(1097) - Resolver ecuaciones cuadráticas desde otro punto de vista

Este artículo simplemente es para introducir la metodología que se usará para hallar las raíces de un polinomio de grado 3.

Considérese el siguiente polinomio cuadrático: $$ P(x) = ax^2 + bx + c $$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cuadrática. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$ P(t+\alpha) = a(t+\alpha)^2 + b(t+\alpha) + c = at^2 + (2a\alpha+b)t + (a\alpha^2+b\alpha+c) = \frac{1}{2}P^{(2)}\!(\alpha)\,t^2 + P^{(1)}\!(\alpha)\,t + P(\alpha) $$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cuadrática sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por $at + (2a\alpha +b)$. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación bilineal. Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{b}{2a}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$ at^2 + \left(-\frac{b^2}{4a}+c\right)=0 \implies at^2 = \frac{b^2}{4a}-c \implies t^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \implies t = \pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\;} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a} $$ Ahora como tenemos la solución en la variable $t$, podemos deshacer el cambio de variable para obtenerlo en la variable $\displaystyle x=t-\frac{b}{2a}$, por lo que: $$ t = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a} \iff x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a}$$ Para hallar esta solución uno normalmente hace manipulaciones algebraicas ya sabiendo la solución de antemano y viendo qué manipulaciones tiene que hacer para llegar a ella, o bien completar el cuadrado. Sin embargo, sobre todo la última opción, es muy difícil de hacer para grados superiores.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1093) - Tau manifesto

    Toda persona que supere en cultura a un niño de 12 años sabe que existe una constante llamada $\pi$ relacionada con los círculos, pero menos gente ha oido hablar de su hermano mayor, más caristmático,  e inteligente, tau ($\tau$).

Tau es la gran olvidada en las fórmulas matemáticas, ya que Euler popularizó a $\pi$ como constante del círculo (aunque ya se hubiera propuesto antes por William Jones y William Oughtred, wiki), al hacer esto nos perdimos por siempre una posibilidad muy didáctica que sufrieron y sufrirán todos los que aprendan por primera vez trigonometría.

Expongo aquí varias razones por las que $\tau$ podría ser mejor opción como constante del círculo:

1. Radianes

Una vez te acostumbras a hacer malabares mentales para dividir $\pi$ en las fracciones que quieres y asocias 90º $\to$ $\frac{\pi}{2}$,  30º $\to$ $\frac{\pi}{6}$... no tienes problema en visualizar angulos, pero imagina por un segundo que la primera vez que te introdujeron los angulos medidos en radianes, en vez de ver esta sopa de fracciones y denominadores distuntos:

te hubieran enseñado este dibujo:

Como $\tau = 2\pi$ si queremos expresar una fracción del ángulo completo, por ejemplo $\frac{2}{5}$ de la vuelta completa, resulta que ese ángulo es directamente $\frac{2}{5}\pi$.

Usando tau los ángulos más extraños también quedan mejor, ya que, por ejemplo, si quiro pasar 133º a raidanes bastaría con dividir $\frac{133}{360}$ y multipliacarlo por $\tau$, dejando la fracción indicada tal cual,$\frac{133}{360}\tau$ radianes, sin necesidad de añadir un 2 para compensar el uso de $\pi$. 

2. Estética

Como vereis a continuación, este apartado es puramente objetivo, porque hay fórmulas que quedan más bonitas cuando usamos $\tau$ antes que $\pi$.

•Identidad de Euler

$e^{i\tau} = 1$             frente a             $e^{i\pi} + 1 = 0$

•Distribución de Gauss

$\frac{1}{\sqrt{\tau\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$             frente a             $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

•Resolver funciones trigonométricas inversas:

$sen(x) = \frac{1}{2}$   $x = arcsen(\frac{1}{2}) = ...$

$x  = \frac{\pi}{4} + 2\pi k ,   k \in Z $             frente a             $x = \frac{\tau}{8} + \tau k,    k \in Z $

•Circunferencia del círculo

$C = 2\pi r$             frente a             $C = \tau r$

3. Trigonometría

Otra de las muchas razones para usar Tau es la facilidad a la hora de dibujar gráficas con senos, cosenos... imagina no tener que hacer memoria para escribir cuales son las lineas de puntitos en estos dibujos:

Es digno de póster, divides $\tau$ en cuartos y duermes con la tranquilidad de que expresar ángulos no va a ser la causa de tu 3º matrícula de Análisis.

4. Area ?

Quizás en el punto 2 cuando he puesto convenientemente la fórmula de la circunferencia hayas pensado "si bueno, pero la del círculo queda con fracciones y la de pi no", en ese caso te dejo para comparar  otras fórmulas que, por la misma razón, serían formulas menos elegantes:

$A =\frac{1}{2}\tau r^2$

•Energía cinética

$E = \frac{1}{2}mv^2$

•Energía del muelle

$E = \frac{1}{2}kx^2$

•Energía del oscilador armónico

$E = \frac{1}{2}kA^2$

•Altura máxima del lanzamiento de un proyectil

$h = \frac{1}{2}\frac{v_0^2\sin^2\theta}{g}$

Así que el area no está tan mal con $\tau$

Hay casos en los que $\pi$ es muy cómodo también, y desde luego tiene su lugar en todo tipo de fórnulas, pero seguramente las matemáticas serían más pedagógicas e intuituvas si a veces en vez de pensar en tau como el doble de pi, pensáramos en pi como la mitad de tau.

Referencias

Tau manifesto

Wiki pi

Wiki tau

Autor: Raúl Barrero Pastor

(1087) - Fractales caseros

Después del post del triángulo de Sierpinski, me estuve preguntando cómo se calculaban  computacionalmente otro tipo de fractales como el famoso de Mandelbrot, y resulta ser bastante simple:

Fractal de Mandelbrot

Toma un punto en el plano complejo, \(z = a + bi\), y mételo en la fórmula \(f_c =  z² + c \),coges lo que te de la fórmula y lo vuelves a meter en ella, lo vuelves a meter... así indefinidamente. 

Ahora bien si el punto que te va dando la función converge a un valor del plano cualquiera, lo pintas de negro, y si no converge (si diverge a infinito) le das un color distinto, de esta forma las cuentas imitan este patrón:

 

Para este fractal la fórmula es  \(f_c =  z² + c \) , pero ¿ qué pasa si variamos la fórmula?

Hoy vamos a buscar fractales con las fórmulas más comunes:

Mandelbrot cuadrado 

\[f_c = z² + c \]

Barco quemándose

\[f_c = (  |Re(z)| + i . |Im(z)|  )² + c\]

Tricornio (fractal de Mandelbar)

Mandelbrot Cúbico

\[f_c =  z³ + c\]

Mandelbrot Perlin

\[f_c =  z⁴ + c\]

Fractal de Newton

\[f_c = z - p(z)/p'(z)\]

con p(z) = z³ − 1

Fractal Phoenix

\[z_{n+1} = z_{n}² + k . z_{n-1} + c\]

Buscando fotos y simuladores para el artículo he descubierto un motor de fractales muy chulo (si teneis Linux) os recomiendo XaoS, os permite hacer zoom todo lo que queráis dentro del fractal y tiene muchos famosos. 

Autor: Raúl Barrero

(1069) - El triángulo fractal de Sierpiński

 Quizás en algún momento de tu vida te as encontrado por internet este dibujo:

Por si no te suena, es el triángulo de Sierpiński, y a parte de en tu feed de Instagram aparece de manera insospechada en varios rincones de las matemáticas bastante curiosos.

Hoy vamos a ver un par de formas de construirlo desde la manera más normalita a la más insospechada.

Primero de todo vamos a dibujarlo directamente, a mano (si tienes un papel a mano te recomiendo probar a dibujarlo tú mismo).

En primer lugar, dibuja un triángulo equilátero, localiza los puntos medios de sus lados y únelos. Eso es una iteración, después hacemos lo mismo con cada uno de los 3 trianguiltos que han aparecido en la figura, luego seguimos y lo hacemos a los 9 ... en algún momento dejaremos de dibujar (aunque sea por aburrimiento), pero si tuvieramos paciencia infinita o los comandos prohibidos de Belarmino para C llegaríamos a que la figura iguala en el infinito al fractal, el triángulo de Sierpiński. 

Construcción Directa

Empezamos con un triángulo, marcamos los puntos medios de cada lado y los unimos, en la siguiente iteración hacemos lo mismo con 3 triangulitos de los 4 triangulitos que han aparecido, iterando este proceso se revela el patrón siguiente: 

Esta es la forma más normalita de encontrarse el fractal, pero también hay otra forma de construirlo directamente, que es haciendo copias de sí mismo:

Construcción por duplicado

Hasta aquí si ya conocías la forma o el fractal te puede haber resultado curioso o te puede haber dado un poco igual, pero ahora vienen las sorpresas, pues este triángulo al parecer sale hasta de entre las pierdras.

Método probabilístico

Dibuja un triángulo y coloca un punto en él, donde quieras (dentro, fuera, en un borde...), ahora selecciona al azar un número entre 1 y 3, fíjate en el vértice correspondiente y une tu punto con él.  Ahora pinta el punto medio entre tu punto y el vértice, has completado la primera iteración. Ahora toca realizar lo mismo con el punto que acabas de dibujar y seguir indefinidamente.

Esto son las primeras iteraciones lentas para ilustrar el proceso:

Ahora bien, de esta sopa de puntos no debería emerger ningún patrón, recuerdo que cogemos los vértices al azar, pero no, resulta que si ponemos más puntos...

¡Aparece el mismísimo triángulo de Sierpiński! Esta manera de obtener el triángulo descoloca un poco la primera vez que la ves, porque del puro azar sale un patrón tan ordenado que parece hasta mentira.

Ahora bien, vamos a rizar el rizo ¿si llenamos siguiendo estas pautas otro polígono nos aparecerá algún fractal similar? Vamos a verlo.

Cuadrado:

No tiene pinta

Pentágono:

Podría servir

(Para esta última animación he calculado 30k frames, y los bordes no están muy perfilados, supongo que el patrón sigue pero es un poquito acto de fé)

Hexágono:

De nuevo volvemos a no tener suerte, pero la imágen final me despierta la duda de si las uniones de los vértices con el centro no pueden ser alcanzadas por los puntos y las vemos medio-sombreadas por puntos cercanos o es simplemente una cuestión probabilística.

Heptágono:

En este último caso vemos que el centro queda bastante despoblado, pero dudo mucho que eventualmente se perfile un heptñagono o un círculo en el centro, seguramente este hueco sí sea una cuestión probabilística.

El triángulo de Sierpiński aparece en mil sitios, desde el número de lados que tienen los polígonos regulares que puedes construir con compás pasando por el binario hasta la paridad de los números en el triángulo de Pascal.

Como curiosidad, el triángulo tiene dimensión \(log_2(3))\, desde luego en otro sentido de dimensión que el "numero de elementos de una base del espacio".

Para estas y más formas de redescubrir el triángulo de Sierpiński, os dejo estos videos que están bastante chulos.

Un canal muy recomendado sobre pruebas visuales

Autor: Raúl Barrero  

(1063)- La constante de Feigenbaum

Si en algún momento de vuestra vida os ha dado por mirar la entrada de wikipedia sobre constantes matemáticas (que me jugaría un brazo a que no) os habréis dado cuenta de una que resalta a la vista que, en la posición 89 claramente viene la constante de Feigenbaum, que resulta tener una relación muy curiosa con un modelo similar al de Lotka-Volterra, el mapa logístico.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra son ecuaciones diferenciales, que tienen en cuenta variaciones infinitesimales en las variables, pero antes de llegar a ellas surgieron modelos discretos, esto es, que se iteraban paso a paso en vez de considerar la evolución como un contínuo.

En este contexto surge el mapa logístico, una herramienta para modelar poblaciones y estudiar el comportamiento constante, cíclico o caótico de sistemas dinámicos.

La ecuación tiene la siguiente pinta:

\[x_{n+1} = \lambda   x_n (1 - x_n)\]

Esto significaría que, la cantidad de conejos en la siguiente iteración $x_{n+1}$ variará de acuerdo con el parámetro $\lambda$ y la cantidad de conejos al momento de iteración $x_n$.

Gráficas

Veamos cómo se comportan estas gráficas si variamos $\lambda$.

En primer lugar, si $\lambda \in (0,1)$ la sucesión es convergente a 0: 

Después cuando $\lambda \in (1,3)$ vemos que la poblacion se establece en torno a un valor fijo $\frac{\lambda-1}{\lambda}$, sabemos esto gracias a la iteración de punto fijo.

 

Luego cuando $\lambda \in (3,3.57)$ las cosas empiezan a complicarse, observamos bifurcaciones de periodo doblante, o sea, que aparecen figuras de este estilo que se dividen en 2 sucesivamente:

 

Por último si estamos entre los 3.57 y 4 empieza el comportamiento caótico, una nube de puntos sin correlacion aparece en la gráfica.

Por último, veamos cómo varían los puntos respecto al $\lambda$ con un video:

Ahora bien, ¿qué tiene que ver Feigenbaum con esto?

La constante de Feigenbaum, \( \delta \approx 4.6692 \), es la razón que describe cómo cambian las distancias entre los valores de \( \lambda \) en los que ocurren las bifurcaciones por duplicación de período. 

En otras palabras, la diferencia entre el valor de \( \lambda \) donde se bifurca de un ciclo de período 1 a un ciclo de período 2, y el valor donde se bifurca de un ciclo de período 2 a un ciclo de período 4, está gobernada por esta constante. A medida que el sistema se aproxima al caos, estas distancias se reducen, y la razón entre las diferencias consecutivas tiende a \( \delta \).

La constante de Feigenbaum se obtiene del cociente:

\[\delta = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n-1} - x_{n-2}}{x_n - x_{n-1}}\]

Esto significa que, aunque el caos aparece entre los valores de \( \lambda \) aproximadamente entre 3.57 y 4, esta relación nos indica dónde aparecerán las bifurcaciones, lo me parece bastante chulo.

Otros recursos:

(pdf) - The period doubling route in the logistic family.

Programas que he usado para obtener las gráficas y el video

Autor: Raúl Barrero

(1061) - EXTRA! Pistola de macarrones

Introducción

Puede que os suene que recientemente ha habido un "incidente" del campus, ya que por teléfono escacharrado ha acabado siendo poco menos que un tiroteo con fuga en helicóptero; acabó siendo nada, pero si nos ponemos serios ¿cómo de probable es que ocurriera de verdad algo así?

(Os adelanto que en España es prácticamente imposible, de hecho voy a usar datos de EE.UU. para que aún con esas, salga una probabilidad baja)

La Regresión de Poisson

La regresión de Poisson es un modelo estadístico diseñado para analizar eventos de baja frecuencia (como tiroteos) que ocurren en un periodo de tiempo en una zona particular. Este modelo es especialmente útil cuando el evento es raro y discreto (hay un número entero de ocurrencias), como es el caso de nuestro ejemplo.

En el modelo de regresión de Poisson, asumimos que el número de incidentes, denotado como \( Y \), sigue una distribución de Poisson, lo cual implica que la probabilidad de observar un cierto número de incidentes en un periodo de tiempo específico depende de una tasa de ocurrencia \( \lambda \), que a su vez depende de varios factores poblacionales. El modelo tiene la siguiente forma:

\[ Y \sim \text{Poisson}(\lambda) \]

\[ \log(\lambda) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k \]

donde:

• \( \lambda \) es la tasa esperada de eventos (incidentes armados) en un periodo o región específico.
• \( \beta_0 \) es el término constante o intercepto del modelo.
• \( X_i \) representa las variables que pueden influir en los incidentea (por ejemplo, el tamaño de la población, accesibilidad de las armas ...) .
• \( \beta_i \) son los coeficientes que determinan el impacto de cada variable en la tasa de incidentes.

Coeficientes

Como cada coeficiente \( \beta_i \) indica el cambio en el logaritmo de la tasa incidentes que ocurren  respecto a cómo varía  \( X_i \), podemos interpretar los efectos de \( \beta_i \) como sigue

• Si \( e^{\beta_i} > 1 \), la variable \( X_i \) aumenta la tasa de incidentes.
• Si \( e^{\beta_i} < 1 \), la variable \( X_i \) reduce la tasa de incidentes.

Nuestro caso:

En España desde 2021 han habido 17 incidentes armados en escuelas / institutos / universidades, aquí dejamos que cuenten casos mucho menos graves que un tiroteo (peleas fuertes, apuñalamientos...).  

Como en España el indice de tiroteos es ridículamente bajo, vamos a usar algunos datos de EE.UU. para inflar la probabilidad y que salga algo apreciable para "inicidentes escolares", de cualquier tipo.

Sabemos del modelo de EE.UU. que: 

\[\log(\text{Incidentes}) = \log(\text{población}) + \beta_0 + \beta_1 \cdot (\text{tasa posesión armas}) + \beta_2 \cdot (\text{tasa enfermedad mental grave}) + \beta_3 \cdot (\text{índice pobreza})\]

Y usando los cálculos que hacen en el paper original, \[ \lambda_{\text{EE.UU.}} = 0.468 \]

Ajustandolo a la poblacion de España

\[ \lambda_{\text{España}} = 0.1426 \times \lambda_{\text{EE.UU.}} = 0.1426 \times 0.468 = 0.0666936 \approx 0.0681 \]

Calzándolo en la fórmula de la distribución de Poisson:

\[ P(Y≥1)=1−P(Y=0)=1−e^{−λ}\]

Que para nuestro caso: \[6.58329\%\]

Aclaración, esto es en toda España,  que en una población tan grande se espere 1 caso con esa probabilidad no es nada escandaloso, en EE.UU, los tiroteos en los mismos periodos de tiempo fueron en torno a 300 frente a los 17 de España, lo cual haría esa probailidad aún más pequeña si cabe en España.

En conclusión, podeis venir tranquilos a la universidad, salvo si estudias magisterio (porque no ibas a ir a clase de todas formas). 

El paper original es este, seguramente si de verdad os interesa el modelo estará mil veces mejor que este resúmen.

Se aceptan correcciones sobre la estadística y relacionados => https://forms.gle/GsDnmX6UadZ9FFwL7

Por último, filtramos en exclusiva el verdadero culpable del incidente:

No hay que dar ideas a magisterio que luego pasan cosas.

Autor: Raúl Barrero

(1051) - La forma más matemática de comerte una pizza

Estoy seguro de que todos alguna vez hemos comido una pizza recién hecha en casa, y al ver que la pizza se doblaba hacia abajo, sin pensarlo dos veces hemos curvado el borde tal que así para mantenerla erguida.

En ese caso, quizás tu intuición esté a la altura del mayor matemático del siglo XIX y posiblemente de entre los mejores de toda la historia, Carl Friedrich Gauss. 

(Bueno, igual no, pero vamos a ver por qué)

Gauss probablemente no comiera mucha pizza en la Alemania de su época, pero aun así se interesó por describir la curvatura de las superficies y cuantificarla.

Dejando de lado un poco el rigor, podemos entender la definición de la curvatura de Gauss observando los cortes de la superficie de la que queremos determinar la curvatura con  ciertos planos, y viendo si se curva hacia arriba (curvatura positiva), hacia abajo (curvatura negativa) o es recta (curvatura 0).

Para sacar la curvatura total de la figura, se multiplica la de cada uno de sus ejes, por ejemplo vamos a ver esta montañita:

Intersecamos con los planos XZ e YZ y vemos que

K1 < 0

K2 < 0

Si las curvaturas son K1 y K2, como ambas son negativas, la curvatura total que es el procuto de las 2 es  K = K1 . K2 es positiva. 

También pueden darse otros casos como este:

                                            

De nuevo al cortar con los planos queda:

 

La curvatura respecto al XZ es negativa, pero como respecto al YZ es 0 automáticamente la curvatura total es K = K1 . K2 = 0.

Bien, ahora a la parte divertida, resulta que hay un teorema bastante importante que dice que, para cualquier figura, la curvatura de Gauss se mantiene por isometrías, es decir, mientras que no estiremos ni cortemos la figura, la curvatura de Gauss de la superficie se mantendrá.

Y aquí es donde entra en juego nuestro objetivo del día, comer pizza:

Esta es un pizza normal

Podemos apreciar que la pizza apoyada en la mesa es plana, por lo que tiene en un inicio curvatura total 0.

El teorema nos garantiza que por mucho que la movamos, esa curvatura total va a mantenerse, de forma que nos encontrarnos 2 situaciones familiares, en las que esta propiedad puede jugar:

En nuestra contra

O a nuestro favor

La curvatura total de la pizza debe seguir siendo 0, así que para no violar este "teorema Egregium" (que así se llama el teorema anterior), la pizza necesita ganar un eje respecto al que su curvatura sea 0, cualquiera de los 2 sirve.

Así que la próxima vez que comas una pizza con amigos, no desperdicies la oportunidad de contarles lo que es la curvatura de Gauss, que se vayan a los 2 minutos de oirte hablar y te dejen con la pizza para ti solo.

Autor: Raúl Barrero