal de estos es ofrecer la explicación más “lógica” y más probable a los sucesos que ocurren un entorno. Ofrezcamos la Teoría del Big Bang como ejemplo.

Teoría del Big Bang:

Intentando dar una explicación al origen del universo, en 1948 el físico George Gamow planteó una teoría en la que este se formó hace millones de años a partir de una gran explosión. Dicha teoría ha ido cobrando relevancia con el paso de los años, llegándose a considerar la explicación más probable al origen de todo, pero lo cierto es que aún no se ha llegado a demostrar.

              

A pesar de ello, esta es considerada cierta a ojos de la física y muchas de las teorías que se formulan hoy en día giran alrededor de esta.

Lógicamente no podemos inferir que el Big Bang sea cierto. Pero si que podemos inferir lo siguiente:

-Hoy por hoy, el Big Bang es la causa más probable de la formación del universo.

-El universo existe.

à Lo más probable es que el Big Bang originase el universo.

               

Sin embargo, epistemológicamente hablando, este concepto no tiene ninguna validez. Si mañana un físico nos propone un modelo sobre la creación del universo más probable, la anterior afirmación se convierte en una falacia.

               

Finalizaremos este artículo revelando el tema a tratar en el artículo siguiente: Algebra Booleana y Lógica de Proposiciones.

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