(937) - Notación de Landau ampliada

Veamos algunos ejemplos de notación de las llamadas O:

Denotamos $f(x)\in{\scriptsize \mathcal{O}}\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $|f(x)|\lneq M g(x)$ o con su definición de límites, $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

Denotamos $f(x)\in\mathcal{O}\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $|f(x)|\leqslant M g(x)$ o con su definición de límites, $\displaystyle \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<\infty$

Denotamos $f(x)\in\omega\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $f(x)> M g(x)$ ocon su definición de límites, $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$.

Denotamos $f(x)\in\Omega\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $|f(x)|\geqslant M g(x)$ ocon su definición de límites, $\displaystyle \limsup_{x\to a}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|>0$, es decir, si $f(x)\not\in{\scriptsize \mathcal{O}}\big(g(x)\big)$.

Denotamos $f(x)\in\Omega_{+}\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ con su definición de límites, $\displaystyle \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}>0$.

Denotamos $f(x)\in\Omega_{-}\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ con su definición de límites, $\displaystyle \liminf_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<0$.

Denotamos $f(x)\in\Theta\big(g(x)\big)$ cuando $x\to a$ si existe $M_1,M_2>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $M_1g(x)\leqslant|f(x)|\leqslant M_2g(x)$ o con su definición de límites, $\displaystyle \liminf_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}>0 \quad \limsup_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}<\infty$

Denotamos $f(x)\sim g(x)$ cuando $x\to a$ si existe $\varepsilon>0$ para $|x-a|<\delta$ tal que $\displaystyle \left|1-\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\varepsilon$ o con su definición de límites, $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$

También equiste la notación con virgulilla, por ejemplo $f(x)\in\tilde{\mathcal{O}}\big(g(x)\big)$, que que significa que existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $f(x)\in\mathcal{O}\Big(g(x)\ln^k\!\big(g(x)\big)\Big)$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(929) - Todo es una aproximación lineal - Relatividad y polinomios de Taylor

La gran mayoría de los problemas tanto en matemáticas como en física no son problemas lineales. Un claro ejemplo es el péndulo simple, cuya solución hace falta de funciones elípticas. Es más, el problema del péndulo doble tiene una solución analítica, pero no cerrada (es decir, la solución es diferenciable en un punto con su serie convergendiendo a ella, pero no se puede expresar como una combinación finita de otras funciones bien definidas). Sin embargo, la existencia de puntos de equilibrio, nos dice que hay soluciones constantes bajo ciertas condiciones iniciales, lo que nos permite estudiar una muy buena aproximación: como las pequeñas oscilaciones o perturbaciones en torno a un punto de equilibrio. Volviendo al ejemplo del péndulo simple: $$ \ddot{\theta}+{\omega_0}^2\sin\theta=0 \implies \theta(t)\approx\theta_\mathrm{eq}+\delta\theta(t) = \begin{cases} \displaystyle \theta_0\cos(\omega_0t)+\frac{\dot{\theta}_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t) & \theta_\mathrm{eq}=0 \\ \displaystyle \pm\pi + (\theta_0\mp\pi)\cosh(\omega_0t)+\frac{\dot{\theta}_0}{\omega_0}\sinh(\omega_0t) & \theta_\mathrm{eq}=\pm\pi \end{cases}$$ Este tipo de aproximaciones también se pueden ver en la relación entre mecánica clásica y relatividad. Muchas de las fórmulas de mecánica clásica, por ejemplo para el momento lineal o la energía cinética son en realidad las aproximaciones de Taylor a primer orden del momento lineal relativista y de la energía relativista. $$ \vec{p} = \gamma m_0 \vec{v} \implies T_1(\vec{p},0)(\vec{v}) = \underbrace{m_0\vec{v}}_\text{Momento lineal clásico} + \underbrace{\mathcal{O}\big(v^3\big)}_\text{Correcciones relativistas del momento lineal} \\ E^2 = (pc)^2 + {\big(m_0 c^2\big)}^2 \implies T_1(E,0)\big(v^2\big) = \underbrace{m_0 c^2}_\text{Energía interna} + \underbrace{\frac{1}{2}m_0 v^2}_\text{Energía cinética clásica} + \underbrace{\mathcal{O}(v^4)}_\text{Correcciones relativistas de la energía} $$
Otro ejemplo es el estudio de oscilaciones de un oscilador anarmónico, donde la energía potencial $U(x)$ viene dada por: $$ U(x) = \underbrace{U(x_\mathrm{eq}) + \frac{1}{2}m{\omega_0}^2(x-x_\mathrm{eq})^2}_\text{Términos armónicos} + \underbrace{\frac{1}{6}U^{(3)}(x_\mathrm{eq})\,(x-x_\mathrm{eq})^3+\frac{1}{24}U^{(4)}(x_\mathrm{eq})\,(x-x_\mathrm{eq})^4+\cdots}_\text{Términos estrictamente anarmónicos}$$ Otros ejemplos serían las leyes de Boyle-Mariotte, Charles y Gay-Lussac, o en el caso más general la ley de los gases ideales son en realidad aproximaciones asintóticas del comportamiento de un gas real.
Muchas veces no pensamos que realmente son aproximaciones de otras fórmulas, pero las tenemos tan interiorizadas y funcionan tan bien que uno ni se lo plantea. Muchas veces en física a la hora de estudiar un suceso no nos importa su comportamiento global o en todo momento, ya que puede entrañar mucha dificultad, sino lo que hacemos es estudiar su comportamiento asintótico en puntos concretos como en el infinito o puntos de equilibrio. Con esto no obtenemos una solución exacta, sino una aproximación local a la solución que nos permite estudiar el problema en un entorno y dar sucesivas aproximaciones. Muchas veces las aproximaciones se utilizan por conveniencia, ya que unos términos dominan sobre otras al ser varios órdenes de magnitud mayores.
Hace relativamente poco recuerdo que un profesor nos contó que realmente en física los distintos fenómenos y sucesos no son independientes ni aislados, sino que se dan muchas veces varios a la vez, pero estudiamos cada uno en una región donde predominan sobre el resto para enterder bien su comportamiento. Esto es lo que hacemos muchas veces: estudiar el comportamiento local para intentar entender mejor el general al descomponerlo.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(919) - Integral logarítmica

Introduzcamos hoy una de las funciones muy curiosas a mi parecer. $$\begin{array}{ cccc }
\operatorname{li} : & \mathbb{R}^+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\[2.5ex]
& x & \longmapsto & \displaystyle ―\hspace{-12pt}\int_0^x\! \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t \end{array}$$ La integral logarítmica queda relacionada con la integral exponencial, otra función íntimamente relacionada, cuya definición es $ \displaystyle \operatorname{Ei}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} ―\hspace{-12pt}\int_{-\infty}^x\! \frac{e^u}{u} \;\mathrm{d}u $, y la relación se da: $$ \operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}\!\big(\ln(x)\big) \iff \operatorname{li}\!\big(e^x\big) = \operatorname{Ei}(x) $$ La integral logarítmica desplaza o la integral logarítmica euleriana se define como $$\begin{array}{ cccc } \operatorname{Li} : & \mathbb{R}^+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\[2.5ex]
& x & \longmapsto & \displaystyle \int_2^x\! \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t \triangleq \operatorname{li}(x) -\operatorname{li}(2) \end{array}$$ Donde la diferencia entre una y otra viene dado por: $$ \operatorname{li}(x) - \operatorname{Li}(x) \triangleq\, ―\hspace{-12pt}\int_0^2 \frac{1}{\ln(t)} \mathrm{d}t = 1\mathrm{'}04516378\cdots $$ La constante de Ramanujan–Soldner, que se define tal que: $$ \mu\in\mathbb{R} / \int_0^\mu\! \frac{1}{\ln t}\;\mathrm{d}t=0 $$ Es decir, es el único cero de la integral exponencial, donde $\mu=1\mathrm{'}451369\cdots$. La integral logarítmica aparece en varios contextos, entre ellos como una aproximación asintótica de la la función contadora de primos, $\pi(x)$, que indica cuántos primos hay en el intervalo $[1,x]$: $$ \pi(x) \sim_\infty \operatorname{li}(x) \sim_\infty \frac{x}{\ln(x)} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(911) - Derivación logarítmica y función poligamma (digamma)

Antes de empezar propiamente digamos qué es la letra digamma: en el alfabeto griego en el periodo arcaico existía la letra digamma Ϝ, ϝ (en $\LaTeX$ se puede poner como $\Gamma \hspace{ -3mm }\raise-.8ex\hbox{$\Gamma$}$). Esta letra, que representaba el sonido /w/, estaba presente varias veces en los primeros versos de la Iliada antes de que se perdiera el sonido y la letra:
Μῆνιν ἄϝειδε Θεὰ Πηληϊάδεω Ἀχιλῆος // οὐλομένην, ἣ μυρί᾽ Ἀχαιοῖς ἄλγε᾽ ἔθηκε, // πολλὰς δ᾽ ἰφθίμους ψυχὰς Ἄϝιδι προΐαψεν // ἡρώων, αὐτοὺς δὲ ἑλώρια τεῦχε κύνεσσιν // οἰωνοῖσί τε πᾶσι, Διὸς δ᾽ ἐτελείετο βουλή, // ἐξ οὗ δὴ τὰ πρῶτα διαστήτην ἐρίσαντε // Ἀτρεΐδης τε ϝάναξ ἀνδρῶν καὶ δῖος Ἀχιλλεύς.

La función digamma, inexplicablemente representada con la letra psi, $\psi(x)$, se define: $$ \psi(x) = \psi^{(0)}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln\Gamma(x) = \frac{\Gamma^{(1)}(x)}{\Gamma(x)} $$ Mientras que la función poligamma se define como las sucesivas derivadas de la función digamma: $$ \psi^{(n)}(x) \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} \ln\Gamma(x) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \psi(x) $$ Derivando recursivamente se obtiene que: $$\begin{array}{ cccc }
\psi^{(n)} : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\[1ex]
& x & \longmapsto & \displaystyle (-1)^{n+1}\!\!\int_0^\infty\!\! \frac{t^n e^{-x t}} {1-e^{-t}} \text{d}t
\end{array}$$ Muchas veces estas expresiones, de la derivación logarítmica, se usan para estudiar la variación de una variable o función con respecto al valor instantáneo, en especial cuando tienen un comportamiento exponencial o factorial incluso. Veamos algunos ejemplos en termodinámica: $$ \alpha_P \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial T}\ln V(P,T,\cdots) \qquad \beta_V \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial T}\ln P(V,T,\cdots) \qquad \kappa_T \overset{\mathrm{def}}{=} \frac{\partial}{\partial V}\ln P(V,T,\cdots) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(907) - Fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes (Integración Numérica)

Las fórmulas de cuadratura de Newton-Cotes son un conjunto de expresiones para aproximar la integral numérica de una función dada.
Consideremos una función $f(x)\in\mathcal{C}\big([a,b]\big)$, es decir, una función continua en un intervalo genérico. Tomemos una sucesión de nodos equiespaciados (para simplificar): $$\Delta: a=x_0\leqslant x_1 \leqslant \cdots \leqslant x_i \leqslant \cdots \leqslant x_N \qquad x_i = a+\frac{b-a}{N}i \quad i=0,1,\cdots,N$$ Construyamos ahora el polinomio interpolador en los nodos ya definidos. El teorema de aproximación de Weierstrass nos afirma que hay una sucesión que polinomios que converge uniformente a cualquier función continua en el intervalo $[a,b]$ (en otros términos el conjunto de polinomios es denso en el conjunto de funciones continuas con la norma infinito). Esto nos permite acotar el error al aproximar una función por un suma ponderada de la función evaluada en los nudos: $$ \left| \int_a^b\! f(x)\;\mathrm{d}x - \int_a^b\! P_N(x)\;\mathrm{d}x \right| = \left| \int_a^b\! \big(f(x)-P_N(x)\big)\;\mathrm{d}x \right| \leqslant \int_a^b\! \big|f(x)-P_N(x)\big|\;\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b \|f-P_N\|_\infty \;\mathrm{d}x = \|f-P_N\|_\infty (b-a) \leqslant \varepsilon\,(b-a) $$ El polinomio interpolador de Lagrange se puede escribir de la forma $$ P_N(x) = \sum_{i=0}^N f(x_i) \ell_i(x) \implies \int_a^b\! P_N(x)\;\mathrm{d}x = \int_a^b\! \sum_{i=0}^N f(x_i) \ell_i(x) \;\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^N f(x_i) \int_a^b \ell_i(x) \;\mathrm{d}x = \sum_{i=0}^N \omega_i f(x_i) $$ Donde se satisface que: $$ \omega_i = \int_a^b\! \ell_i(x) \;\mathrm{d}x \qquad \sum_{i=0}^N \omega_i = b-a $$ La regla del trapecio ($N=1$), de Simpson $1/3$ ($N=2$), de Simpson $3/8$ ($N=4$), y de Boole ($N=5$) son ejemplos de fórmulas de cuadraturas de Newton-Cotes tomando los extremos del intervalo. Si en cambio no se toman los extremos como nodos de interpolación se tiene la regla del rectángulo/punto medio ($N=2$), la del trapecio ($N=3$) o la de Milne ($N=4$).
De hecho hay una familia de fórmulas de cuadraturas que por su similitud se podrían considerar también de Newton-Cotes como la regla adaptativa de Simpson ($N=4$), la de Hardy ($N=6$), la de Weedle ($N=6$), la de Shovelton ($N=10$), las dos de Woolhouse ($N=10,28$), o la de Durand para un $N$ genérico.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(887) - Trigonometría elíptica de Jacobi

¿Alguien se ha preguntado el lector por qué cuando se ve el péndulo simple en bachillerato, siempre se aproxima, nunca dando su solución exacta, aun siendo un problema ideal? Esto a veces ocurre hasta en los cursos inferiores de universidad. El problema no es que no tenga una solución analítica cerrada, sino que la introducción matemática previa para poder comprenderlo, es demasiado a veces.

En física hay ciertas ecuaciones diferenciales cuyas soluciones hacen necesario emplear una familia de funciones: las funciones elípticas de Jacobi. Algunos de estos casos son el péndulo simple (como ya hemos comentado), el oscilador de Duffing, o la solución de la I Ley de Kepler en Relatividad general.

Esta familia de funciones puede ser muy laboriosa y engorrosa de trabajar y lidiar con ellas, ya que son funciones univariables que se definen en función de un parámetro a través de integrales. Algunas se definen simplemente como la inversa de otra, añadiendo otro grado de dificultad en algunos puntos.

Ecuación diferencial y solución para el ángulo de un péndulo simple: $$ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \theta(t) + {\omega_0}^2 \sin\!\big(\theta(t)\big) = 0 \implies \theta(t) = 2\operatorname{am}\!\left( \frac{\sqrt{2+c_1\,}}{2}(\omega_0t+c_2) \Big| \frac{4}{2+c_1} \right) $$ Las funciones elípticas de Jacobi se definen como un conjunto de funciones integrales paramétricas: Veamos algunos ejemplos de cómo varían según este parámetro: $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{sn}(u|m) = \sin(u) \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{sn}(u|m) = \operatorname{tgh}(u) $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{cn}(u|m) = \cos(u) \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{cn}(u|m) = \frac{1}{\cosh(u)} $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{dn}(u|m) = 1 \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{dn}(u|m) = \frac{1}{\cosh(u)} $$ $$ \lim_{m\to 0} \operatorname{am}(u|m) = u \qquad \lim_{m\to 1} \operatorname{am}(u|m) = \operatorname{gd}(u) $$ Donde $\operatorname{gd}(u)$ es la función gundermaniana, definida como $$ \operatorname{gd}(u) \overset{\mathrm{def}}{=} \int_0^u \frac{1}{\cosh(t)}\;\mathrm{d}t = \arctan\!\big(\sinh(u)\big) $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(883) - Una de las joyas de la corona de la geometría moderna. Simedianas

Consideremos un triángulo cualquiera de vértices A, B, C. Dibujemos el punto medio de cada pareja de vértices A’, B’, C’. Unamos cada vértice con el punto medio del lado opuesto. A este segmento de recta se lo conoce como mediana.

Volvamos ahora a nuestro triángulo original, y dibujemos en cada vértice la bisectriz, es decir, la recta que subdivide el ángulo en dos subángulos iguales.

Ahora tenemos dos segmentos que pasan por cada vértice. En cada uno de los vértices, reflejemos cada mediana por su bisectriz, es decir, trazar la imagen especular de la mediana la situar un espejo en la bisectriz. Este segmento de recta se le conoce como simediana (en inglés symmedian de symmetric median – mediana simétrica por su construcción). La simediana tiene una importante propiedad: forma con su bisectriz el mismo ángulo que la bisectriz forma con la mediana, dicho de otro modo, la bisectriz del par mediana-simediana es la misma que la del vértice en el que parten.

Sabemos que las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro (centro de la circunferencia circunscrita al triángulo - X(1) en la enciclopedia de centros de triángulos), y las medianas en el centroide (el centro de masa al colocar masas idénticas en los vértices - X(4) en la enciclopedia de centros de triángulos). Las tres simedianas de un triángulo también se cortan en un punto: el punto de Lemoine-Grebe o el punto simediano (el X(6) en la enciclopedia de centros de triángulos).

Esta construcción que en principio parece tan arbitraria tiene su por qué: Tanto la mediana, la bisectriz, o la simediana son cevianas, ternas de rectas o de segmentos de rectas que pasan por los vértices de un triángulo y algún punto del lado opuesto. A los pares de rectas reflejados respecto a la bisectriz se los llama conjugados isogonales (nótese que la bisectriz es su conjugada reflejada isogonal). Además, esta propiedad además de ser la mediana una ceviana hace que la simediana herede propiedades muy buenas y deseables. Por ejemplo, un teorema nos dice que si tres cevianas se cortan en un punto, sendas tres conjugadas isogonales también se cortan en un punto.

Las rectas a rayas son las medianas, las punteadas son las bisectrices, y las rayadas-punteadas son las simedianas. En magenta el centroide, en cian el incentro, y en amarillo el punto de Lemoine-Grebe.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(881) - ¿Cuál es la altura máxima de una montaña de arena?

Supongamos que estamos en el campo o en la playa, y empezamos a hacer un montículo de arena. A todos nos ha pasado que, sobre todo cuando la arena está más seca, al verter arena esta se desliza por la pendiente aumentando la base de la montaña de arena, pero no su altura.

Dado un radio $r$ de la montaña de arena, ¿cuál es la altura máxima que puede tener? La respuesta está en la física. Hay que considerar que cada grano de arena de masa $m$ en la pendiente de ángulo $\theta$ sufre una fuerza (gravedad) que lo empuja pendiente abajo. Esta fuerza es $mg\sin\theta$ . Sin embargo, al estar en contacto con la propia pendiente de arena, hay una fuerza de fricción que se resiste al movimiento, de magnitud $\mu mg\cos\theta$ , donde $\mu$ es el coeficiente de fricción. El ángulo crítico donde esto ocurre es cuando cada grano de arena está en equilibrio estático, es decir, cuando ambas son iguales, $mg\sin\theta_\text{crit} = \mu_S mg\cos\theta$ , por lo que $\mu_S = \tan\theta_\text{crit}$ , donde $\mu_S$ es el coeficiente de fricción estática.

Por pura trigonometría, la reñación entre el ángulo, la altura $h$ y el radio $r$ viene dado por: $$ \mu_S = \tan\theta_\text{crit} = \frac{h}{r} \implies h = \mu_S\, r $$ Es decir, la altura máxima es directamente proporcional al radio.

Lo que implica un volumen de: $$ V = \frac{1}{3}\pi\mu_S\, r^3 $$ Y un área de: $$ A = \pi r^2 \left( 1+\sqrt{1+{\mu_S}^2\;}\; \right) $$ Donde se puede aproximar según los valores de $\mu_S$ $$ A = \pi r^2 \left( 2+\frac{{\mu_S}^2}{2}+\cdots \right) \qquad \mu_S\to0 \\ A = \pi r^2 ( 1+\mu_S + \cdots ) \qquad \mu_S\to\infty $$ El límite $\mu_S\to0$ corresponde a donde todo grano de arena se cae y la montaña son dos círculos puestos uno encima de otro (altura y volumen $0$), mientras que el límite $\mu_S\to\infty$ corresponde a que la fricción es tal que ningún grano de arena cae, y la montaña es un cilindro infinito.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(877) - La Identidad de Euler con funciones integrales

La última vez veíamos la identidad de Euler con cuaterniones. Veámosla hoy con funciones integrales. Primero recordemos cómo es en su forma usual. $$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$ Tomemos esta versión para poder trabajar $$ e^{-\mathrm{í}t}=\cos t - \mathrm{í}\sin t $$ Dividamos ahora entre el argumento e integremos en el intervalo $[z,\infty)$ tal que: $$ \int_z^\infty \frac{e^{\mathrm{í}t}}{\mathrm{í}t} \mathrm{í}\;\mathrm{d}t = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$ Ahora haciendo un pequeño cambio de variable: $$ \int_{\mathrm{í}z}^\infty \frac{e^{-s}}{s} \;\mathrm{d}s = \int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t + \mathrm{í} \int_z^\infty -\frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t $$ Por lo que se tiene la Identidad de Euler: $$ \operatorname{E}_1(\mathrm{í}z) = -\operatorname{ci}(z) + \mathrm{í} \operatorname{si}(z) $$ Donde se tienen que: $$ \operatorname{E}_1(z)\overset{\mathrm{def}}{=} \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{ci}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\cos t}{t} \;\mathrm{d}t \qquad \operatorname{si}(z)\overset{\mathrm{def}}{=} -\int_z^\infty \frac{\sin t}{t} \;\mathrm{d}t$$
Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(863) - La Identidad de Euler con cuaterniones

Creo que todo el mundo es familiar con la idendidad de Euler en algunas de sus formas: $$ e^{\pi\mathrm{í}}+1=0 \qquad e^{\mathrm{í}\theta}=\cos\theta + \mathrm{í}\sin\theta \qquad e^z = e^{\Re(z)}\Big(\cos\big(\Im(z)\big)+\mathrm{í}\sin\big(\Im(z)\big)\Big) $$ Hace poco encontré cómo expresarla para cuaterniones. Los cuateriones se deben a Sir William Rowan Hamilton ($1805-1865$), también el padre de la mecánica hamiltoniana. Los orígenes de los cuaterniones y su evolución al álgebra y cálculo vectorial se contará en otro momento. Veamos cómo los podemos expresar. $$ q\in\mathbb{H} \qquad q = a + b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k} \qquad (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$$ Además satisfacen la curiosa relación multiplicatica (al ser no conmutativos) $$ \mathrm{íj} = -\mathrm{jí} = \mathrm{k} \qquad \mathrm{ík} = -\mathrm{kí} = -\mathrm{j} \qquad \mathrm{jk} = -\mathrm{kj} = \mathrm{í} $$ Donde $$ \mathrm{í}^2 = \mathrm{j}^2 = \mathrm{k}^2 = -1 $$ Ahora si definimos lo siguiente se tiene que: $$ \beta = \sqrt{b^2+c^2+d^2\;} \qquad \textbf{i} = \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\beta} = \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}} \implies q = a + \beta\,\textbf{i} $$ Donde $\textbf{i}$ funciona como si fuese la $\mathrm{í}\in\mathbb{C}$ , es decir, $\textbf{i}^2=-1$ . Entonces se tiene: $$ e^q = e^{a+\beta\,\textbf{i}} = e^a (\cos\beta + \textbf{i}\sin\beta) = e^a \left(\cos\sqrt{b^2+c^2+d^2\;} + \frac{b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}}{\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}}\sin\sqrt{b^2+c^2+d^2\;}\right)$$ Sin embargo, dado $q = a + b \mathrm{í} + c \mathrm{j} + d \mathrm{k}$ Hamilton llamaba $a$ la parte escalar y el resto como la parte vectorial (de ahí el nombre y orgien que ya veremos). Por lo que puede ser útil reescribir como: $$ q = a + \vec{B}\cdot\vec{\imath} \qquad \vec{B} = \Im(q) = (b,c,d)\in\mathbb{R}^3 \qquad \vec{\imath} = (\mathrm{í},\mathrm{j},\mathrm{k}) \qquad (\vec{B}\cdot\vec{\imath})^2 = B^2 \imath^2 = - B^2 $$ Simplemente ahora se tiene que: $$ e^q = e^{a+\vec{B}\cdot\vec{\imath}} = e^a \left(\cos B + \frac{\vec{B}\cdot\vec{\imath}}{B}\sin B\right)$$ Estas identidades nos permiten escribir algunas curiosas: $$ \mathrm{í}^\mathrm{í} = \mathrm{j}^\mathrm{j} = \mathrm{k}^\mathrm{k} = e^{-\frac{\pi}{2}} \qquad \mathrm{í}^\mathrm{j} = \mathrm{k} $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(859) - Tuberculosis y el taxi 1729

Cada vez que leo algo del aclamado Srinivasa Ramanujan y de su colaboración con Hardy y con Littlewood, en especial en su cita todo entero positivo era uno de sus amigos personales, me veo más abrumado por su genialidad.

Simplemente no hay otra palabra parecida que se le acerque. Ha habido (y habrá muchos más) matemáticos, físicos, químicos, ingenieros... cuyas mentes funcionan a un nivel muy superior al del resto y cuyo pensamiento inquisitivo se hacen preguntas que nos llevan allende los límites de nuestro propio conocimiento. Sin embargo, Ramanujan era todo un caso aparte y asombroso en sí. Cuando decían que los números eran sus amigos íntimos, era cierto. Ramanujan escribió a Hardy y este le invitó a Cambridge en $1914$ . Para cuando llegó, Hardy ya tenía una recopilación de unos $120$ teoremas de Ramanujan, algunos de los cuales no se conocían. La increíble mente de este matemático indio siempre me asombró.
Veamos algunos ejemplos: $$ \frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt{2\;}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{n!^4} \frac{26390n+1103}{396^{4n}} $$ Una acotación para la función factorial: $$ \sqrt[6]{8x^3+4x^2+x+\frac{1}{100}\;} \leqslant \frac{x!}{\displaystyle \sqrt{\pi\;}\left(\frac{x}{e}\right)^x} \leqslant \sqrt[6]{8x^3+4x^2+x+\frac{1}{30}\;} \qquad x\geqslant 1 $$ Un comportamiento de la función partición: $$ p(n) \sim_\infty \frac{1}{4n\sqrt{3\;}} e^{\displaystyle \pi \sqrt{\frac{2n}{3}\;} } $$ La constante de Ramanujan–Soldner, que se define tal que: $$ \mu\in\mathbb{R} / \int_0^\mu \frac{1}{\ln t}\;\mathrm{d}t=0 $$ La precisión de estas fórmulas, como tantas otras de Ramnujan son meramente soprendentes. Pedimos al lector que investigue al tema o si quiere pasar una tarde amena, que vea alguna de las películas sobre su vida.
Sin embargo, el joven Ramanujan murió de tubercolisis a los $32$ años de vida en $1920$ . El año anterior, cuando Hardy le fue a visitar comentó que la matrícula del taxi que había cogido era un número bastante aburrido, el $1729$ , a lo que este le respondió que era el menor número que se podía poner como suma de dos cubos positivos de dos maneras distintas, es decir: $$ 1729= 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 $$


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(857) - Demostración por contradicción. Reducción al absurdo

Esto es meramente una adenda extra a la última entrada. Una reducción por absurdo es un tipo de demostrar el contrarecíproco. Por ejemplo supongamos que tenemos que demostrar $p\to q$ . Partimos de $p$ y no sabemos, hasta que no lo demostremos, nada sobre $q$ , ni siquiera si es verdad o falso, así pues pues se parte de la hiótesis $p$ y además se supone algo que niega lo que queremos demostrar, $\neg q$ y tras razonamientos lógicos se llega a que $\neg q \to \neg p$ . Sin embargo, a pesar de que no hemos tenido ningun error en la lógica, hemos visto que $\neg p$ , que es absurdo (pues algo no puede ser algo y no serlo a la ver, es decir, $p$ y $\neq p$).

Uno de los ejemplos má clásicos es dmostrar que $\sqrt{2}$ es un número irracional. Se empieza suponiendo que no lo es, sino que se puede escribir de la forma $\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}$ , para algunos $a,b\in\mathbb{N}$ y los tomamos de tal forma que sean primos entre sí. De lo anterior se deduce que $a^2=2b^2$ , pero si $a^2$ es un cuadrado perfecto y un número par, necesariamente es uno de la lista $4,16,36,64,100,\cdots$ , lo que implica que $a$ también era par y lo podemos escribir de la forma $a=2p$ ,por lo que $4p^2=2b^2 \implies 2p^2=b^2$ y vemos a su vez que $b^2$ es a su vez par y un cuadrado perfecto, repitiendo el proceso indefinidamente (lo que implicaría que tanto $a$ como $b$ son productos de una potencia de $2$ ). Sin embargo, habíamos dicho que eran coprimos, lo que contradice nuestra hipótesis, resultando entonces en que $\sqrt{2}$ es un número irracional.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(853) - El truco para duplicar los resultados. Contrarrecíproco

En cualquier curso introductorio de lógica se introduce la tabla de la verdad y los diferentes modus. En el día de hoy, hablaremos del modus tollendo tollens, es decir, el modo que al negar, niega.

La idea es que si tenemos una proposición lógica, $p \to q$ , y se niega la consecuencia (tesis), $\neg q$ , entonces implica que se tiene la negación de la hipótesis, $\neg p$ , es decir: $$\frac{p \to q, \neg q}{\therefore \neg p}$$ Otra forma de escribirlo es: $$\big((p \to q) \land \neg q\big) \to \neg p$$
Un ejemplo para ver esto es con el aserto si llueve, el suelo se moja, que es equivalente a decir si el suelo no está mojado, no ha llovido. Nótese que si decir el suelo está mojado, entonces ha llovido es completamente erróneo ya que la premisa puede ser debida a otro suceso (han regado por ejemplo).

La idea es que para cada proposición o enunciado matemático del tipo $p\to q$ , recordemos que es equivalente a decir $(\lnot q) \to (\lnot p)$ , lo que a la hora de hacer demostraciones es muy útil, ya que muchos como estudiantes a veces nos hemos olvidado de ello. Un ejemplo de un teorema cuya demostración solo se conoce por contrarrecíproco es el Teorema de Steiner-Lehmus que establece que un triángulo tiene dos bisectrices de la misma longitud si y solo si es isósceles.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(839) - El mejor físico-matemático medieval. Nicolás de Oresme

Si hay un escolástico que me ha captado la atención en los últimos meses es Nicole d'Oresme (nació c.$1320-1325$ en Fleury-sur-Orne, Normandía y murió el $11$ de julio de $1382$ en Lisieux, Normandía). Veamos qué hizo este clero del siglo XIV.

Consideremos cuánto vale la suma de la serie armónica, es decir, la suma de infinitos términos de los inversos de los números naturales ($1,2,3,4,5,\cdots$). Él empieza acotando inferiormente cada sumando por el inverso de una potencia de $2$, aquella que sea la mejor cota ($1,2,4,8,16,32,64,\cdots$) $$ \begin{matrix} 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{3} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{5} & + & \displaystyle\frac{1}{6} & + & \displaystyle\frac{1}{7} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{9} & + & \cdots \\= & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \geqslant & & \\ 1 & + & \displaystyle\frac{1}{2} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{4} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{8} & + & \displaystyle\frac{1}{16} & + & \cdots \end{matrix}$$ De aquí se ve cómo, sumando ciertos términos de la cota, aparecen infinitas veces el sumando $\frac{1}{2}$ . En particular se tiene: $$ \sum_{n=1}^{2^N}\frac{1}{n} > 1 + \frac{N}{2} \implies \sum_{n=1}^k \frac{1}{n} > 1 + \frac{\log_2k}{2}$$ Por lo que dedujo que la serie armónica divergía. Es más, siglos después se demostró que la serie armónica tenía el mismo crecimiento que el logaritmo neperiano: $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim_\infty \ln(n) + \gamma$$ Donde $\displaystyle \gamma = \int_1^\infty \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x}\right) \;\mathrm{d}x$ es la constante de Euler-Mascheroni.

También se le atribuye la demostración del Teorema de la velocidad media, cuyo redescubrimiento y popularización se debe a Galileo. El teorema dice: un objeto en un movimiento uniformemente acelerado recorre en un intervalo el mismo espacio que recorrería un objeto con velocidad uniforme, cuya velocidad es la velocidad media del primero. Pongamos esto con notación algebraica con dos ecuaciones que nos son muy conocidas $$ d = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \qquad d=\bar{v}t$$ Donde $d$ es el espacio recorrido, $v_0$ es la velocidad inicial en $t=0$, $t$ es el tiempo, $a$ es la aceleración constante, $\bar{v}$ es la velocidad media del móvil y $v=v(t)$ es la velocidad final. Usando las siguientes identidades es trivial probarlo algebraicamente: $$ \bar{v}=\frac{v_0+v}{2} \qquad v=v_0+at $$ Sin embargo, Nicolas de Oresme lo hizo de una manera puramente geométrica y con razonamientos, ya que se tardaría siglos en desarrollar el álgebra para escribirlo.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(829) - El problema de las generalizaciones. Cómo generalizar el Teorema de Pitágoras

Una situación habitual en matemáticas es tener un resultado y querer generalizarlo, es decir, tener un aserto para un caso muy particular e intentar saber cuál es el aserto general del que proviene. Sin embargo un inconveniente que encontramos es saber hacia dónde ir. Para particularizar es fácil; por ejemplo, si tenemos una afirmación $\forall n\in\mathbb{N}_0$ podemos sustituir $n=0$ y tenemos dicho caso particular. No obstante, no es obvio cómo pasar de $n=0$ a cualquier $n\in\mathbb{N}_0$ , en especial si se ha simplificado mucho la expresión. Es más, muchas veces se puede generalizar un resultado particular hacia distintos asertos. Veamos algunos ejemplos con el Teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras probablemente sea el teorema matemático más conocido en la cultura general. Está presente en Los Elementos de Euclides en el I Libro como la proposición XLVII y su recíproco, XLVIII (que el recíproco sea cierto no es un hecho para cualquier proposición, por ejemplo, «Si llueve, el suelo se moja» , $p\to q$ , y «El suelo está mojado» , $q$ , no implica necesariamente que «ha llovido» , $p$ ).

Enunciado original
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo se cumple la identidad pitagórica, es decir, $a^2 = b^2 + c^2$ donde $a$ es el lado mayor, es decir, la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto), mientras que $b,c$ son los dos lados menores, es decir, los catetos (los lados que conforman el ángulo recto). Como ya hemos comentado, si un triángulo cumple la identidad pitagórica, es un triángulo rectángulo.

Desigualdad pitagórica
Esto es una expansión del contrarrecíproco: si no se cumple la identidad pitagórica, el triángulo no es rectángulo. En particular en un triángulo acutángulo, el cuadrado de cualquier lado es menor que la suma de los cuadrados de los dos lados restantes , es decir, $a^2 < b^2 + c^2$ . Para triángulos obtusángulos la desigualdad tiene el mismo signo para los lados opuestos a los ángulos agudos, mientras que se invierte para el lado opuesto al ángulo obtuso, es decir, $a^2 > b^2 + c^2$ .

Teorema del coseno
Convierte la desigualdad anterior en una igualdad introduciendo un término extra que corrige el exceso o falta en función del ángulo: $a^2 = b^2+c^2-2bc \cos(\alpha)$ .

Teorema de Pitágoras con figuras cualquieras
Los griegos antiguos no enunciaban el Teorema de Pitágoras en nuestros términos, sino que decían que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa es la suma de las áreas de los cuadrados cuyos sendos lados son los catetos (algo que resucita Noah J. Wildberger en su trigonometría racional al introducir la cuadratura $Q$ ). Una generalización fácil es «el área de cualquier polígono regular cuyo lado es la hipotenusa es la suma de las áreas de los mismos polígonos cuyos sendos lados son los catetos.» . Sin embargo el propio Euclides en su VI Libro como la proposición VI aparece aún una generalización de esto: «el área de cualquier figura construida sobra la hipotenusa es la suma de las áreas de figuras similares construidas sobre los catetos.» BLOB

Teorema de Pappus para el área
Dado un triángulo cualquiera[no hace falta ni que sea rectángulo], si construimos dos paralelogramos sobre dos lados de sus lados, $b,c$ [que se intersecan en $A$ ], y prolongamos los lados de los nuevos paralelogramos paralelos a los lados $b,c$ hasta que se intersequen en un punto $A^\prime$ , y definimos los puntos $B+\vec{A^\prime A}$ y $C+\vec{A^\prime A}$ (que junto a los puntos $B,C$ conforman un nuevo paralelogramo) entonces la suma de las áreas de los dos paralelogramos originales es el área del nuevo paralelogramo, es decir, $A_b + A_c = A_a$ .

Teorema de De Gua
Dado un tetraedro con tres ángulos diédricos en un vértice (como en la esquina de un cubo) la suma de los cuadrados de las áreas de las caras que coindicen en dicho vértice es el cuadrado del área de la cara opuesta a dicho vértice, es decir ${A_0}^2 = {A_1}^2+{A_2}^2+{A_3}^2$ . Este resultado es a su vez un caso particular de un $n-$símplex donde en un vértice solo hay ángulos rectos y relaciona el cuadrado de su $k-$volumen con la suma de los cuadrados de los $k-$volúmenes de los que confluyen en el vértice.

Teorema de Pitágoras fuera de triángulos
Probablemente una de las cosas que más me sorprendían en trigonometría era que se definía en un contexto de triángulos rectángulos construidos sobre una circunferencia, pero rápidamente se salía de ese contexto. Algo similar ocurre con el Teorema de Pitágoras, que se puede llevar a contextos donde el triángulo rectángulo no está tan a la vista. Por ejemplo en un rectángulo el cuadrado de la diagonal es la suma de los cuadrados de la base y de la altura; en un rombo el cuadrado del lado es la suma de los cuadrados de la mitad de las diagonales; en un polígono regular el cuadrado del circunradio es la suma del cuadrado del apotema (inradio) y del cuadrado de la mitad del lado; en un ortoedro el cuadrado de la diagonal espacial es la suma de los cuadrados de las aristas...

Teorema de la bandera británica
Dado un rectángulo y un punto cualquiera (en su interior o no) la suma de los cuadrados de las distancias del punto a dos vértices opuestos es igual a la otra suma de los cuadrados de las distancias del punto a los otros dos vértices opuestos.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(827) - La geometría del movimiento: Cinemática. Física matemática

Ya en el siglo XIII los escolásticos medievales se dieron cuenta que había dos formas de estudiar el movimiento: lo que lo produce (la causa), o lo que produce (el efecto).
Mientras que la dinámica es la rama de la mecánica que estudia cómo las fuerzas afectan a un cuerpo, la cinemática es la rama que estudia el movimiento en sí, sin importan qué o cómo se haya producido. El término cinemática viene del francés cinématique, que acuñó Ampère en $1834$, y este del griego antiguo κίνημα - kínēma «movimiento» de de κῑνέω - kīnéō «yo muevo, cambio [algo] de sitio». El término cinética (literalmente «que pone en movimiento»), engloba la dinámica y la cinemática, viene del griego antiguo κῑ́νησῐς - kī́nēsis «movimiento, cambio, conmoción» y este otra vez del mismo verbo.

Cuando estaba cursando la asignatura de Geometría de Curvas y Superficies siempre tenía un pensamiento continuo en mi cabeza. Esto es una clase de cinemática muy larga. Y así era, pues se podría haber planteado meramente desde un punto de vista puramente físico: Tenemos una partícula en una posición $\vec{r}$ que es función del tiempo $t$ y se mueve con una velocidad $\vec{v}=\dot{\vec{r}}$ a lo largo de una curva $\gamma$ , cerrada o no, o bien por una superficie $\Sigma$ , cerrada o no.

A veces usan se utilizan recursos matemáticos, como los hodógrafos (diagramas de velocidad), un término del griego antiguo ὁδός - hodós «camino, viaje, trayecto», y del sufijo -γραφω - -graphō , de γράφω - gráphō «yo grabo, inscribo, rasgo, escribo». En un hodógrafo en vez de representar el vector posición $\vec{r}(t)$ desde el origen $O$ de un sistema de coordenadas $\mathscr{S}$, y el vector velocidad $\dot{\vec{r}}(t)$ con origen en $\vec{r}(t)$ , se representa en otro gráfico el vector velocidad $\dot{\vec{r}}(t)$ desde el origen $0$ del gráfico. Así se puede ver qué forma tiene la velocidad a lo largo del recorrido. Un ejemplo brillante, y de donde saqué la idea para este artículo es de la siguiente colaboración.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(823) - La fórmula para encontrar pareja con ejemplo. Pregunta de Fermi y Ecuación de Drake

¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago? es conocida como la pregunta de Fermi y fue un tema del que hablar en círculos matemáticos del siglo XX. Lo que se buscaba no era ir al censo y averiguarlo, sino dar una estimación estadística. Se empezaba tomando la población de Chicago, y se multiplicaba por una factor de cuántas personas vivían por casa, otro de cada cuántas casas había un piano, cuántas veces se afinarían por año, cuánto tiempo llevaría afinar un piano, y por último, por un factor de cuántas horas trabaja al año.
La estimación que hizo Fermi era de $225$ afinadores en $9.000.000$ de habitantes, y aunque depende mucho de los supuestos, se intuye que los errrores cometidos en unos se van amortiguando son otros.

Cuando Fermi propuso que por qué no habíamos visto rastros de civilizaciones inteligentes en el espacio exterior, Drake usó el mismo razonamiento para llegar a su famosa ecuación: $$ N = R^\star \cdot f_p \cdot n_e \cdot f_1 \cdot f_i \cdot f_c \cdot L$$

• $N$ es el número de civilizaciones que podrían comunicarse en la Vía Láctea.
• $R^\star$ es el ritmo anual de formación de estrellas en la galaxia.
• $f_p$ es la fracción de estrellas que tienen planetas orbitando.
• $n_e$ es el número de planetas en la zona de habitabilidad.
• $f_1$ es la fracción de esos planetas donde hay vida.
• $f_i$ es la fracción de esos planetas donde hay vida inteligente.
• $f_c$ es la fracción de esos planetas donde hay vida que ha desarrolado tecnologías e intenta comunicarse.
• $L$ es el lapso (en años) en el que dicha civilización inteligente exista.

Sin embargo, hace poco esta fórmula también se ha usado para estimar el número de medias naranjas: Se empieza tomando la población total del municipio/pueblo/ciudad... (según lo amplia de la búsqueda), y se van multiplicando por sucesivos factores que perfilan la búsqueda (qué fracción es del sexo al que nos sentimos atraídos, está soltera, en un rango de edad de nuestro gusto,...).
Estos parámetros pueden variar mucho según cómo afinemos la búsqueda, si queremos que tenga alguna afición en específico, y también, como ya se ha mencionado antes, de nuestros sesgos a la hora de evaluar la realidad. Hay un artículo sobre esto que lo utilizó un matemático para estimar su probabilida de encontrar pareja, pero, oh sorpresa, se acabó casando con alguien que no estaba dentro de la descripción que hizo.

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(821) - Ley de Adán y Ley de Eva

Hoy vamos a explicar el porqué de estas dos fórmulas y su significado estadístico. Empecemos con la que dió nombre a todo esto. La ley de Eva, también llamada la Ley de la varianza total o de descomposición de la varianza. $$ \operatorname{var}(X) = \operatorname{E}\!\big(\operatorname{var}(X | Y)\big) + \operatorname{var}\!\big(\operatorname{E}(X | Y)\big) $$ Aunque también se suele expresar, para dejarlo más claro: $$ \operatorname{var}_X(X) = \operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{var}_X(X | Y)\big) + \operatorname{var}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X | Y)\big) $$ De aquí se puede ver el porqué del nombre de la ley de Eva (Eve's Law en inglés), ya que está la regla mnemotécnica EV-VE. Lo que dice esta fórmula es que dadas dos variable aleatorias $X,Y$ , la varianza de $X$ , $\operatorname{var}_X(X)$ , se puede escribir como la suma de las varianzas inexplicada y explicada:

1. La varianza inexplicada es la esperanza en $Y$ de la varianza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$ , es decir, $\operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{var}_X(X | Y)\big)$. También se puede ver como el valor esperado de la varianza del proceso.
2. La varianza explicada es la varianza en $Y$ de la esperanza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$ , es decir, $\operatorname{var}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X | Y)\big)$. También se puede ver como la varianza de la "media hipotética".

Mientras tanto, la Ley de Adán, o la ley de la esperanza total, dice que $$ \operatorname{E}(X) = \operatorname{E}\!\big(\operatorname{E}(X|Y)\big)$$ Una vez más la Ley de Adán es un juego de palabras: si la ley de Eva es la lay de la varianza total, la ley de Adán lo es de la esperanza total. Aunque también se suele expresar, para dejarlo más claro: $$ \operatorname{E}_X(X) = \operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X|Y)\big)$$ Lo que dice esta fórmula es que dadas dos variable aleatorias $X,Y$ , la esperanza de $X$ , $\operatorname{E}_X(X)$ se puede escribir como la esperanza en $Y$ de la esperanza en $X$ del suceso que ocurra $X$ condicionado $Y$, $\operatorname{E}_Y\!\big(\operatorname{E}_X(X|Y)\big)$ .

Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.