(1129) - Integrando como Euler & Maclaurin - Regla del trapecio compuesta

Pongamos una bonita fórmula, la fórmula de Euler-Maclaurin: $$ \sum_{k=m}^n f(k) = \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p $$ Que relaciona una suma con la integral correspondiente usando derivadas de órdenes superior y dando un resto de la aproximación $R_p$. Tomando el límite para $p\to\infty$ se llega a la fórmula asintótica: $$ \sum_{k=m}^n f(k) \sim_\infty \int^n_m f(x)\;\mathrm{d}x + \frac{f(n) + f(m)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) $$ Que es muy útil para aproximar ciertas sumas por integrales en física estadística por ejemplo: $$ \sum_{n=0}^\infty e^{-\alpha^2n^2} \sim_\infty \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2\alpha} + \cdots $$ Donde solo nos da un resultado asintótico y no el exacto ya que las derivadas anulan más rápido que cualquier polinomio. Sin embargo, si se aplica la fórmula de Euler-Maclaurin para una función $\varphi(x)$ y se define para un $N$ y para $\displaystyle h=\frac{b-a}{N}$ la función $f(x)$ tal que $f(a+h\,x)=\varphi(x)$, se llega a una expresión que en vez de sumar la función evaluada en los enteros, se suma en puntos equiespacidos entre $a$ y $b$ a donde se llega a una expresión asintótica de la regla del trapecio compuesta: $$ \int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x = \underbrace{h\left(\frac{f(a)}{2} + \sum_{k=1}^{N-1} f(a+hk) + \frac{f(b)}{2}\right)}_\text{Regla del trapecio compuesta} - \underbrace{\frac{h^2}{12}\big(f^{(1)}(b)-f^{(1)}(a)\big)}_\text{Corrección a I orden} + \underbrace{\frac{h^4}{720}\big(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\big) - \frac{h^6}{30240}\big(f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)\big) + \cdots }_\text{Resto de la corrección} $$ Nótese que la suma de Riemann, lo que es estrictamente la regla del trapecio, converge a la integral según $N\to\infty$ para funciones ya que $h\to0$, aunque es posible que alguno de los términos, por cómo sea la $(2n-1)-$ésima derivada no aporte mucho al cómputo de la integral e introduzca un mayor error.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1123) - La tricolorabilidad y los movimientos Reidemeister

 La teoría de nudos es el area de las matemáticas que se dedica a estudiar, como dice el nombre, los nudos y sus propiedades. 

Por si nunca lo habías visto, existen nudos que, al hacer fuerza sobre ellos, se desatan por su propia estructura, o sea, que sin necesidad de mover los extremos por dentro de distintas partes del nudo podemos deshacerlo con facilidad, como este:

                

Imagina que vas a hacer rapel por un acantilado y te encuentras ya el equipo atado al arnés listo para bajar ¿podrías, sin deshacer el nudo, estar seguro de que no te vas a caer? o sea, lo que quieres ver es si con una serie de movimientos (que no involucren los extremos de la cuerda), puedes asegurarte de que ese nudo no se transforma en la cuerda simple, una recta, el unknot.

Para esto hay 2 resultados que me parecen muy curiosos

Movimientos de Reidemeister

Si tienes un nudo cualquiera (uno muy simple) y lo enredas, le das vuelta, lo giras... hasta que no quede reconocible el nudo original ¿cómo devolverías ese nudo más complejo al original? para eso existe un teorema que nos asegura que, con tan solo 3 movimientos, somos capaces de transformar cualquier nudo en otro isotópico a él, o sea, uno que mantiene todas sus propiedades que en esencia es "el mismo" que el original, pues podemos transformar cada uno en el otro sin cortar la cuerda ni tocar los extremos.

Los movimientos de Reidemeister son :

                

Por tanto, si aplicamos este tipo de movimientos, podríamos desenredar cualquier nudo a su forma más simple, que en nuestro caso, supone desatar la cuerda del arnés.

Ahora pasemos a la tricolorabilidad

Tricolorabilidad

Coge un nudo, pintalo en un papel, y separa las intersecciones con huecos, si puedes colorear el nudo con solo 3 colores, entonces tu nudo es tricolorable. 

Lo curioso de esta propiedad es que, como se mantiene a través de los movimientos Reidemeister, podemos saber de forma inmediata que algunos nudos no son isótopos, o sea, que podemos transformar uno en el otro sin necesidad de usar los extremos de la cuerda para deshacer nudos.

            

Estas 2 propiedades son muy utiles para separar nudos entre sí, y se han hecho "tablas periódicas" de nudos en las que se recogen nudos que son distintos entre sí, se clasifican por la cantidad de cruces que tienen sus proyecciones en el plano (su sombra sobre el papel).

Recomendados

Playlist Knot Theory

Autor: Raúl Barrero

(1117) - Recomendaciones Xmas

 El artículo de hoy no va sobre un tema en particular esto son recomendaciones de videos y canales de youtube sobre matemáticas para ver estas navidades.

1. 3Blue1Brown

Clásico, entras por las miniaturas, te quedas por la calidad.

2. Flammable Maths

Un tío gracioso, buenas reviews de memes y para quien le gusten, buenas integrales y problemas de teoría de números.

3. Michael Penn

Buen contenido de álgebra y los temas de teoría de cálculo, pruebas chulas y problemas de teoría de números.

4. Mates Mike

El 3Blue1Brown español, muy buena calidad y videos de temas muy chulos

5. Mathemaniac

Temas muy variados, videos de Análisis, Álgebra, probabilidad...

6. MathMajor

Canal secundario de Michael Penn, más dedicado a álgebra abstracta y algebras de Lee.

7. Dr Peyam

De todo un poco, análisis, funciones curiosas...

8. Morphocular

9. Numberphile

Alta calidad, videos de todo tipo hechos por expertos de cada campo.

10. Stand Up Maths

Matemática aplicada a problemas reales y curiosidades matemáticas

11. Very Normal

Canal de estadística

12. Primer

Videos muy entretenidos sobre simulaciones, probabilidad y poblaciones.

13. The mathematics of vice

Investiga las probabilidades y estrategias óptimas dentro de los juegos de azar

Menciones honoríficas:

Física

Minute Physics

Physics for the birds

Química

Nile Red

Luis Horas

Autor: Raúl Barrero Pastor

(1109) Un empate accidentado

    DerUVada llegó a la tercera jornada de la Liga Matemática como colíder y con puntuación perfecta. En el otro lado del campo, esperaba la Epsiloneta, el equipo representante de la Universidad de las Islas Baleares, que contaba en su casillero con una victoria y una derrota. 

    Los problemas empezaron antes incluso del partido. El Congreso al Futuro hizo que la UVa tuviese que hacer malabares con las bajas para poder formar un equipo completo, pero al final lo consiguió con Esteban, ambos Sergios, Guille, Jaime y Juan. 

    Los tres problemas a resolver fueron los siguientes:

    Problema 1:

    Se lanzan 2024 bolas. Se sabe que al ser lanzada, la i-ésima bola alcanza una distancia de $\sqrt[i+1]{2}$ para i = 1,...,2024. Supongamos que todas las bolas se encuentran inicialmente en un punto del plano. En cada ronda, se lanzan todas y cada una de las bolas exactamente una vez. Determina si es posible que, después de un número finito de movimientos, todas las bolas se encuentren en otro mismo punto nuevamente.

    Problema 2:

    Sean a y b números no necesariamente distintos escogidos al azar uniformemente del conjunto {1, 2, 3, . . . , 2024}. Si se sabe que la probabilidad de que 2024 divida a a+b es igual a p/q con p, q enteros positivos coprimos. ¿Cuánto es el valor de p+q?

    Problema 3:

    Un grafo tiene 15 vértices. Hay como máximo una arista entre cada par de vértices y ninguna arista conecta un vértice consigo mismo. Cada arista está coloreada de rojo o azul, de modo que no hay triángulos monocromáticos. Halla el mayor número posible de aristas de este grafo.

    Ambas universidades entraron de forma contundente al partido, resolviendo el segundo problema sin demasiadas complicaciones. Sin embargo, el caos se desató cuándo ambas universidades recibieron un "incorrecto" a su solución del problema 1. 

    Resultó que la respuesta oficial era "No",  pero ambos equipos habían alcanzado un caso, bastante sencillo, en el que sí. Esto causó una lluvia de protestas sobre la colegiada que llevó a que los estudiantes no pusiesen toda la atención necesaria en el tercer problema.

    Cuándo ambos equipos se quisieron dar cuenta, se había terminado el tiempo. El resultado final fue un empate a uno que mantiene a la UVa en la zona de play-off. 

Autor: Alejandro Marchena García

(1103) - Resolver ecuaciones cúbicas

Considérese el siguiente polinomio cúbico (donde se toma como mónico para simplificar la notación y ya que solo nos importan las raíces, es irrelevante multiplicar todo el polinomio por una constante): $$ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cúbica. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$ P(t+\alpha) = (t+\alpha)^3 + a(t+\alpha)^2 + b(t+\alpha) + c \\ = t^3 + (3\alpha + a)t^2 + (3\alpha^2+2a\alpha+b)t + (\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c) \\ = \frac{1}{6}P^{(3)}\!(\alpha)\,t^3 + \frac{1}{2}P^{(2)}\!(\alpha)\,t^2 + P^{(1)}\!(\alpha)\,t + P(\alpha) $$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cúnica sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por una cuadrática. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $3\alpha^2+2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación cúbica sin término lineal. Sin embargo, los nuevos coeficientes estarían escritos en función de raíces, lo que dificultaría la resolución y simplificación.
• Si consiguiéramos que $3\alpha+a=0$ tendríamos una ecuación cúbica sin término cuadrático (cúbica deprimida). Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{a}{3}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$ t^3 + \left(-\frac{a^2}{3}+b\right)\,t+\left(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c\right)=0 \implies t^3+p\,t+q=0 $$ Supongamos el Ansatz que la raíz se puede escribir como la suma de dos términos: $t=u+v$, por lo que: $$ t^3 = (u+v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 = 3uv(u+v) + (u^3+v^3) $$ Por lo que $p=-3uv$ y $q=-(u^3+v^3)$ donde $u,v$ son incógnitas, pero $p,q$ son parámetros conocidos. Despejemos, por ejemplo $\displaystyle u=-\frac{p}{3v}$, y sustituyámoslo en la segunda ecuación: $$ q=-\left(\left(-\frac{p}{3v}\right)^3+v^3\right) \implies q=\frac{p^3}{27v^3}-v^3 \implies (v^3)^2 + q v^3 -\frac{p^3}{27} = 0 $$ Esta es una ecuación tricuadrática, es decir, es una ecuación cuadrática en la variable $z=v^3$, cuyas soluciones vienen dadas por: $$ v = \sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}\;}}{2}\;} = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;} $$ Ahora, ¿qué tomamos el signo?, ¿el más o el menos? Realmente da igual: si uno representa a $v$ el otro a $u$, por lo que: $$ t^3+pt+q=0 \implies t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}\;}\;}$$ Nótese que la raíz cúbica se refiere a cualquiera de las tres soluciones complejas correspondientes. Así pues hemos obtenido la solución general de un polinomio cúbico.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1097) - Resolver ecuaciones cuadráticas desde otro punto de vista

Este artículo simplemente es para introducir la metodología que se usará para hallar las raíces de un polinomio de grado 3.

Considérese el siguiente polinomio cuadrático: $$ P(x) = ax^2 + bx + c $$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cuadrática. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$ P(t+\alpha) = a(t+\alpha)^2 + b(t+\alpha) + c = at^2 + (2a\alpha+b)t + (a\alpha^2+b\alpha+c) = \frac{1}{2}P^{(2)}\!(\alpha)\,t^2 + P^{(1)}\!(\alpha)\,t + P(\alpha) $$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cuadrática sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por $at + (2a\alpha +b)$. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación bilineal. Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{b}{2a}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$ at^2 + \left(-\frac{b^2}{4a}+c\right)=0 \implies at^2 = \frac{b^2}{4a}-c \implies t^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \implies t = \pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\;} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a} $$ Ahora como tenemos la solución en la variable $t$, podemos deshacer el cambio de variable para obtenerlo en la variable $\displaystyle x=t-\frac{b}{2a}$, por lo que: $$ t = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a} \iff x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\;}}{2a}$$ Para hallar esta solución uno normalmente hace manipulaciones algebraicas ya sabiendo la solución de antemano y viendo qué manipulaciones tiene que hacer para llegar a ella, o bien completar el cuadrado. Sin embargo, sobre todo la última opción, es muy difícil de hacer para grados superiores.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1093) - Tau manifesto

    Toda persona que supere en cultura a un niño de 12 años sabe que existe una constante llamada $\pi$ relacionada con los círculos, pero menos gente ha oido hablar de su hermano mayor, más caristmático,  e inteligente, tau ($\tau$).

Tau es la gran olvidada en las fórmulas matemáticas, ya que Euler popularizó a $\pi$ como constante del círculo (aunque ya se hubiera propuesto antes por William Jones y William Oughtred, wiki), al hacer esto nos perdimos por siempre una posibilidad muy didáctica que sufrieron y sufrirán todos los que aprendan por primera vez trigonometría.

Expongo aquí varias razones por las que $\tau$ podría ser mejor opción como constante del círculo:

1. Radianes

Una vez te acostumbras a hacer malabares mentales para dividir $\pi$ en las fracciones que quieres y asocias 90º $\to$ $\frac{\pi}{2}$,  30º $\to$ $\frac{\pi}{6}$... no tienes problema en visualizar angulos, pero imagina por un segundo que la primera vez que te introdujeron los angulos medidos en radianes, en vez de ver esta sopa de fracciones y denominadores distuntos:

te hubieran enseñado este dibujo:

Como $\tau = 2\pi$ si queremos expresar una fracción del ángulo completo, por ejemplo $\frac{2}{5}$ de la vuelta completa, resulta que ese ángulo es directamente $\frac{2}{5}\pi$.

Usando tau los ángulos más extraños también quedan mejor, ya que, por ejemplo, si quiro pasar 133º a raidanes bastaría con dividir $\frac{133}{360}$ y multipliacarlo por $\tau$, dejando la fracción indicada tal cual,$\frac{133}{360}\tau$ radianes, sin necesidad de añadir un 2 para compensar el uso de $\pi$. 

2. Estética

Como vereis a continuación, este apartado es puramente objetivo, porque hay fórmulas que quedan más bonitas cuando usamos $\tau$ antes que $\pi$.

•Identidad de Euler

$e^{i\tau} = 1$             frente a             $e^{i\pi} + 1 = 0$

•Distribución de Gauss

$\frac{1}{\sqrt{\tau\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$             frente a             $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

•Resolver funciones trigonométricas inversas:

$sen(x) = \frac{1}{2}$   $x = arcsen(\frac{1}{2}) = ...$

$x  = \frac{\pi}{4} + 2\pi k ,   k \in Z $             frente a             $x = \frac{\tau}{8} + \tau k,    k \in Z $

•Circunferencia del círculo

$C = 2\pi r$             frente a             $C = \tau r$

3. Trigonometría

Otra de las muchas razones para usar Tau es la facilidad a la hora de dibujar gráficas con senos, cosenos... imagina no tener que hacer memoria para escribir cuales son las lineas de puntitos en estos dibujos:

Es digno de póster, divides $\tau$ en cuartos y duermes con la tranquilidad de que expresar ángulos no va a ser la causa de tu 3º matrícula de Análisis.

4. Area ?

Quizás en el punto 2 cuando he puesto convenientemente la fórmula de la circunferencia hayas pensado "si bueno, pero la del círculo queda con fracciones y la de pi no", en ese caso te dejo para comparar  otras fórmulas que, por la misma razón, serían formulas menos elegantes:

$A =\frac{1}{2}\tau r^2$

•Energía cinética

$E = \frac{1}{2}mv^2$

•Energía del muelle

$E = \frac{1}{2}kx^2$

•Energía del oscilador armónico

$E = \frac{1}{2}kA^2$

•Altura máxima del lanzamiento de un proyectil

$h = \frac{1}{2}\frac{v_0^2\sin^2\theta}{g}$

Así que el area no está tan mal con $\tau$

Hay casos en los que $\pi$ es muy cómodo también, y desde luego tiene su lugar en todo tipo de fórnulas, pero seguramente las matemáticas serían más pedagógicas e intuituvas si a veces en vez de pensar en tau como el doble de pi, pensáramos en pi como la mitad de tau.

Referencias

Tau manifesto

Wiki pi

Wiki tau

Autor: Raúl Barrero Pastor