(1123) - La tricolorabilidad y los movimientos Reidemeister

 La teoría de nudos es el area de las matemáticas que se dedica a estudiar, como dice el nombre, los nudos y sus propiedades. 

Por si nunca lo habías visto, existen nudos que, al hacer fuerza sobre ellos, se desatan por su propia estructura, o sea, que sin necesidad de mover los extremos por dentro de distintas partes del nudo podemos deshacerlo con facilidad, como este:

                

Imagina que vas a hacer rapel por un acantilado y te encuentras ya el equipo atado al arnés listo para bajar ¿podrías, sin deshacer el nudo, estar seguro de que no te vas a caer? o sea, lo que quieres ver es si con una serie de movimientos (que no involucren los extremos de la cuerda), puedes asegurarte de que ese nudo no se transforma en la cuerda simple, una recta, el unknot.

Para esto hay 2 resultados que me parecen muy curiosos

Movimientos de Reidemeister

Si tienes un nudo cualquiera (uno muy simple) y lo enredas, le das vuelta, lo giras... hasta que no quede reconocible el nudo original ¿cómo devolverías ese nudo más complejo al original? para eso existe un teorema que nos asegura que, con tan solo 3 movimientos, somos capaces de transformar cualquier nudo en otro isotópico a él, o sea, uno que mantiene todas sus propiedades que en esencia es "el mismo" que el original, pues podemos transformar cada uno en el otro sin cortar la cuerda ni tocar los extremos.

Los movimientos de Reidemeister son :

                

Por tanto, si aplicamos este tipo de movimientos, podríamos desenredar cualquier nudo a su forma más simple, que en nuestro caso, supone desatar la cuerda del arnés.

Ahora pasemos a la tricolorabilidad

Tricolorabilidad

Coge un nudo, pintalo en un papel, y separa las intersecciones con huecos, si puedes colorear el nudo con solo 3 colores, entonces tu nudo es tricolorable. 

Lo curioso de esta propiedad es que, como se mantiene a través de los movimientos Reidemeister, podemos saber de forma inmediata que algunos nudos no son isótopos, o sea, que podemos transformar uno en el otro sin necesidad de usar los extremos de la cuerda para deshacer nudos.

            

Estas 2 propiedades son muy utiles para separar nudos entre sí, y se han hecho "tablas periódicas" de nudos en las que se recogen nudos que son distintos entre sí, se clasifican por la cantidad de cruces que tienen sus proyecciones en el plano (su sombra sobre el papel).

Recomendados

Playlist Knot Theory

Autor: Raul Barrero

(1117) - Recomendaciones Xmas

 El artículo de hoy no va sobre un tema en particular esto son recomendaciones de videos y canales de youtube sobre matemáticas para ver estas navidades.

1. 3Blue1Brown

Clásico, entras por las miniaturas, te quedas por la calidad.

2. Flammable Maths

Un tío gracioso, buenas reviews de memes y para quien le gusten, buenas integrales y problemas de teoría de números.

3. Michael Penn

Buen contenido de álgebra y los temas de teoría de cálculo, pruebas chulas y problemas de teoría de números.

4. Mates Mike

El 3Blue1Brown español, muy buena calidad y videos de temas muy chulos

5. Mathemaniac

Temas muy variados, videos de Análisis, Álgebra, probabilidad...

6. MathMajor

Canal secundario de Michael Penn, más dedicado a álgebra abstracta y algebras de Lee.

7. Dr Peyam

De todo un poco, análisis, funciones curiosas...

8. Morphocular

9. Numberphile

Alta calidad, videos de todo tipo hechos por expertos de cada campo.

10. Stand Up Maths

Matemática aplicada a problemas reales y curiosidades matemáticas

11. Very Normal

Canal de estadística

12. Primer

Videos muy entretenidos sobre simulaciones, probabilidad y poblaciones.

13. The mathematics of vice

Investiga las probabilidades y estrategias óptimas dentro de los juegos de azar

Menciones honoríficas:

Física

Minute Physics

Physics for the birds

Química

Nile Red

Luis Horas

Autor: Raúl Barrero Pastor

(1109) Un empate accidentado

    DerUVada llegó a la tercera jornada de la Liga Matemática como colíder y con puntuación perfecta. En el otro lado del campo, esperaba la Epsiloneta, el equipo representante de la Universidad de las Islas Baleares, que contaba en su casillero con una victoria y una derrota. 

    Los problemas empezaron antes incluso del partido. El Congreso al Futuro hizo que la UVa tuviese que hacer malabares con las bajas para poder formar un equipo completo, pero al final lo consiguió con Esteban, ambos Sergios, Guille, Jaime y Juan. 

    Los tres problemas a resolver fueron los siguientes:

    Problema 1:

    Se lanzan 2024 bolas. Se sabe que al ser lanzada, la i-ésima bola alcanza una distancia de $\sqrt[i+1]{2}$ para i = 1,...,2024. Supongamos que todas las bolas se encuentran inicialmente en un punto del plano. En cada ronda, se lanzan todas y cada una de las bolas exactamente una vez. Determina si es posible que, después de un número finito de movimientos, todas las bolas se encuentren en otro mismo punto nuevamente.

    Problema 2:

    Sean a y b números no necesariamente distintos escogidos al azar uniformemente del conjunto {1, 2, 3, . . . , 2024}. Si se sabe que la probabilidad de que 2024 divida a a+b es igual a p/q con p, q enteros positivos coprimos. ¿Cuánto es el valor de p+q?

    Problema 3:

    Un grafo tiene 15 vértices. Hay como máximo una arista entre cada par de vértices y ninguna arista conecta un vértice consigo mismo. Cada arista está coloreada de rojo o azul, de modo que no hay triángulos monocromáticos. Halla el mayor número posible de aristas de este grafo.

    Ambas universidades entraron de forma contundente al partido, resolviendo el segundo problema sin demasiadas complicaciones. Sin embargo, el caos se desató cuándo ambas universidades recibieron un "incorrecto" a su solución del problema 1. 

    Resultó que la respuesta oficial era "No",  pero ambos equipos habían alcanzado un caso, bastante sencillo, en el que sí. Esto causó una lluvia de protestas sobre la colegiada que llevó a que los estudiantes no pusiesen toda la atención necesaria en el tercer problema.

    Cuándo ambos equipos se quisieron dar cuenta, se había terminado el tiempo. El resultado final fue un empate a uno que mantiene a la UVa en la zona de play-off. 

Autor: Alejandro Marchena García

(1103) - Resolver ecuaciones cúbicas

Considérese el siguiente polinomio cúbico (donde se toma como mónico para simplificar la notación y ya que solo nos importan las raíces, es irrelevante multiplicar todo el polinomio por una constante): $$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cúbica. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$\begin{gathered} P(t+\alpha )=(t+\alpha {)}^3+a(t+\alpha {)}^2+b(t+\alpha )+c \\ =t^3+(3\alpha +a)t^2+(3{\alpha }^2+2a\alpha +b)t+({\alpha }^3+a{\alpha }^2+b\alpha +c) \\ =\frac{1}{6}{P}^{(3)}(\alpha )t^3+\frac{1}{2}{P}^{(2)}(\alpha )t^2+P^{(1)}(\alpha )t+P(\alpha ) \end{gathered}$$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cúnica sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por una cuadrática. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $3\alpha^2+2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación cúbica sin término lineal. Sin embargo, los nuevos coeficientes estarían escritos en función de raíces, lo que dificultaría la resolución y simplificación.
• Si consiguiéramos que $3\alpha+a=0$ tendríamos una ecuación cúbica sin término cuadrático (cúbica deprimida). Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{a}{3}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$t^3+(-\frac{a^2}{3}+b)t+(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c)=0⟹t^3+pt+q=0$$ Supongamos el Ansatz que la raíz se puede escribir como la suma de dos términos: $t=u+v$, por lo que: $$t^3=(u+v{)}^3=u^3+3u^{2}v+3u{v}^2+v^3=3uv(u+v)+(u^3+v^3)$$ Por lo que $p=-3uv$ y $q=-(u^3+v^3)$ donde $u,v$ son incógnitas, pero $p,q$ son parámetros conocidos. Despejemos, por ejemplo $\displaystyle u=-\frac{p}{3v}$, y sustituyámoslo en la segunda ecuación: $$q=-({(-\frac{p}{3v})}^3+v^3)⟹q=\frac{p^3}{27v^3}-v^3⟹(v^3{)}^2+q{v}^3-\frac{p^3}{27}=0$$ Esta es una ecuación tricuadrática, es decir, es una ecuación cuadrática en la variable $z=v^3$, cuyas soluciones vienen dadas por: $$v=\sqrt[3]{\frac{-q\pm \sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$ Ahora, ¿qué tomamos el signo?, ¿el más o el menos? Realmente da igual: si uno representa a $v$ el otro a $u$, por lo que: $$t^3+pt+q=0⟹t=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$ Nótese que la raíz cúbica se refiere a cualquiera de las tres soluciones complejas correspondientes. Así pues hemos obtenido la solución general de un polinomio cúbico.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1097) - Resolver ecuaciones cuadráticas desde otro punto de vista

Este artículo simplemente es para introducir la metodología que se usará para hallar las raíces de un polinomio de grado 3.

Considérese el siguiente polinomio cuadrático: $$P(x)=a{x}^2+bx+c$$ Hallar las raíces de $P(x)$ implica hallar qué valores de $x$ satisfacen que $P(x)=0$. Esto no es del todo trivial, en especial si no se conoce la fórmula cuadrática. Hagamos una transformación de von Tchirnhaus, es decir, consideremos el cambio de variable $x=t+\alpha$ para algún $\alpha$ que seleccionaremos más adelante: $$P(t+\alpha )=a(t+\alpha {)}^2+b(t+\alpha )+c=a{t}^2+(2a\alpha +b)t+(a{\alpha }^2+b\alpha +c)=\frac{1}{2}{P}^{(2)}(\alpha )t^2+P^{(1)}(\alpha )t+P(\alpha )$$ Poder anular alguno de los coeficientes cuando el nuevo polinomio está expresado en la variable $t$ puede resultar muy útil a la hora de hallar las raíces.

• Si consiguiéramos que $a\alpha^2+b\alpha+c=0$ tendríamos una ecuación cuadrática sin término independiente, cuya factorización es inmediata al ser el producto de $t$ por $at + (2a\alpha +b)$. Sin embargo, esto implicaría que ya sabemos alguna raíz de la ecuación, que es algo que desconocemos.
• Si consiguiéramos que $2a\alpha+b=0$ tendríamos una ecuación bilineal. Esto se consigue imponiendo que $\displaystyle \alpha=-\frac{b}{2a}$.

Consideremos esta última opción, tal que ahora el polinomio queda como: $$a{t}^2+(-\frac{b^2}{4a}+c)=0⟹a{t}^2=\frac{b^2}{4a}-c⟹t^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}⟹t=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Ahora como tenemos la solución en la variable $t$, podemos deshacer el cambio de variable para obtenerlo en la variable $\displaystyle x=t-\frac{b}{2a}$, por lo que: $$t=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}⟺x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Para hallar esta solución uno normalmente hace manipulaciones algebraicas ya sabiendo la solución de antemano y viendo qué manipulaciones tiene que hacer para llegar a ella, o bien completar el cuadrado. Sin embargo, sobre todo la última opción, es muy difícil de hacer para grados superiores.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.

(1093) - Tau manifesto

    Toda persona que supere en cultura a un niño de 12 años sabe que existe una constante llamada $\pi$ relacionada con los círculos, pero menos gente ha oido hablar de su hermano mayor, más caristmático,  e inteligente, tau ($\tau$).

Tau es la gran olvidada en las fórmulas matemáticas, ya que Euler popularizó a $\pi$ como constante del círculo (aunque ya se hubiera propuesto antes por William Jones y William Oughtred, wiki), al hacer esto nos perdimos por siempre una posibilidad muy didáctica que sufrieron y sufrirán todos los que aprendan por primera vez trigonometría.

Expongo aquí varias razones por las que $\tau$ podría ser mejor opción como constante del círculo:

1. Radianes

Una vez te acostumbras a hacer malabares mentales para dividir $\pi$ en las fracciones que quieres y asocias 90º $\to$ $\frac{\pi}{2}$,  30º $\to$ $\frac{\pi}{6}$... no tienes problema en visualizar angulos, pero imagina por un segundo que la primera vez que te introdujeron los angulos medidos en radianes, en vez de ver esta sopa de fracciones y denominadores distuntos:

te hubieran enseñado este dibujo:

Como $\tau = 2\pi$ si queremos expresar una fracción del ángulo completo, por ejemplo $\frac{2}{5}$ de la vuelta completa, resulta que ese ángulo es directamente $\frac{2}{5}\pi$.

Usando tau los ángulos más extraños también quedan mejor, ya que, por ejemplo, si quiro pasar 133º a raidanes bastaría con dividir $\frac{133}{360}$ y multipliacarlo por $\tau$, dejando la fracción indicada tal cual,$\frac{133}{360}\tau$ radianes, sin necesidad de añadir un 2 para compensar el uso de $\pi$. 

2. Estética

Como vereis a continuación, este apartado es puramente objetivo, porque hay fórmulas que quedan más bonitas cuando usamos $\tau$ antes que $\pi$.

•Identidad de Euler

$e^{i\tau} = 1$             frente a             $e^{i\pi} + 1 = 0$

•Distribución de Gauss

$\frac{1}{\sqrt{\tau\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$             frente a             $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

•Resolver funciones trigonométricas inversas:

$sen(x) = \frac{1}{2}$   $x = arcsen(\frac{1}{2}) = ...$

$x  = \frac{\pi}{4} + 2\pi k ,   k \in Z$             frente a             $x = \frac{\tau}{8} + \tau k,    k \in Z$

•Circunferencia del círculo

$C = 2\pi r$             frente a             $C = \tau r$

3. Trigonometría

Otra de las muchas razones para usar Tau es la facilidad a la hora de dibujar gráficas con senos, cosenos... imagina no tener que hacer memoria para escribir cuales son las lineas de puntitos en estos dibujos:

Es digno de póster, divides $\tau$ en cuartos y duermes con la tranquilidad de que expresar ángulos no va a ser la causa de tu 3º matrícula de Análisis.

4. Area ?

Quizás en el punto 2 cuando he puesto convenientemente la fórmula de la circunferencia hayas pensado "si bueno, pero la del círculo queda con fracciones y la de pi no", en ese caso te dejo para comparar  otras fórmulas que, por la misma razón, serían formulas menos elegantes:

$A =\frac{1}{2}\tau r^2$

•Energía cinética

$E = \frac{1}{2}mv^2$

•Energía del muelle

$E = \frac{1}{2}kx^2$

•Energía del oscilador armónico

$E = \frac{1}{2}kA^2$

•Altura máxima del lanzamiento de un proyectil

$h = \frac{1}{2}\frac{v_0^2\sin^2\theta}{g}$

Así que el area no está tan mal con $\tau$

Hay casos en los que $\pi$ es muy cómodo también, y desde luego tiene su lugar en todo tipo de fórnulas, pero seguramente las matemáticas serían más pedagógicas e intuituvas si a veces en vez de pensar en tau como el doble de pi, pensáramos en pi como la mitad de tau.

Referencias

Tau manifesto

Wiki pi

Wiki tau

Autor: Raul Barrero Pastor

(1087) - Fractales caseros

Después del post del triángulo de Sierpinski, me estuve preguntando cómo se calculaban  computacionalmente otro tipo de fractales como el famoso de Mandelbrot, y resulta ser bastante simple:

Fractal de Mandelbrot

Toma un punto en el plano complejo, $z=a+bi$, y mételo en la fórmula $f_c=z²+c$,coges lo que te de la fórmula y lo vuelves a meter en ella, lo vuelves a meter... así indefinidamente. 

Ahora bien si el punto que te va dando la función converge a un valor del plano cualquiera, lo pintas de negro, y si no converge (si diverge a infinito) le das un color distinto, de esta forma las cuentas imitan este patrón:

 

Para este fractal la fórmula es  $f_c=z²+c$ , pero ¿ qué pasa si variamos la fórmula?

Hoy vamos a buscar fractales con las fórmulas más comunes:

Mandelbrot cuadrado 

$$f_c=z²+c$$

Barco quemándose

$$f_c=(|Re(z)|+i.|Im(z)|)²+c$$

Tricornio (fractal de Mandelbar)

Mandelbrot Cúbico

$$f_c=z³+c$$

Mandelbrot Perlin

$$f_c=z⁴+c$$

Fractal de Newton

$$f_c=z-p(z)/p^{\prime }(z)$$

con p(z) = z³ − 1

Fractal Phoenix

$$z_{n+1}=z_n²+k.z_{n-1}+c$$

Buscando fotos y simuladores para el artículo he descubierto un motor de fractales muy chulo (si teneis Linux) os recomiendo XaoS, os permite hacer zoom todo lo que queráis dentro del fractal y tiene muchos famosos. 

Autor: Raúl Barrero

(1069) - El triángulo fractal de Sierpiński

 Quizás en algún momento de tu vida te as encontrado por internet este dibujo:

Por si no te suena, es el triángulo de Sierpiński, y a parte de en tu feed de Instagram aparece de manera insospechada en varios rincones de las matemáticas bastante curiosos.

Hoy vamos a ver un par de formas de construirlo desde la manera más normalita a la más insospechada.

Primero de todo vamos a dibujarlo directamente, a mano (si tienes un papel a mano te recomiendo probar a dibujarlo tú mismo).

En primer lugar, dibuja un triángulo equilátero, localiza los puntos medios de sus lados y únelos. Eso es una iteración, después hacemos lo mismo con cada uno de los 3 trianguiltos que han aparecido en la figura, luego seguimos y lo hacemos a los 9 ... en algún momento dejaremos de dibujar (aunque sea por aburrimiento), pero si tuvieramos paciencia infinita o los comandos prohibidos de Belarmino para C llegaríamos a que la figura iguala en el infinito al fractal, el triángulo de Sierpiński. 

Construcción Directa

Empezamos con un triángulo, marcamos los puntos medios de cada lado y los unimos, en la siguiente iteración hacemos lo mismo con 3 triangulitos de los 4 triangulitos que han aparecido, iterando este proceso se revela el patrón siguiente: 

Esta es la forma más normalita de encontrarse el fractal, pero también hay otra forma de construirlo directamente, que es haciendo copias de sí mismo:

Construcción por duplicado

Hasta aquí si ya conocías la forma o el fractal te puede haber resultado curioso o te puede haber dado un poco igual, pero ahora vienen las sorpresas, pues este triángulo al parecer sale hasta de entre las pierdras.

Método probabilístico

Dibuja un triángulo y coloca un punto en él, donde quieras (dentro, fuera, en un borde...), ahora selecciona al azar un número entre 1 y 3, fíjate en el vértice correspondiente y une tu punto con él.  Ahora pinta el punto medio entre tu punto y el vértice, has completado la primera iteración. Ahora toca realizar lo mismo con el punto que acabas de dibujar y seguir indefinidamente.

Esto son las primeras iteraciones lentas para ilustrar el proceso:

Ahora bien, de esta sopa de puntos no debería emerger ningún patrón, recuerdo que cogemos los vértices al azar, pero no, resulta que si ponemos más puntos...

¡Aparece el mismísimo triángulo de Sierpiński! Esta manera de obtener el triángulo descoloca un poco la primera vez que la ves, porque del puro azar sale un patrón tan ordenado que parece hasta mentira.

Ahora bien, vamos a rizar el rizo ¿si llenamos siguiendo estas pautas otro polígono nos aparecerá algún fractal similar? Vamos a verlo.

Cuadrado:

No tiene pinta

Pentágono:

Podría servir

(Para esta última animación he calculado 30k frames, y los bordes no están muy perfilados, supongo que el patrón sigue pero es un poquito acto de fé)

Hexágono:

De nuevo volvemos a no tener suerte, pero la imágen final me despierta la duda de si las uniones de los vértices con el centro no pueden ser alcanzadas por los puntos y las vemos medio-sombreadas por puntos cercanos o es simplemente una cuestión probabilística.

Heptágono:

En este último caso vemos que el centro queda bastante despoblado, pero dudo mucho que eventualmente se perfile un heptñagono o un círculo en el centro, seguramente este hueco sí sea una cuestión probabilística.

El triángulo de Sierpiński aparece en mil sitios, desde el número de lados que tienen los polígonos regulares que puedes construir con compás pasando por el binario hasta la paridad de los números en el triángulo de Pascal.

Como curiosidad, el triángulo tiene dimensión \(log_2(3))\, desde luego en otro sentido de dimensión que el "numero de elementos de una base del espacio".

Para estas y más formas de redescubrir el triángulo de Sierpiński, os dejo estos videos que están bastante chulos.

Un canal muy recomendado sobre pruebas visuales

Autor: Raúl Barrero  

(1063)- La constante de Feigenbaum

Si en algún momento de vuestra vida os ha dado por mirar la entrada de wikipedia sobre constantes matemáticas (que me jugaría un brazo a que no) os habréis dado cuenta de una que resalta a la vista que, en la posición 89 claramente viene la constante de Feigenbaum, que resulta tener una relación muy curiosa con un modelo similar al de Lotka-Volterra, el mapa logístico.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra son ecuaciones diferenciales, que tienen en cuenta variaciones infinitesimales en las variables, pero antes de llegar a ellas surgieron modelos discretos, esto es, que se iteraban paso a paso en vez de considerar la evolución como un contínuo.

En este contexto surge el mapa logístico, una herramienta para modelar poblaciones y estudiar el comportamiento constante, cíclico o caótico de sistemas dinámicos.

La ecuación tiene la siguiente pinta:

$$x_{n+1}=\lambda x_n(1-x_n)$$

Esto significaría que, la cantidad de conejos en la siguiente iteración $x_{n+1}$ variará de acuerdo con el parámetro $\lambda$ y la cantidad de conejos al momento de iteración $x_n$.

Gráficas

Veamos cómo se comportan estas gráficas si variamos $\lambda$.

En primer lugar, si $\lambda \in (0,1)$ la sucesión es convergente a 0: 

Después cuando $\lambda \in (1,3)$ vemos que la poblacion se establece en torno a un valor fijo $\frac{\lambda-1}{\lambda}$, sabemos esto gracias a la iteración de punto fijo.

 

Luego cuando $\lambda \in (3,3.57)$ las cosas empiezan a complicarse, observamos bifurcaciones de periodo doblante, o sea, que aparecen figuras de este estilo que se dividen en 2 sucesivamente:

 

Por último si estamos entre los 3.57 y 4 empieza el comportamiento caótico, una nube de puntos sin correlacion aparece en la gráfica.

Por último, veamos cómo varían los puntos respecto al $\lambda$ con un video:

Ahora bien, ¿qué tiene que ver Feigenbaum con esto?

La constante de Feigenbaum, $\delta \approx 4.6692$, es la razón que describe cómo cambian las distancias entre los valores de $\lambda$ en los que ocurren las bifurcaciones por duplicación de período. 

En otras palabras, la diferencia entre el valor de $\lambda$ donde se bifurca de un ciclo de período 1 a un ciclo de período 2, y el valor donde se bifurca de un ciclo de período 2 a un ciclo de período 4, está gobernada por esta constante. A medida que el sistema se aproxima al caos, estas distancias se reducen, y la razón entre las diferencias consecutivas tiende a $\delta$.

La constante de Feigenbaum se obtiene del cociente:

$$\delta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{x_n-x_{n-1}}$$

Esto significa que, aunque el caos aparece entre los valores de $\lambda$ aproximadamente entre 3.57 y 4, esta relación nos indica dónde aparecerán las bifurcaciones, lo me parece bastante chulo.

Otros recursos:

(pdf) - The period doubling route in the logistic family.

Programas que he usado para obtener las gráficas y el video

Autor: Raúl Barrero

(1061) - EXTRA! Pistola de macarrones

Introducción

Puede que os suene que recientemente ha habido un "incidente" del campus, ya que por teléfono escacharrado ha acabado siendo poco menos que un tiroteo con fuga en helicóptero; acabó siendo nada, pero si nos ponemos serios ¿cómo de probable es que ocurriera de verdad algo así?

(Os adelanto que en España es prácticamente imposible, de hecho voy a usar datos de EE.UU. para que aún con esas, salga una probabilidad baja)

La Regresión de Poisson

La regresión de Poisson es un modelo estadístico diseñado para analizar eventos de baja frecuencia (como tiroteos) que ocurren en un periodo de tiempo en una zona particular. Este modelo es especialmente útil cuando el evento es raro y discreto (hay un número entero de ocurrencias), como es el caso de nuestro ejemplo.

En el modelo de regresión de Poisson, asumimos que el número de incidentes, denotado como $Y$, sigue una distribución de Poisson, lo cual implica que la probabilidad de observar un cierto número de incidentes en un periodo de tiempo específico depende de una tasa de ocurrencia $\lambda$, que a su vez depende de varios factores poblacionales. El modelo tiene la siguiente forma:

$$Y\sim \text{Poisson}(\lambda )$$

$$\log (\lambda )={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+\cdots +{\beta }_k{X}_k$$

donde:

• $\lambda$ es la tasa esperada de eventos (incidentes armados) en un periodo o región específico.
• ${\beta }_0$ es el término constante o intercepto del modelo.
• $X_i$ representa las variables que pueden influir en los incidentea (por ejemplo, el tamaño de la población, accesibilidad de las armas ...) .
• ${\beta }_i$ son los coeficientes que determinan el impacto de cada variable en la tasa de incidentes.

Coeficientes

Como cada coeficiente ${\beta }_i$ indica el cambio en el logaritmo de la tasa incidentes que ocurren  respecto a cómo varía  $X_i$, podemos interpretar los efectos de ${\beta }_i$ como sigue

• Si $e^{{\beta }_i}>1$, la variable $X_i$ aumenta la tasa de incidentes.
• Si $e^{{\beta }_i}<1$, la variable $X_i$ reduce la tasa de incidentes.

Nuestro caso:

En España desde 2021 han habido 17 incidentes armados en escuelas / institutos / universidades, aquí dejamos que cuenten casos mucho menos graves que un tiroteo (peleas fuertes, apuñalamientos...).  

Como en España el indice de tiroteos es ridículamente bajo, vamos a usar algunos datos de EE.UU. para inflar la probabilidad y que salga algo apreciable para "inicidentes escolares", de cualquier tipo.

Sabemos del modelo de EE.UU. que: 

$$\log (\text{Incidentes})=\log (\text{población})+{\beta }_0+{\beta }_1\cdot (\text{tasa posesión armas})+{\beta }_2\cdot (\text{tasa enfermedad mental grave})+{\beta }_3\cdot (\text{índice pobreza})$$

Y usando los cálculos que hacen en el paper original, $${\lambda }_{\text{EE.UU.}}=0.468$$

Ajustandolo a la poblacion de España

$${\lambda }_{\text{España}}=0.1426\times {\lambda }_{\text{EE.UU.}}=0.1426\times 0.468=0.0666936\approx 0.0681$$

Calzándolo en la fórmula de la distribución de Poisson:

$$P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)=1-e^{-\lambda }$$

Que para nuestro caso: $$6.58329\mathrm{\%}$$

Aclaración, esto es en toda España,  que en una población tan grande se espere 1 caso con esa probabilidad no es nada escandaloso, en EE.UU, los tiroteos en los mismos periodos de tiempo fueron en torno a 300 frente a los 17 de España, lo cual haría esa probailidad aún más pequeña si cabe en España.

En conclusión, podeis venir tranquilos a la universidad, salvo si estudias magisterio (porque no ibas a ir a clase de todas formas). 

El paper original es este, seguramente si de verdad os interesa el modelo estará mil veces mejor que este resúmen.

Se aceptan correcciones sobre la estadística y relacionados => https://forms.gle/GsDnmX6UadZ9FFwL7

Por último, filtramos en exclusiva el verdadero culpable del incidente:

No hay que dar ideas a magisterio que luego pasan cosas.

Autor: Raúl Barrero

(1051) - La forma más matemática de comerte una pizza

Estoy seguro de que todos alguna vez hemos comido una pizza recién hecha en casa, y al ver que la pizza se doblaba hacia abajo, sin pensarlo dos veces hemos curvado el borde tal que así para mantenerla erguida.

En ese caso, quizás tu intuición esté a la altura del mayor matemático del siglo XIX y posiblemente de entre los mejores de toda la historia, Carl Friedrich Gauss. 

(Bueno, igual no, pero vamos a ver por qué)

Gauss probablemente no comiera mucha pizza en la Alemania de su época, pero aun así se interesó por describir la curvatura de las superficies y cuantificarla.

Dejando de lado un poco el rigor, podemos entender la definición de la curvatura de Gauss observando los cortes de la superficie de la que queremos determinar la curvatura con  ciertos planos, y viendo si se curva hacia arriba (curvatura positiva), hacia abajo (curvatura negativa) o es recta (curvatura 0).

Para sacar la curvatura total de la figura, se multiplica la de cada uno de sus ejes, por ejemplo vamos a ver esta montañita:

Intersecamos con los planos XZ e YZ y vemos que

K1 < 0

K2 < 0

Si las curvaturas son K1 y K2, como ambas son negativas, la curvatura total que es el procuto de las 2 es  K = K1 . K2 es positiva. 

También pueden darse otros casos como este:

                                            

De nuevo al cortar con los planos queda:

 

La curvatura respecto al XZ es negativa, pero como respecto al YZ es 0 automáticamente la curvatura total es K = K1 . K2 = 0.

Bien, ahora a la parte divertida, resulta que hay un teorema bastante importante que dice que, para cualquier figura, la curvatura de Gauss se mantiene por isometrías, es decir, mientras que no estiremos ni cortemos la figura, la curvatura de Gauss de la superficie se mantendrá.

Y aquí es donde entra en juego nuestro objetivo del día, comer pizza:

Esta es un pizza normal

Podemos apreciar que la pizza apoyada en la mesa es plana, por lo que tiene en un inicio curvatura total 0.

El teorema nos garantiza que por mucho que la movamos, esa curvatura total va a mantenerse, de forma que nos encontrarnos 2 situaciones familiares, en las que esta propiedad puede jugar:

En nuestra contra

O a nuestro favor

La curvatura total de la pizza debe seguir siendo 0, así que para no violar este "teorema Egregium" (que así se llama el teorema anterior), la pizza necesita ganar un eje respecto al que su curvatura sea 0, cualquiera de los 2 sirve.

Así que la próxima vez que comas una pizza con amigos, no desperdicies la oportunidad de contarles lo que es la curvatura de Gauss, que se vayan a los 2 minutos de oirte hablar y te dejen con la pizza para ti solo.

Autor: Raúl Barrero

(1049) - Aumentando la derivada de la posición con respecto al tiempo

     La segunda jornada de la Liga matemática enfrentó a la Universidad de Valladolid contra la Universidad de Extremadura, el lunes 7 de octubre a las 18:30.

    La UVa llegaba tras una gran victoria ante la Universidad de Sevilla, mientras que la UEx había perdido su primer partido ante la Complutense de Madrid. DerUVada hizo tres cambios con respecto a la alineación del primer partido, dando entrada a Esteban, Jorge y Alejandro, y manteniendo en el sexteto titular a Juan, Javier y Guillermo. 

    Los tres problemas a resolver fueron los siguientes: 

Problema 1:

    Sin calcular el valor de 34!, determinar los dígitos a y b que faltan. 

    34! = 295232799039a041408476186096435b0000000.

Problema 2:

    Sean a, b, c números reales positivos tales que (a+b)(b+c)(c+a)=1. Encontrar el valor máximo de ab + bc + ca. 

Problema 3:

    Un número estrictamente no palíndromo es un número entero n que no es palíndromo en ningún sistema numérico con base b en el rango 1<b<n-1. Demostrar que si n>6 es un número estrictamente no palíndromo, entonces n es un número primo. 

    El duelo fue casi un calco del de la jornada anterior contra la US. Después de un inicio tranquilo, en el que se repartieron las tareas y se avanzaba simultáneamente en todos los problemas, la UVa presentó los ejercicios 1 y 2 de forma casi consecutiva, poniendo el 2-0 en el marcador cuando apenas habían pasado cuarenta y cinco minutos. 

    Sin embargo, aún quedaba medio partido por delante, y las perspectivas para el último enunciado eran bastante menos claras. Tras un esfuerzo colectivo de todo el equipo, se llegó a una solución muy elegante, aunque las ideas seguían sueltas, y había que enlazarlas. Así, de la misma forma que sucedió en la jornada pasada, la UEx anotó un gol agónico para lograr el 2-1 poco antes de enviar la UVa la respuesta revisada. Tras una larga espera debido a la complejidad de la solución, el árbitro anunció que la corrección daba el problema como válido y la UVa se hacía con su segunda victoria de la temporada. 

    La siguiente jornada enfrentará a la Universidad de Valladolid con la Universidad de las Islas Baleares, en un partido en el que la UVa podrá seguir tomando velocidad de crucero para hacerse con una de las dos plazas del grupo boreliano que dan acceso a la final four de Oviedo. 

Autor: Alejandro Marchena

(1039) - La barra más matemática

Nuestros excelentísimos señores veteranos quieren organizar una barra legendaria, que pase a la historia como la mejor barra jamás organizada en mates, por lo que han alquilado todo Cocón y han sobornado al portero para que deje colar amigos de otras carreras.

Pero nuestros veteranos no se quedan ahí, para asegurarse de que sea la mejor barra tienen que  arreglárselas para que la gente tenga siempre bebida, ni escasa ni en exceso.

Planeando se topan con que: si hay más bebida de la necesaria para la gente de mates (aproximadamente $aleph_0$litros), algunos empezarán a invitar amigos de otras carreras, lo cual reducirá la disponibilidad de bebida y provocará que la gente se aburra y se vaya a otro sitio, regulando de nuevo la cantidad de bebida disponible a los que se quedan.

Esto suena sospechosamente similar a un problema de poblaciones en un ecosistema, 2 grupos que dependen de la población del otro para crecer o extinguirse (bebida y bebedores), lo cual nos da una pista para pensar en el modelo de Lotka-Volterra.

Ecuaciones de Lotka-Volterra

Las ecuaciones de Lotka-Volterra son un sistema de ecuaciones diferenciales que sirven para modelar poblaciones y ecosistemas, por ejemplo nos permiten saber cómo pequeños cambios en una población de conejos va a alterar la futura población de zorros (más conejos implica más comida para los zorros, los zorros se multiplican, los conejos empiezan a escasear, mueren zorros, los conejos se recuperan ...) todo esto ocurre en ciclos regulares como se puede ver en esta gráfica.

Cada color representa un ciclo dado por unas condiciones iniciales, al pasar el tiempo cada anillo se recorre en sentido antihorario, o sea, la población varía de acuerdo a la gráfica en cuestión.

Pero para qué querríamos hacer algo tan trivial e inútil como modelar una poblacion para tomar decisiones, mejorar su estabilidad y bla bla bla, aburrido, vamos a darle un uso serio a estas ecuaciones por el bien de la ciencia, veamos cuánta bebida deberíamos servir en una barra para asegurar la estabilidad de la fiesta.

Considerando las variables:

  x = "cantidad de universitarios"

    y = "botellas de bebida disponible"

Las ecuaciones de Lotka-Volterra quedarían de la siguiente forma:

$$\frac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy$$

$$\frac{dy}{dt}=\delta xy-\gamma y$$

Donde:

α es la tasa de reposición de la bebida.

β representa el consumo de bebida por unidad de tiempo.

ɣ es la tasa de abandono de la barra por escasez de bebida

δ es la tasa de invitaciones en abundancia de bebida.

Bien, una vez presentado el modelo, vamos a dar un "saltito" a su solución, para los curiosos habrá un enlace al final.

Las curvas soluciones tienen la siguiente pinta, en función de las condiciones iniciales (xo,y0)

$$V_{(x_0,y_0)}=\delta x-\gamma ln(x)+\beta y-\alpha ln(y)$$

Estas soluciones se pueden poner en gráficas muy bonitas a mi parecer, como esta:

Entonces ¿Cual es entonces la cantidad de bebida que evita que se acabe la fiesta antes de tiempo?

Vemos que en las curvas más exteriores como la amarilla o naranja el riesgo de acabar por el orígen, o sea, que se acabe la bebida y se vaya todo el mundo, es mayor, por lo que nuestros excelentísimos veteranos deberían acordar un suministro describa una curva más estable, como la roja, la gris o la verde.

Además, estas curvas nos dan información de cuándo el sistema es más frágil para estratégicamente inyectar bebida extra al sistema e impedir que se acabe la fiesta, ese momento se encuentra al llegar al borde izquierdo de la gráfica, así alejaríamos la gráfica del 0 del eje x y pasaríamos a un ciclo más estable.

Enlaces de interés:

(~1 minuto) - Animación cortita

(10 mintos)- Solución de las ecuaciones

(16 minutos ) - Modelo explicado (Numberphile)

Autor: Raúl Barrero

(1033) - La UVa vuelve pisando fuerte

 

    Con el curso ya empezado, arrancó el jueves 3 de octubre la segunda edición de la Liga Matemática de la ANEM. En esta primera jornada, la Universidad de Valladolid se enfrentó a la Universidad de Sevilla a las 16:00.

    El equipo vallisoletano, más experimentado y reforzado con un nuevo delegado y varios flamantes fichajes, llegó muy motivado al primer partido de la temporada. El subcampeón de la pasada edición alineó a Juan, Sergio, Guillermo, Nicolás, Javier y Jaime para intentar conseguir la primera victoria de la campaña, quienes tuvieron que resolver los siguientes problemas: 

Problema 1:

    ¿Es posible encontrar 2024 números enteros positivos distintos tales que ninguno es un cuadrado perfecto y al sumar dos o más de ellos tampoco se obtiene un cuadrad perfecto?

Problema 2: 

    En un triángulo ABC isósceles, con lado AB desigual, el punto D es el punto medio del lado BC. La circunferencia con diámetro AD interseca AB y AC en los puntos E y F, respectivamente. Demostrar que EF es paralelo a BC.

Problema 3: 

    Consideremos la sucesión definida por 16, 1156, 111556..., donde cada número se obtiene del anterior insertando 15 entre sus cifras centrales. Demostrar que todos los números de la sucesión son cuadrados perfectos. 

    El partido tuvo un inicio lento, y ambas universidades estuvieron una hora intentando resolver los tres problemas, aunque no fueron capaces de sumar ningún punto en sus respectivos casilleros. Sin embargo, la UVa hacía avances significativos en todos los frentes, y llegó a conclusiones de forma muy seguida poco después de la marca de los sesenta minutos, anotando los dos primeros tantos del partido de manera casi consecutiva.

    Con una cómoda ventaja en el marcador y casi media hora por delante, el gol de la victoria parecía solo cuestión de tiempo. Después de un último intento, sonó el grito de "¡Eureka!" y se llegó a la solución del último problema. Parecía que se iba a completar una abultada goleada, pero mientras el razonamiento se pasaba a limpio la US anotó el gol del honor, dejando el marcador final en un excelente US 1-3 UVa. 

    Tras este fantástico inicio, la Universidad de Valladolid se verá las caras con la Universidad de Extremadura, en un partido que tendrá lugar el lunes 7 de octubre a las 18:30.

Autor: Alejandro Marchena.

(1031) - Un matemático andalusí y el teorema del seno

En el día de hoy traemos un artículo relevante: el teorema del seno que tantos quebraderos de cabeza ha traído a estudiantes de PREU, BUP, COU, ESO y Bachillerato.

Consideremos un triángulo de lados $a,b,c$ y ángulos opuestos a los lados $\alpha,\beta,\gamma$. Entonces el teorema del seno establece que: $$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$$ Donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

De hecho, el II teorema de Tales (si los vértices de un triángulo está circunscritos en una circunferencia de diámetro $\overline{BC}$, entonces es un triángulo rectángulo) se puede ver como un caso particular: $$a=2R⟺\alpha =\frac{\pi }{2}$$ Este resultado es bastante útil a la hora de hallar el valor de un lado si se conocen dos ángulos y un lado, o en su defecto a la hora de hallar un ángulo si se conocen dos lados y un ángulo opuesto a alguno de estos.

Este formidable teorema se lo debemos al matemático andalusí Ibn Mu'adh al-Jayyani también conocido como Ibn Muad de Jaén el Joven. De origen jiennense, no se sabe muy bien si nació en Jaén o en Córdoba, la entonces capital del califato omeya de Córdoba. Que vivas tiempos interesantes reza una maldición china, y así fue su caso: al nacer en el 989 el califato omeya estaba llegando a su fin: la muerte de Almanzor en el 1002 y la de su hijo ʿAbd al-Málik en el 1008 dejó a al-Ándalus en una situación precaria donde los visires tenían más poder que los califas, recluidos en su palacio de Medina Azahara y los gobernadores locales se sublevaban contra el poder. En el 1031 cayó definitivamente el califato tras una prolongada muerte. Ibn Muad de Jaén el Joven se había asentado en Jaén donde escribió al menos sobre matemásticas y astronomía demostrando este teorema en su versión para esferas. No se sabe muy bien cuándo murió si en el 1079 o 1093, cuando tendría entre 90 y 104 años.


Autor: Đɑvɪẟ Ƒernández-De la Cruʒ.