(587) - Pseudovectores. Los vectores que no son vectores - falsos vectores

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué es un pseudovector.

Consideremos dos vectores: $\vec{u}$ , $\vec{v}$ . Coloquemos un espejo perpendicular a cada uno en sendos orígenes. Si reflejamos los vectores obtendremos: $-\vec{u}$ , $-\vec{v}$ , ergo son euvectores [vectores verdaderos o vectores polares].

Sin embargo si consideramos ahora el producto vectorial de los no-reflejados: $\vec{u}\times\vec{v}$ , y el de los sí-reflejados: $(-\vec{u})\times(-\vec{v})$ , ambos son el mismo vector. Este vector no ha cambiado de signo tras una reflexión, por lo que es un pseudovector [vector axial].

Un pseudovector es una magnitud física que se transforma como un euvector ante una rotación debida, pero que en el espacio tridimensional obtiene un cambio de signo bajo una rotación impropia (e.g. reflexión).

Veamos algunos ejemplos en física, ya que es una materia donde se puede explicar todo a través de vectores:

Los vectores posición $\vec{r}$ , desplazamiento $\Delta\vec{r}$ , velocidad $\vec{v}$ , aceleración $\vec{a}$ , tirón $\vec{\jmath}$ , momento lineal $\vec{p}$ , impulso lineal $\vec{I}$ , o fuerza $\vec{F}$ son euvectores.

Los vectores posición angular $\vec{\theta}$ , desplazamiento angular $\Delta\vec{\theta}$ , velocidad angular $\vec{\omega}$ , aceleración angular $\vec{\alpha}$ , tirón angular $\vec{\zeta}$ , momento angular $\vec{L}$ , impulso angular $\vec{\phi}$ , o torque $\vec{\tau}$ son pseudovectores.

Para terminar, he aquí una tabla con los correspondientes productos vectoriales.

x	euvector	pseudovector
euvector	pseudovector	euvector
pseudovector	euvector	pseudovector

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(577) - ¿Qué es un vector? 4 "definiciones"-interpretaciones según el tipo de matemático

En el día de hoy traemos una entrada sobre qué es un vector según diferentes enfoques.

Antes de empezar, cabe resaltar que para tanto algebristas como analistas prefieren representar un vector como sus componentes tal cual, mientras que los físicos pueden preferir representarlo como el producto de su módulo por su vector unitario correspondiente.

· Para un informático, o un estadista-probabilista, un vector es una forma eficaz de almacenar información que aparece como un listado o un array de diferentes números donde se considera la posibilidad de haber elementos repetidos.

· Para un algebrista, un vector es un elemento de un espacio vectorial: una n-tupla [pareja, trío, cuarteto…] de variables, constantes, parámetros o incluso funciones que vive en un espacio vectorial.

· Para un analista, su concepción de vector es muy similar a la de un algebrista, pues lo ve como una yuxtaposición ordenada y consecutiva de funciones (o similar).

· Para un físico, sin embargo, la concepción de un vector es la que más se asemeja a la que se da en ESO y Bachillerato: un vector es un “viaje”, una distancia flechada entre dos puntos del espacio bi- o tridimensional (uno que es el origen y otro, el destino)

Esto está muy bien para definir los vectores como posición ( $\vec{r}$ ), desplazamiento ( $\Delta\vec{r}$ ), o fuerza ( $\vec{F}$ ), pero, ¿y vectores como velocidad ( $\vec{v}$ ), aceleración ( $\vec{a}$ ), campo ( $\vec{E},\vec{g},...$ ), o momentos ( $\vec{p},\vec{L},...$ )? Muy fácil: mediante derivadas, integrales, límites, y productos escalares y vectoriales. Toda la física se puede describir mediante el vector posición ( $\vec{r}$ ) y aplicado a varios operadores de derivación, integración,… Esto es el inicio de la cinética.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(569) - Integrales. Riemann vs Darboux (con GIFs descargables)

En el día de hoy traemos una entrada bastante útil: ¿En qué se diferencian la integral de Riemann de la integral de Darboux?

Riemann propuso su integral en un artículo de la universidad de Gotinga en 1854, pero se publicó póstumamente en 1866. Unos años después, en 1875, Darboux propuso su integral.

Cabe resaltar que ambas son equivalentes, es decir, una función es Riemann-integrable si y solo si es Darboux-integrable. Ambas empiezan haciendo una partición del intervalo de integración, y considerando la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan la integral.

La integral de Riemann para cada subintervalo toma un nodo tal que la función evaluada en dicho nodo sea una aproximación de la altura promedia del rectángulo, cuya área aproxima el área de la función en dicho subintervalo.

Suma de Riemann del punto medio en una partición uniforme.

La integral de Darboux para cada subintervalo halla el ínfimo y el supremo que toma la función en dicho subintervalo. Luego calcula las áreas del “rectángulo inferior” (el rectángulo de área maximal que está contenido por la función) y del “rectángulo superior” (el rectángulo de área minimal que contiene la función).

Sumas inferior y superior de Darboux en una partición uniforme.

La construcción de Darboux es probablemente la más intuitiva, la que se utiliza muchas veces a la hora de demostrar proposiciones, y la que se enseña en Bachillerato, mientras que la de Riemann se suele usar a la hora de computar numéricamente una integral.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(571) - Integral de Stieltjes. Integrales sin dx .

En el día de hoy traemos una entrada bastante curiosa y olvidada hasta por los profesores de análisis: La integral de Stieltjes, de $1894$ .

Cuando nos explicaban qué era una integral veíamos qué significaba el signo integral, qué es el integrando (la función que se integra) y el integrador (con respecto a qué se integra) que solía aparecer como $\text{d}x$ . Pero, ¿qué pasa cuando el integrador es una función en sí, $\alpha(x)$ ?

Por ejemplo, ¿qué significan $\displaystyle\int\,\text{d}x^3$ o por ejemplo $\displaystyle \int x\,\text{d}e^x$ ?

La integral de Stieltjes da respuesta a esta pregunta centrándose en el integrador más que en el integrando, cumpliendo las siguientes propiedades respecto al integrador:

·Es lineal.

·Para un integrando positivo, se conserva la monotonía (sino, se invierte).

·El valor absoluto de la integral es menor igual que la integral del valor absoluto

·Cumple la identidad de Chasles.

·Si (el integrador) es diferenciable, se puede sustituir  $\text{d}\alpha(x)=\alpha^{(1)}(x)\,\text{d}x$ .

Combinando esta construcción de la integral con otras, nos da dos equivalentes: la de Darboux-Stieltjes y Riemann-Stieltjes (donde las integrales de Darboux y Riemann a secas son sendos casos particulares más simples). Las integrales de D.-S. y R.-S. son aplicaciones bilineales asimétricas que son un paso anterior a la introducción de la integral de Lebesgue.

Aunque esto pueda parecer en un principio muy raro, integrar por partes es aplicar la integración de Stieljes con dos funciones diferenciables. (Es más usando la integración por partes se llega a una aplicación bilineal simétrica y/o antisimétrica de la integral de D.-S. y de R.-S. )

Las integrales de Darboux, Riemann, o Lebesgue nos dicen cómo ha tratarse la integral según el integrando, mientras que la de Stieltjes, según el integrador.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(563) - Antilogaritmos, cologaritmos, ⁊ más...

En el día de hoy traemos una entrada un poco corta, algo ya mencionado en el artículo de la trigonometría olvidada. ¿Qué son los antilogaritmos, y cologaritmos?

Básicamente son dos funciones auxiliares para el cálculo de logaritmos definidas a partir de composición de funciones elementales con funciones estrictamente logarítmicas.

El antilogaritmo (antilogarithm) es una función cuya composición con la función logaritmo da la función original, es decir, es la función inversa al logaritmo: la exponencial.

Comparación antilogaritmo - logaritmo

El cologaritmo (cologarithm) es una función cuya suma con la función logaritmo da la función idénticamente nula, es decir, es menos la función logaritmo. 

Comparación cologaritmo - logaritmo

¿Se podrían definir anticologaritmo y coantilogartimo?

El anticologaritmo (anticologarithm) fuera la función inversa del opuesto del logaritmo, es decir, la exponencial con exponente cambiado de signo.

El coantilogartimo  (coantilogarithm) fuera el opuesto de la función inversa al logaritmo, es decir, menos la función exponencial.

Comparación coantilogaritmo - anticologaritmo

   Tabla de simetrías

	Logb	CoLogb	AntiLogb	CoAntiLogb	AntiCoLogb
Logb	(sí misma)	y = 0	y = +x
CoLogb	y = 0	(sí misma)		y = -x	y = +x
AntiLogb	y = +x		(sí misma)	y = 0	x = 0
CoAntiLogb		y = -x	y = 0	(sí misma)	y = -1/b x
AntiCoLogb		y = +x	x = 0	y = -1/b x	(sí misma)

Esta es una perla olvidada de las matemáticas dejada de lado  ya que ahora ya no es necesario recurrir a tablas para saber cuáles son los valores de logaritmos, y como las funciones verseno, vercoseno, coverseno, covercoseno, exsecante, y excosecante, ya nadie se acuerda de ellas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(557) - Diferintegral. Derivada fractal. (Epílogo)

En el día de hoy traemos una entrada que en un principio no estaba planificada: hemos hecho dos (sobre la derivada y la integral) para poder entender mejor la última (sobre la diferintegral y la derivada fraccionaria), pero investigando sobre el cálculo fraccional, descubrimos el cálculo fractal.

Debemos a Newton y Leibniz la invención del cálculo clásico a finales del siglo XVII y principios del XVIII. Sin embargo no ha sido hasta finales del siglo XIX cuando el cálculo no-newtoniano empezó a coger impulso (en especial el cálculo fraccionario),  y en particular hemos tenido que esperar hasta la década de 1970 para el cálculo fractal.

En el cálculo newtoniano los cocientes de incrementos siempre eran con un número entero de puntos, es decir, se comparaba un incremento entero de la función con otro incremento entero de la variable.

El cálculo fraccionario expandió esta idea a números racionales en un principio, y luego, aplicando el mismo método, a números irracionales y complejos-no-reales.

El cálculo fractal se propuso: ¿es necesario que los incrementos de la función sean del mismo orden que los de la variable?

¿Qué significa esto para las funciones más simples?

Ya habíamos visto que la derivada clásica de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] eran a su vez polinomios de menor grado, sinusoides con desfase perpendicular, o exponenciales respectivamente.

A su vez habíamos visto que la derivada fraccional de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] eran a su vez radicaciones, sinusoides con desfase oblicuo, o exponenciales respectivamente

Sin embargo, para el cálculo fractal la derivada fractal de polinomios, sinusoides, o exponenciales [de afines] son el producto de una radicación por un polinomio [clásico] de menor grado, un polinomio trigonométrico del mismo grado pero con desfase, o exponenciales respectivamente.

A diferencia del cálculo fraccionario, el cálculo fractal mantiene la regla de la cadena de una forma muy directa, que relaciona la derivada fractal con la derivada clásica.

Aunque todo esto pueda parecer muy bonito en papel, pero sin ninguna aplicación real, el cálculo fractal es muy importante en ciertas ramas como en mecánica de fluidos donde acuíferos, medios porosos, o turbulencias presentan las propiedades fractales, que no siguen necesariamente una geometría euclídea.

El cálculo fractal es el que se tiene que usar en geometría no-euclídea, y sus aplicaciones, como el estudio del espacio-tiempo, donde las nociones tan simples como la velocidad tienen que ser redefinidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(547) - Diferintegral. Media derivada. (3/3)

En las últimas entradas no he usado una terminología muy estricta: ya hemos visto qué es una derivada, y qué es una integral (en ambos casos a grandes rasgos). Derivadas e integrales son dos operadores inversos entre sí. Ahora bien, se define operador diferintegral como la combinación del operador diferencial e integral.

El operador diferintegral es un operador lineal, es decir, la diferintegral de la suma de unos escalares por sendas funciones es la suma de los escalares por sendas diferintegrales aplicadas a dichas funciones.

Se puede definir un endomorfismo entre el conjunto de funciones diferintegrales.

Ahora vamos a responder a la pregunta que nos incumbe. Todo estudiante de matemáticas sabrá lo fácil de encontrar la fórmula recursiva tras n derivadas para polinomios, y para seno, coseno, y exponencial de funciones afines. Dicha fórmula se puede generalizar para un n no natural, y luego para un n no entero. Entonces, ¿qué significa la n-ésima diferintegral para un n no entero?

Considerémoslo para n = ½ , la media derivada.

La ½-ésima-derivada no es la mitad de la derivada, sino una nueva función asociada a la función original cuya ½-ésima-derivada es la I-derivada. Aplicar el operador +½-ésima-diferintegral dos veces consecutivas da como resultado la I-derivada.

Si la I-derivada indicaba la monotonía, y la II-derivada, la curvatura. ¿Qué información proporciona la α-ésima derivada? Esa es una pregunta que no consigo resolver, pero sí que he averiguado lo siguiente:

Si la +α-ésima diferintegral da una determinada cualidad o propiedad (del tipo monotonía o curvatura por ejemplo) respecto a la función original, la función original dice también dicha propiedad respecto a la (0–α)-ésima diferintegral, la +I-diferintegral dice también dicha propiedad respecto a la (1–α)-ésima diferintegral, …

¿Para qué son útiles las ½-ésima-derivadas, o las ½-ésima-integrales? Por ejemplo, deducir el tiempo que tarda un objeto en la braquistócrona (el problema de la tautócrona), se reduce a resolver una ½-ésima-integral, tras haber calculado antes una ½-ésima-derivada.

Nótese que no solo se puede definir la ½-ésima-derivada, sino para cualquier número racional, real, y complejo incluso. Por ejemplo, se puede hallar la π-ésima-derivada de x^π, que da π!= Γ(π+1). Aun si se toma í:= √–1 , se puede hasta definir el operador í-diferintegral tal que tras aplicarlo  –í veces da la integral de la función original.

p-ésima derivada de 1/2 x^2 con 0<p<2 .

Esta entrega ha sido bastante dura de leer, y de comprender, y recomiendo al lector haberse leído las dos anteriores para intentar apreciar la belleza, y rareza, de una de las cosas más comunes en matemáticas, pero que pasan muy desapercibidas.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.